Геометрическое распределение

Законы распределения дискретных случайных величин

Биномиальное распределение

 

Дискретная случайная величина X имеет биномиальное распределение B(n,p) (или распределена по биномиальному закону), если она принимает значения 0, 1, 2, …, n, с соответствующими вероятностями:

Иначе говоря, k – это количество удачных исходов в n независимых экспериментах, а p – это вероятность удачного исхода в единичном эксперименте.

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются по следующим формулам:

Сравним графики функций вероятности при разных значениях параметрах:

1. Постоянное n, p меняется;

 

2. Постоянное p, n меняется.

 

Если , то мы получаем распределение Бернулли.

При стремлении n к бесконечности биномиальное распределение приближается к нормальному.

 

Задача:

15

Формула:

Распределение Пуассона

 

Дискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона P( (или распределена по закону Пуассона) с параметром , если она принимает бесконечное, но счетное число значений: 0, 1, 2, …, m, …, с соответствующими вероятностями:

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий k, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются очень просто:

Сравним графики функций вероятности при разных значениях λ:

 

Распределение Пуассона является предельным для биномиального закона, когда число испытаний , а вероятность события , при условии, что произведение - постоянная величина. При этих условиях (т. е. при ) величина , определяемая по формуле Бернулли, стремится к вероятности , определяемой по закону Пуассона.

Поэтому закон распределения Пуассона является хорошим приближением биномиального закона в случае, когда число опытов велико, а вероятность успеха в каждом из них мала. В связи с этим закон распределения Пуассона называют часто законом редких событий. Этот закон распределения используется в теории массового обслуживания.

 

Задача:

Формула:

.

 

 

Геометрическое распределение

Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение G(p), если она принимает бесконечное, но счетное число значений: 0, 1, 2, …, m, …, с соответствующими вероятностями:

, где .

Геометрическое распределение – распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются по следующим формулам:

Сравним графики функций вероятности при разных значениях λ:

 

 

Задача:

Формула:

0,(3)