Стислі теоретичні відомості

Основним поняттям математичного анализу є функціональна залежність.

Означення функції, що задовільнює всім сучасним вимогам математичної строгості, вперше з`явилось в XIX ст. у геніального російкького математика М. І. Лобачевського. Саме цим означенням або незначними його модифікаціями користуються в теперишній час.

Означення 1. (М. І. Лобачевський, 1834 р.) Нехай Е -множина чисел і в силу будь-якого цілком визначеного закону кожному числу х з Е приведене у відповідність число у з множини D. Тоді кажуть, що на множині Е визначена функція . При цьому множина Е зветься областю визначення цієї функції, а D -множиною значень.

Означення 2. Функція зветься неперервною в точці , якщо вона визначена в цій точці та в якомусь її околі і .

Функція зветься неперервною на інтервалі ( a,b ), якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Означення 3. Похідною даної функції по аргументу х зветься границя відношення приросту функції до приросту аргумента , в разі коли останнє довільним способом спадає до нуля.

Наряду с використовуються наступні вирази: , .

Операція знаходження похідної від функції називається диференціюванням цієї функції.

Зауважим, що для кожного значення х похідна має визначенне значення, тобто також є функцією від х.

Обчислення похідної будемо вести не безпосередньо, виходячи з означення похідної, а з використанням основних формул і правил диференціювання.

Таблиця основних формул диференціювання

 

1. – стала;

2.

окремі випадки:

; ;

;

3. ;

4. ;

5. ;

7. ;

8. ;

9. ;
10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. .

Наведемо основні правила обчислення похідних, вважаючи, що u, v – диференційовані функції аргумента х: .

Правило 1. Похідна алгебраїчної суми

.

Правило 2. Похідна добутку

.

Зокрема, якщо с – стала, то

.

Правило 3. Похідна частки

, .

Означення 4. Якщо , а u є не незалежною змінною, а є функцією незалежної змінної х: , то – складна функція, або суперпозиція, змінної х.

Правило 4. Похідна складної функції.

Теорема 1. Якщо функція диференційована в точці х, а функція диференційована у відповідній точці u, то складна функція диференційована в точці х і справедлива наступна формула:

.

Таким чином, аби обчислити похідну складної функції, потрібно знайти добуток похідних від функцій, що її складають, по своїм аргументам.

Це правило расповсюджується і на випадок, коли число функцій, що складають складну функцію, перевищує дві.

Наприклад, якщо , , , тобто, якщо .

В багатьох випадках при обчисленні похідних використовується формула логарифмічного диференціювання

.

Покажемо використання цієї формули для обчислення похідної показниково-степеневої функції, тобто функції виду .

Нехай u і v – диференційовані в точці х функції, причому . Тоді

або

.

На практиці краще використовувати безпосередньо сам метод логарифмічного дифференціювання, ніж запам`ятовувати формулу.

Означення 5. Якщо незалежна зміння х і функція у зв`язані рівнянням виду , що не разв`язане відносно у, то у називається неявною функцією х.

Для знаходження похідної неявної функції обі частини рівняння диференцюються по х с урахуванням, що у є функція від х і з одержаного рівняння визначається .

Означення 6. Залежність між змінними х і у іноді зручно задавати двома рівняннями , де t – допоміжнна змінна (параметр). В таком разі кажуть, що функція задана параметрично.

Теорема 2. Якщо функція у аргументу х задана параметрично – диференційовані і , то похідна цієї функції

.

C диференціальним численням пов`язані деякі способи обчислення границь.

Нехай необхідно визначити , де а – число або один з символів . При обчисленні границі може статись, що числівник і знаменник одночасно прямують до нуля або нескінченності, тобто в цих випадках маємо діло з невизначенністями виду або .

Розкриття таких невизначенностей може провидитись за правилом Лопиталя.

Теорема 3. (Правило Лопиталя) Якщо функції і такі, що:

1)

;

2) вони мають похідні в околі точки х = а, (за винятком, може бути, самої точки а);

3) існує , тоді існує також і , і
має місце рівність

.

Таким чином, обчислення границі відношення функцій, у випадку невизначенностей виду або замінюється обчисленням границі відношення їх похідних.

Зауважимо, що якщо і відношення похідних являє собою невизначенність або , то можно використовувати правило Лопиталя уже до одержаного відношення.

Невизначенності виду зводяться до невизначненностей або алгебраїчними перетвореннями.

Невизначенність

при умові, що .

або

.

Невизначенність

; .

.

Невизначенність виду для виразів зводиться до невизначенності .

, .

Якщо , то .

Наведені вище правила і теореми складають теоретичну основу дифференційного числення, на якій базуються основні його застосування.

Найважливішим з таких застосувань є використання апарату диференційного числення для дослідження функций.

Відомі кілька способів задання функції, тобто встановлення відповідності між та : аналітичний, графічний, табличний, з яких найзручнішим є аналітичний спосіб. В цому випадку функція задається формулою, що дозволяє для будь-якого заданого обчислити, як того потребує означення, одно цілком визначене значення у. В той же час при аналітичному заданні втрачається наглядність функціональної залежності. Суха формула не дозволяє побачити схему зміни функції при зміні її аргумента, її властивості і особливості.

В зв`язку з цим виникає необхідність дослідити функцію, задану аналітично, а також побудувати її графік, що дає змогу відобразити всі характерні моменти поведінки функції, що розглядається.

Означення 7. Множина пар (х, у), в яких х и у зв`язані співвідношенням , називається графіком функції .

Якщо на площині задана декартова система координат ХОУ, то кожна пара (х, у) зображуєтся визначенною точкою на цій площині, а графік функції являє собою визначену лінію.

Розглянемо побудування графіка заданої функції як кінцеву мету дослідження функції. Під дослідженням функції будемо розуміти з`ясування наступних елементів:

області визначення функції;

області неперервності функції, її точки розриву та їх характер;

парності, періодичності;

інтервалів зростання и спадання функції, її экстремумів;

интервалів опуклості функції, точок перегину графіка функції;

асимптот графіка функції.

При дослідженні функції, що задана аналитично, знаходять природну область визначення цієї функції, тобто множину дійсних чисел х, при яких вираз має сенс і дозволяє однозначно обчислити відповідне значення у.

Геометрично область визначення функції являє собою проекцію графіка цієї функції на вісь ОХ. Над тима х, які не входять в область візначення функції , не може бути графіка, тому що немає у, який міг би скласти пару с х, зв`язану рівністю .

Геометрично неперервна функція зображується неперервною линією.

Точка називається точкою розриву функції , якщо функція визначена в околі цієї точки і не є неперервною в точці .

В точках розриву графік функції переривається. Розриви функцій бувають першого і другого роду.

Якщо точка розриву функції така, що існують скінченні однобічні границі і , називається точкою розриву першого роду.

Якщо ж бодай одна з зазначених границь нескінчена або не існує, називається точкою розриву другого роду.

Зауважимо, що якщо хоч би одна з однобічних границь в точці нескінчена, то в точці графік функції має вертикальну асимптоту.

Означення 8. Функція називаєтся парною, якщо і непарною, якщо для будь-якого х з області визначення функції.

Графік парної функції симетричний відносно вісі ординат, а непарної – відносно початку координат.

Функція називаєтся периодичною з періодом Т, якщо для будь-якого х з області визначення функції.

Коли кажуть про період, мають на увазі найменше додатне число Т, що задовільнює зазначеній рівності.

Розгляд властивостей парності та періодичності суттєво спрощують побудування графіків відповідних функцій.

Функція називається такою, що зростає (спадає) на інтервалі (a, b), якщо для будь-яких і з цього інтервалу таких, що < , виконується нерівеність (відповідно ).

Якщо функція на інтервалі (a, b) тільки зростає або тільки спадає, вона називається монотонною на цьому інтервалі.

Теорема 4. Для того щоб диференційована на інтервалі (a, b) функція, зростала (спадала) на цьому інтервалі, необхідно і достатньо, щоб в кожній його точці похідна була додатньою (від`ємною ).

Теорема 4 вказує, що дослідження функції на монотонність зводиться до дослідження знака похідної цієї функції.

Означення 9. Точка называється точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо існує окіл цієї точки ( ) для будь-якого х з якого виконується нерівнвість (відповідно, ).

Точки максимуму або мінімуму називаються точками экстремуму.я

В точці максимуму функція змінює свою поведінку зі зростання на спадання, в точці мінімуму – зі спадання на зростання.

Теорема 5. (Необхідна умова існування экстремуму.)

Нехай – точка экстремуму функції . Тоді або не існує, або .

Теорема 5 показує, що точки экстремуму функції потрибно шукати поміж точок, в яких похідна функції обертається в ноль або не існує. Такі точки називаються критичними точками функції.

Теорема 6. (Достатні умови экстремуму.)

Нехай – критична точка функції . Якщо, переходячи через точку , похідна цієї функції змінює знак с “+” на “-”, то точка є максимумом, якщо ж знак змінюється с “-” на “+”, то – точка мінімуму.

Означення 10. Графік функції називаєтся опуклим вниз (вгору) в точці , якщо дотична до графіка в точці розташована нище (вище) кривої в якомусь околі цієї точки.

Функція опукла в кожній точці інтервала (a, b) називається опуклою на цьому інтервалі.

Теорема 7. Для того, щоб функція була опуклою вниз (вгору) на інтервалі (a, b) необхідно і достатньо, щоб на цьому інтервал друга похідна була додатньою (відповідно- від`ємною).

Означення 11. Точка називається точкою перегину графіка функції , якщо, переходячи через цю точку, дотична до графіка переходить з одного боку графіка на інший.

Другими словами, в точці перегину графік функції змінює свою поведінку з опуклості вниз на опуклість вгору або навпаки.

Теорема 8. Необхідна умова існування перегину.

Нехай графік функції має в точці перегин. Тоді або , або друга похідна в точці не існує.

Теорема 9. Достатня умова існування перегину.

Якщо друга похідна змінює знак, переходячи через точку , то в точці графік функції має перегин.

Дослідження функции на опуклість і визначення точок перегину проводиться дослідженням знака і знаходженням нулів другої похідної так же, як і дослідження на монотонність проводиться за допомогою першої похідної.

Означення 12. Нехай функція визначена для довільно великих х. Пряма називається похилою асимптотою графіка функції , якщо функція є величина нескінчено мала при .

Теорема 10. Для того щоб графік функції мав похилу асимптоту при , необхідно і достатньо, щоб існували скінчені границі і .

Тоді пряма – асимптота.

Похолі асимптоти характеризують поведінку функції на нескінченості. Якщо графік функції має асимптоту, то, як випливає з означення, він необмежено до неї наближується при необмеженому зростанні аргументу.

Досліджувати функцію на існування похилих асимптот належить роздільно на і на , оскільки одна і та ж функція може мати різні асимптоти в залежності від знака необмежено зростаючого по модулю аргумента.

Дослідження функції з метою побудування графіка рекомендуєтся проводити в такій послідовності:

визначити область існування функції, область неперервності і точки розриву;

дослідити характер точок розриву і знайти вертикальні асимптоти;

знайти похилі асимптоти;

дослідіти функцію на парність і периодичність;

приблизно намалювати графік функції;

обчислити першу та другу похідні;

знайти точки, в яких перша та друга похідна дорвнюють нулю або не існують;

скласти таблицю зміни знаків перщої та другої похідних, визначити проміжки зростання, спадання, опуклості, знайти точки экстремуму і точки перегину;

знайти, якщо це можливо, точки перетину з вісями координат та інші характерні точки, що не ввійшли в таблицю;

остаточно побудувати графік функції.

Детальніше питання диференційного числения і його застосування викладені в [ 1–5 ]. В цих же підручниках наведені доведення теорем, що розглядались вище.