Определение 3.1. Многочленом n -ой степени (n Î N) от переменной х называется выражение вида
,
где 
некоторые комплексные числа, называемые коэффициентами многочлена, при этом 
, а переменная х может принимать произвольные (в том числе и комплексные) значения.
Сумма, разность и произведение многочленов также являются многочленами.
Определение 3.2. Пусть даны два многочлена
,
,
причем многочлен 
не равен тождественно нулю (и, таким образом, не все его коэффициенты равны нулю) и n ≥ m. Если существует такой многочлен 
, что 
, то говорят, что многочлен 
делится на 
без остатка, при этом многочлен 
называется частным от деления 
на 
. Разделить многочлен 
на 
с остатком означает представить его в виде 
, где 
, 
некоторые многочлены, причём многочлен 
либо тождественно равен нулю, либо имеет меньшую степень, чем многочлен . При этом многочлен 
называется частным, а 
остатком от деления 
на 
.
Теорема 3.1 ( теорема Безу). Остаток от деления многочлена 
на разность 
равен значению многочлена в точке а, то есть 
.
Определение 3.3. Уравнение 
, где 
многочлен степени п, называется алгебраическим уравнением п -ой степени. Число 
, при котором 
, называется корнем этого уравнения или корнем многочлена 
.
Теорема 3.2 (следствие из теоремы Безу). Если а – корень многочлена 
, то многочлен 
делится на двучлен () без остатка.
Теорема 3.3. Если а ÎС – корень многочлена с вещественными коэффициентами 
и 
ÎС – число, комплексно сопряжённое с a, то тоже корень данного многочлена.
Теорема 3.4 (основная теорема алгебры). Любой многочлен 
, степень которого 
, имеет, по крайней мере, один корень (в общем случае комплексный).
Теорема 3.5. Любой многочлен
,
где 
, на множестве комплексных чисел можно представить в виде разложения:
, (3.1)
которое является единственным с точностью до порядка сомножителей. Числа 
– все возможные (в том числе и комплексные) корни многочлена 
, других корней этот многочлен не имеет.
Замечание 3.1. Среди чисел 
могут встречаться одинаковые. Такие корни называются кратными.
Определение 3.4. Число с называется корнем многочлена 
кратности k, если можно представить в виде:
, причем 
.
Замечание 3.2. Из теоремы 3.5 следует, что всякий многочлен n -ой степени на множестве комплексных чисел имеет ровно п корней с учётом кратности.
Для многочлена с действительными коэффициентами равенство (3.1) можно преобразовать в так называемое разложение на неприводимые множители на множестве действительных чисел. Любому комплексному корню такого многочлена соответствует комплексно сопряжённый корень (теорема 3.3). Перемножив в равенстве (3.1) скобки, соответствующие комплексно сопряжённым корням, приходим к разложению на линейные и квадратичные множителей с действительными коэффициентами. Квадратичные множители в полученном соотношении будут иметь отрицательные дискриминанты и, следовательно, не могут быть разложены на линейные множители на множестве действительных чисел. Описанное разложение называется разложением многочлена с действительными коэффициентами на неприводимые множители.
Пример 3.1. Разложить на R на неприводимые множители двучлен 
.
► 1-й способ.
.
2-й способ. Найдём все (и комплексные в том числе) корни двучлена 
. Для этого решим уравнение 
, отсюда 
. Для вычисления всех 6 значений 
можно воспользоваться формулой (2.5), предварительно записав число 1 в тригонометрической форме: 
. Однако, в таких простых случаях значения корня можно получить, используя их расположение на комплексной плоскости. В данном случае значения расположены в вершинах правильного шестиугольника, одна из вершин которого находится в точке (1, 0), так как х 1=1– одно из значений (рис. 3.1). Для х 2 имеем равенство:
Рис. 3.1. К примеру 3.1.
|
.
Остальные значения получим, используя симметрию их расположения на комплексной плоскости:
, 
, 
, 
.
По теореме 3.5 данный двучлен представим в виде следующего произведения:
.
Отсюда, перемножив скобки с комплексно сопряжёнными корнями, получаем разложение
.◄
Пример 3.2. Составить многочлен пятой степени с вещественными коэффициентами, который делится без остатка на двучлен 
, а также имеет корни 
кратности 1 и 
кратности 2, коэффициент при старшей степени многочлена равен 1.
►Обозначим искомый многочлен через P 5(x). Он делится без остатка на разность по условию, а также на 
, поскольку имеет корень 
кратности 2 (определение 3.4). Следовательно, P 5(x) можно представить в виде: P 5(x) = () 
Q 2(x), где Q 2(x) – некоторый многочлен второй степени. Искомый многочлен имеет корень кратности 1, поэтому по теореме 3.3 число 
также является его корнем кратности 1, следовательно, данный многочлен должен делиться без остатка на произведение 
, которое после раскрытия скобок принимает вид 
(это и есть Q 2(x)). Итак, для многочлена P 5 (x) получено разложение:
P 5(x) = () 
.
Раскрывая скобки, получаем многочлен, удовлетворяющий условиям примера: P 5(x) = 
.◄
