Вопросы к экзамену по математическому анализу.
1 курс, 1 семестр, специализация «Математика», 2016 год
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА.
1. Множества и элементарные операции над ними. Свойства операций над множествами.
2. Множества натуральных, целых и рациональных чисел. Свойства рациональных чисел.
3. Измерение отрезков числовой оси.
4. Множество вещественных чисел. Правило сравнения вещественных чисел.
5. Приближение вещественных чисел рациональными.
6. Операция сложения на множестве вещественных чисел. Разность.
7. Операция умножения на множестве вещественных чисел. Деление.
8. Свойства вещественных чисел
9. Множество вещественных чисел, ограниченных сверху. Supremum. Теорема о существовании супремума.
10. Множество вещественных чисел, ограниченных снизу. Infimum. Теорема о существовании инфимума. Ограниченные и неограниченные множества.
ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
1. Понятии числовой последовательности. Определение и способы задания числовой последовательности.
Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела.
3. Ограниченные и неограниченные последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.
4. Лемма о существовании ограниченной последовательности, обратной сходящейся.
5. Бесконечно малые, бесконечно большие последовательности и их свойства.
Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
7. Предельный переход в неравенствах.
Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса.
9. Интерполяционная формула Герона.
10. Число e. Возрастающая последовательность, сходящаяся к числу е. Иррациональность числа е.
11. Подпоследовательности, частичные пределы последовательности.
Лемма о вложенных промежутках.
Теорема Больцано-Вейерштрасса.
14. Необходимое и достаточное условие сходимости ограниченной последовательности.
Фундаментальные последовательности. Критерий Коши. Пример.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ.
1. Определение, способы задания, важнейшие классы функций.
2. Понятие обратной функции. Сложная функция.
Определение предела функции в точке. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне.
Предел функции на бесконечности и бесконечные пределы..
5. Односторонние пределы.
Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
7. Первый замечательный предел. Пример.
Второй замечательный предел.
9. Свойства функций, имеющих предел.
10. Предел монотонной функции.
Критерий Больцано-Коши существования предела функции.
Бесконечно малые, бесконечно большие функции и их сравнение.
Понятие непрерывности функции.
Точки разрыва функции и их классификация точек разрыва функции.
15. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции.
16. Непрерывность строго монотонной функции.
17. Следствия из непрерывности строго монотонной функции.
18. Непрерывность элементарных функций.
Теорема об обращении функции в ноль.
Теорема о промежуточном значении.
Первая теорема Вейерштрасса для непрерывных функций.
Вторая теорема Вейерштрасса для непрерывных функций.
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
Определение производной. Примеры вычисления производных некоторых элементарных функций.
Дифференцируемость функции. Дифференциал.
Геометрический и физический смысл производной.
4. Основные правила дифференцирования. Примеры.
5. Производная обратной функции. Примеры.
6. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Примеры.
Логарифмическая производная функции.
8. Производная параметрически заданной функции.
9. Производная функции, заданной неявно.
10. Гиперболические функции и их производные.
11. Использование дифференциала в приближенных формулах.
12. Производные высших порядков. Примеры.
13. Дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы второго дифференциала.
