Тема 2.1. Метод проекций. Эпюр Монжа.

Введение. Предмет начертательной геометрии. Метод проекций. Центральные и параллельные проекции. Понятие о проективном пространстве. Понятие о гомологическом и родственном соответствиях. Инварианты параллельного проецирования.Система плоскостей проекций. Проекции точки, расположенной в разных углах пространства. Проекции прямой. Деление отрезка в данном отношении. Следы прямой. Определение длины отрезка прямой и углов его наклона к плоскостям проекций. Взаимное положение прямых. Задание плоскости на чертеже. Прямые линии и точки плоскости. Теорема о проекциях прямого плоского угла.

Тема 2.2. Плоскость. Прямая: параллельная плоскости, пересекающая плоскость и перпендикулярная к ней. Плоскости: параллельные и пересекающиеся (построение линии пересечения).

Тема 2.3. способы преобразования проекций. Сущность преобразования проекций способом замены плоскостей проекций и вращением вокруг линий уровня и проецирующих прямых линий. Основные задачи преобразования проекций.

Тема 2.4. Поверхности и тела. Образование и задание поверхностей. Классификация поверхностей. Поверхности вращения (с прямой, криволинейной образующей и кривой образующей второго порядка), линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма, линейчатые винтовые поверхности (геликоиды, торсовые), каналовые и поверхности переноса. Понятие об определителе и очерке поверхности. Линия и точка на поверхности.

Тема 2.5.. Взаимное пересечение поверхностей тел. Пересечение поверхностей плоскостью частного положения. Конические и цилиндрические сечения. Общий прием построения плоских сечений. Построение точек пересечения прямой линии с поверхностью. Принцип определения точек, общих для двух поверхностей. Характерные (опорные) точки пересечения. Способы секущих плоскостей и секущих сфер. Пересечения цилиндрических и конических поверхностей общего вида. Видимость элементов пересеченных поверхностей.

Тема 2.7 Аксонометрические проекции. Основная теорема аксонометрии. Обратимость аксонометрического изображения; вторичные проекции. Виды аксонометрии и коэффициенты искажения. Треугольник следов плоскости аксонометрических проекций. Построения изображений в системе стандартных аксонометрий. Решение основных задач в аксонометрии.

СОДЕРЖАНИЕ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКЕ.

· ЛИСТ 1.

Формат A3. Выполняются титульный лист и содержание контрольных работ по рисунку 1.

· ЛИСТ 2.

Формат A3. Основная надпись по форме 4а. Выполнить две задачи на построение сопряжении и уклонов, а также на приобретение навыков по обводке циркульных кривых. Пример оформления листа см. на рисунке 1.

Рисунок 1 - Образец выполнения листа 2

Задача 1. Построить сопряжения трех окружностей с помощью прямой и двух дуг окружностей (внутренних или внешних). Исходные данные принимают по рисунку 1.1 и таблице 1.

Рисунок 1.1 - Исходные данные к задаче1, лист 2

Таблица 1

Номер варианта	Размеры, мм
a₁	a₂	b₁	b₂	O₁	O₂	O₃	r₁ (внешний)	r₂(внутренний)
Между центрами окружностей
O₁ и О₂	О₂ и О₃	О₁ и О₂	О₂ и О₃
								-- -- -- --	-- -- -- -- -- --	-- -- -- -- --	-- -- -- -- --

Указания к выполнению задачи 1 (рисунок 1). Все графические процедуры поэтапного построения сопряжении на чертеже обязательно сохранять. На рисунке 1.2 приведены примеры сопряжения двух окружностей: а —внутреннее сопряжение дугой окружности радиуса r2; б — внешнее сопряжение прямой; в — внутреннее сопряжение прямой.

Рисунок 1.2 - Примеры сопряжения окружностей

Задача 2. Построить сопряжения и уклоны полок на профиле прокатной стали двутавра или швеллера в масштабе 1:1. Индивидуальные задания приведены в таблице 1А.

Таблица 1А

Номер	Размеры, мм	Сечение
Варианты	Профили	h	b	d	t	R	R₁
				7,0 7,5 8,3 8,6 9,5 6,5 6,0 5,6 5,4 5,2	11,2 12,3 13,0 14,2 15,2 11,0 10,5 10,0 9,5 9,0	13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 12,0 11,0 10,5 10,0 9,5	4,5	Двутавры (ГОСТ 8239-89) Швеллеры (ГОСТ 8240-89)

Указания к выполнению задачи 2 (рисунок 1). При построении профилей двутавра и швеллера все размеры берут из таблицы 1А. Для уменьшения изображения профиля по высоте применяется разрыв его вертикальной стенки. На чертеже вместо буквенных обозначений ставят размерные числа, вычисленные по указанным соотношениям рисунок 1.3. Выполняются геометрическая схема уклона, условное графическое обозначение профиля и увеличенный в два раза выносной узел 1.

При оформлении чертежа соблюдать требования государственных стандартов на типы линий и правила нанесения размеров.

Рисунок 1.3

· ЛИСТ 3.

Формат A3. Основная надпись по форме 4а (см. рисунок 2). Выполняются две задачи по формализации процесса графического решения позиционных и метрических задач. Пример оформления листа приведен на рисунке 3. На примере показана задача 1, но в зависимости от варианта может быть 1, 2 или 3.

Задача 1. Построить блок-схему алгоритма поэтапного графического решения одной из трех задач листа 4 (см. условия задач к листу 4). Номер задачи для формализации в зависимости от варианта принимается по таблице 1б, а исходные данные к ней – по таблице 2б.

Таблица 1б

Номер варианта
Номер задачи

Таблица 2б

Номер варианта

Значения координат, мм

X_A

Y_A

Z_A

X_B

Y_B

Z_B

X_C

Y_C

Z_C

X_D

Y_D

Z_D

X_E

Y_E

Z_E

Указания к выполнению задачи 1. Представить решение задачи в виде определенной последовательности описаний элементарных графических задач: построение проекции плоскости a (А, В, С), построение к плоскости a (A, В, С) перпендикуляра, проходящего через т. D, и т. д. Каждая элементарная графическая задача оформляется блоком (прямоугольником с порядковым номером). Размеры блока 70х15 мм, расстояние между блоками 10 мм.

Задача 2. Осуществить поэтапное графическое выполнение задачи 1, 2 или 3 листа 4 в виде определенной последовательности решения элементарных графических задач с нанесением на изображение мнемонических знаков, раскрывающих порядок и характер выполнения элементарных графических процедур. Исходные данные те же, что и к задаче 1.

Указания к выполнению задачи 2. Каждую элементарную задачу оформляют отдельным эпюром в последовательности, указанной в блок-схеме. При построении проекции тт. А, В, С, D, Е необходимо числовые значения их координат, принимаемые по таблице 2, уменьшить вдвое.

Рисунок 3 - Образец выполнения листа 3

Над каждой элементарной задачей размещают ее номер в кружке диаметром 7 мм.

ЛИСТ 4

Формат A3. Основная надпись по форме 4а. Выполнить три задачи на точку, прямую и плоскость в ортогональных проекциях. Пример выполнения листа см. на рисунке 4. Задачи 1 и 2 совместить на одном чертеже в левой части листа, а задачу 3 расположить в правой части листа. Точку Е построить только для задачи 3. Для левой и правой частей листа координатные оси показывать раздельно. В листе 4 и остальных листах контрольных работ обводку решенных задач выполнять цветной пастой шариковой ручки или тушью. Все вспомогательные построения не стирать и все точки чертежа обозначить.

Задача 1. Дано: плоскость треугольника a(А, В, С) и точка D. Требуется определить расстояние от точки D до плоскости, заданной треугольником a(А, В, С). Определить видимость перпендикуляра, проходящего через точку D, и плоскости треугольника a(А, В, С). Данные для выполнения задачи взять из таблицы 2, в соответствии с вариантом.

Таблица 2

Номер варианта

Значения координат, мм

X_A

Y_A

Z_A

X_B

Y_B

Z_B

X_C

Y_C

Z_C

X_D

Y_D

Z_D

X_E

Y_E

Z_E

Указания к задаче 1 (рисунок 4). Задачу выполняют в такой последовательности: 1) из точки D опустить перпендикуляр, используя горизонталь h и фронталь f плоскости. При этом горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h₁, а фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f₂; 2) определить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью a(A, В, С), для чего перпендикуляр (прямую) заключают во вспомогательную, обычно проецирующую, плоскость (g), находят линию пересечения плоскости a(А, В, С) и вспомогательной и отмечают точку К, в которой эта линия пересекается с перпендикуляром; 3) определяют натуральную величину (Н.В.) расстояния от точки D до плоскости a(А, В, С), применяя способ прямоугольного треугольника; 4) видимость проекции перпендикуляра определяют методом конкурирующих точек.

Задача 2 (рисунок 4). Дано: плоскость треугольника a(А, В, С). Требуется: построить плоскость, параллельную заданной и отстоящую от нее на 45 – 50 мм. Данные для выполнения задачи взять из таблицы 2.

Указания к задаче 2. Задачу выполняют в такой последовательности: 1) в заданной плоскости a(А, В, С) выбирают произвольную точку (в том числе вершину, на рисунке 4 взята точка С) и из нее восстанавливают перпендикуляр к плоскости a(А, В, С) (аналогично действию первому в первой задаче); 2) определяют методом прямоугольного треугольника натуральную величину произвольного отрезка перпендикуляра, который ограничивают произвольной точкой Р; 3) на натуральной величине произвольного отрезка перпендикуляра находят точку Т, расположенную на заданном расстоянии 45 мм от плоскости, и строят проекции этой точки на проекциях перпендикуляра; 4) через точку Т строят искомую плоскость, соблюдая условие параллельности плоскостей: если плоскости параллельны, то две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На эпюре одноименные проекции пересекающихся прямых параллельны.

Задача 3 (рисунок 4). Дано: плоскость треугольника a(А, В, С) и прямая а(D, Е). Требуется: через прямую а(D, Е) провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника a(А, В, С), построить линию пересечения этих двух плоскостей, определить видимость. Данные для выполнения задачи взять из таблицы 2.

Указания к задачe 3. Задача содержит следующие действия: 1) строят плоскость, перпендикулярную плоскости a(А, В, С). Плоскость, перпендикулярная другой плоскости, должна проходить через перпендикуляр к этой плоскости. Искомая плоскость, перпендикулярная плоскости a(А, В, С), должна содержать в себе заданную прямую а(D, Е) и перпендикуляр, опущенный из любой точки этой прямой на заданную плоскость a(А, В,С); (например, из точки D); 2) строят линию пересечения двух плоскостей: заданной плоскостью треугольника a(А, В, С) и построенной, перпендикулярной ей. Задачу на определение линии пересечения двух плоскостей можно решить двумя способами: первый – построить точки, пересечения двух прямых одной плоскости с другой плоскостью, т. е. использовать два раза схему нахождения точки пересечения прямой с плоскостью; второй – ввести две вспомогательные секущие плоскости частного положения, которые одновременно пересекали бы плоскость a(А, В, С) и плоскость, перпендикулярную ей, построить их линии пересечения с заданными плоскостями. Две собственные точки пересечения этих линий определяют линию пересечения данных плоскостей. На примере выполнения листа 4 (рисунок 4) в задаче 3 применен первый способ. Точки пересечения прямой а(D, Е) и перпендикуляра b(D, К) определяют линию пересечения плоскостей a(А, В, С) и искомой перпендикулярной к ней; 3) определяют видимость пересекающихся заданных плоскостей. Видимость плоскостей устанавливают с помощью конкурирующих точек скрещивающихся прямых, принадлежащих этим плоскостям.

Рисунок 4 - Образец выполнения листа 4

ЛИСТ 5

Формат A3. Основная надпись по форме 4а. Выполнить две задачи на способы преобразования проекций. Пример выполнения листа представлен на рисунке 5.

Задача 1. Дано: треугольник АВС. Требуется: способом вращения вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций, определить натуральную величину треугольника АВС. Данные для выполнения задачи берут из таблицы 4.

Таблица 4

Номер варианта	Значения координат, мм
X_A	Y_A	Z_A	X_B	Y_B	Z_B	X_C	Y_C	Z_C

Указания к задаче 1 (рисунок 5). Соблюдая правила вращения геометрических фигур вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции, необходимо выполнить два действия: 1) привести треугольник АВС в положение проецирующей плоскости, т. е. перпендикулярной плоскости проекций. Признаком перпендикулярности заданной плоскости плоскостям проекций на эпюре является вырождение одной из проекций плоскости треугольника a(А, В, С) в прямую линию. Для получения фронтально-проецирующей плоскости необходимо горизонталь плоскости a(А, В, С) вместе с системой всех точек треугольника АВС поставить в положение, перпендикулярное фронтальной плоскости проекций, а для получения горизонтально-проецирующей плоскости необходимо фронталь плоскости a(А, В, С) со всеми точками плоскости перевести в положение прямой, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций; 2) полученную проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня, т. е. параллельную либо горизонтальной, либо фронтальной плоскости проекций, в зависимости от ее положения на первом этапе преобразования. Для этого выродившуюся в прямую линию проекцию треугольника АВС изобразить в положении, параллельном оси X. Проекция треугольника АВС на одной из плоскостей проекций и будет являться натуральной величиной треугольника АВС.

Рисунок 5 - Образец выполнения листа 5

Задача 2. Дано: четырехугольник EBCD и точка А. Требуется: способом замены плоскостей проекций определить расстояние от точки А до плоскости a(Е, В, С, D), построить проекции этого расстояния на исходном эпюре и описать последовательность выполнения графических процедур решения задачи способом, показанным на листе 3 (см. рисунок 3). Точки Е, В, С, D для всех вариантов имеют одинаковые координаты: Е(90, 60, 10), В (60, 90, 80), С (10, 60, 80), D(40, 30, 10). Координаты точки А берут из таблицы 5.

Таблица 5

Варианты
Координаты точек	Значения координат, мм
X_A Y_A Z_A

Указания к задаче 2. Соблюдая правила построения геометрических фигур на замененных плоскостях проекций, необходимо: 1) преобразовать плоскость общего положения a(Е, В, С, D) в плоскость фронтально-проецирующую и построить проекцию точки А. Положение новой плоскости определяет новая ось проекций Х₁^/. Онa должна располагаться перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали плоскости a(Е, В, С, D); 2) определить расстояние от точки А до заданной плоскости. Оно равно отрезку перпендикуляра АК, опущенного из точки А на плоскость a(Е, В, С, D), выродившуюся на новой фронтальной плоскости проекций в прямую линию; 3) получив основание перпендикуляра (К₂^/), построить его проекции на исходном чертеже задачи. Так как проекция отрезка A₂^/K₂^/ перпендикуляра b – натуральная величина отрезка, то, следовательно, его проекция на плоскость П₁ будет параллельна оси Х. Координату Z для плоскости П₂ следует снять с плоскости проекций П₂^/; 4) описание последовательности графических процедур при решении задачи выполнить по аналогии с примером, приведенным на рисунке 3.

ЛИСТ 6

Формат A3. Основная надпись по форме 4а. Выполнить две задачи на пересечение многогранных поверхностей и определение натуральной величины сечения, многогранника плоскостью. Пример выполнения листа приведен на рисунке 6.

Задача 1. Дано: прямая четырехгранная пирамида и трехгранная горизонтальная призма. Требуется: вычертить три проекции пирамиды и призмы, построить линию пересечения этих многогранников и определить ее видимость. Для всех вариантов стороны основания пирамиды Р₁F₁ = К₁Е₁ = 60 мм; К₁Р₁ = Е₁F₁ = 70 мм; высота пирамиды 110 мм; высота вертикальной грани призмы 90 мм; длина всех ребер призмы 140 мм (рисунок 6). Величины l, h, a, а также значения координат точек Р и D берут из таблицы 6 в соответствии с номером варианта.

Таблица 6

Номер варианта	X_P	Y_P	Z_P	X_D	Y_D	Z_D	l	h	Угол a	Секущая грань
										ACNM BDNM ACNM BDNM BDNM ACNM BDNM ACNM BDNM ACNM

Указания к задаче 1. Вычерчивание пирамиды нужно начинать, с точки Р, а призмы – с точки D. Основание пирамиды расположено в плоскости П₁, ее ребра прямые общего положения, одна из граней призмы – фронтальная плоскость (параллельная П₂), две других – профильно-проецирующие, поэтому ребра этих граней на плоскости П₃ проецируются в точки.

Рисунок 6 - Образец выполнения листа 6

Линия пересечения многогранников определяется по точкам пересечения ребер каждого из них с гранями другого многогранника или построением линий пересечения граней многогранников. Соединяя каждые пары точек одних и тех же граней отрезками прямых, получаем линии пересечения многогранников. Видимыми линиями пересечения многогранников будут те, которые принадлежат их видимым граням. Линия пересечения многогранников строится только с использованием фронтальных и горизонтальных проекций фигур. Профильные проекции фигур применить для проверки правильности определения точек пересечения ребер с гранями и их последовательного соединения.

Задача 2. Дано: прямая четырехгранная пирамида и одна грань призмы. Требуется: способом плоскопараллельного перемещения определить натуральную величину сечения пирамиды с гранью призмы. Исходные данные берут из таблицы 6.

Указания к задаче 2. Для выполнения данной задачи используют результат решения задачи 1, выделяя из него часть линии пересечения, которая относится к указанной для варианта грани по таблице 6. Профильную проекцию пирамиды с заданной секущей гранью призмы принимают за фронтальную проекцию и к ней достраивают горизонтальную проекцию сечения пирамиды гранью по уже имеющейся горизонтальной проекции в задаче 1, но соответственно развернув его в проекционной связи (см. рисунок 6). Так как секущая грань занимает положение проецирующей плоскости, то, чтобы получить натуральную величину сечения, достаточно произвести одно перемещение. Способом плоскопараллельного перемещения проецирующую плоскость грани ставим в положение плоскости уровня (параллельное горизонтальной плоскости проекций).

При способе плоскопараллельного перемещения, все точки фигуры перемещаются в плоскостях, параллельных какой-либо одной плоскости проекций. Поэтому проекции траекторий точек на вторую плоскость проекций представляют собой прямые линии, параллельные оси проекций. Как и при вращении, вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций, при плоскопараллельном перемещении одна проекция фигуры не меняется ни по величине, ни по форме.

ЛИСТ 7

Формат A3. Основная надпись по форме 4а. Выполнить три задачи на пересечение поверхности плоскостью и прямой. Пример выполнения листа на рисунке 7. Задачи 1 и 2 выполняют в левой части листа, одна под другой, а задачу 3 – в правой части листа.

Задача 1. Дано: пирамида и прямая l. Требуется: определить точки пересечения прямой l с поверхностью трехгранной пирамиды. Все варианты задач имеют два одинаковых параметра: высоту пирамиды 70 мм и диаметр вспомогательной окружности 60 мм, в которую вписывается треугольное основание произвольного расположения по усмотрению студента. Положение прямой общего положения, которая пересекает пирамиду, устанавливается студентом также самостоятельно.

Рисунок 7 - Образец выполнения листа 7

Указания к задаче 1. Чтобы решить задачу, необходимо: 1) заключить прямую во вспомогательную плоскость частного положения (фронтально-проецирующую или горизонтально-проецирующую); 2) построить линию пересечения пирамиды с этой вспомогательной плоскостью; 3) отметить точки пересечения проекций прямой с проекциями линии пересечения; 4) определить видимость.

Так как плоскость, в которую заключается прямая, частного положения, то одна из проекций фигуры сечения пирамиды совпадает с проекцией секущей плоскости, выродившейся в линию. Вторую проекцию сечения достраивают по точкам фигуры сечения, которые лежат непосредственно на ребрах. Задача может иметь одно из трех решений: прямая пересекает пирамиду в двух точках, в одной точке (касается) и не пересекает поверхность.

Задача 2. Дано: основание конуса— окружность диаметра 60 мм, высота конуса 70 мм и прямая l. Требуется: определить точки пересечения прямой l с поверхностью прямого кругового конуса. Положение прямой студент выбирает самостоятельно, учитывая характеристику прямой, указанную в таблице 7.

Таблица 7

Номер варианта

Характеристика прямой l

Нисходящая общего положения Фронтальная под углом к П₁ - 45⁰ Горизонтально-проецирующая Горизонтальная под углом к П₂ - 30⁰ Фронтально-проецирующая Восходящая общего положения Горизонтальная под углом к П₂ - 45⁰ Фронтально-проецирующая Фронтальная под углом к П₁ - 30⁰ Горизонтально-проецирующая

Указания к задаче 2 (рисунок 7). Чтобы решить задачу, необходимо выполнить действия, аналогичные перечисленным в указаниях к задаче 1. При этом следует напомнить, что выбирать нужно такие вспомогательные секущие плоскости, которые дают наипростейший контур сечения конуса: окружность и треугольник. Так, например, для задачи 2, помещенной на рисунке 7, вспомогательная секущая плоскость является плоскостью общего положения, которая проходит через вершину конуса и задана двумя пересекающимися прямыми (заданной прямой и произвольной прямой, проходящей через вершину конуса и точку K данной прямой). Такая плоскость дает сечение в виде треугольника. Если через горизонтальную прямую провести горизонтальную плоскость, сечение будет иметь форму окружности. После определения, точек пересечения прямой с конусом не забудьте установить видимые отрезки прямой.

Задача 3. Построить три проекции линии пересечения сложной поверхности с фронтально-проецирующей плоскостью и способом совмещения (вращения вокруг линии уровня) определить натуральную величину этого сечения. Данные для вычерчивания комбинированной поверхности берут из рисунка 8.

Рисунок 8 - Данные задачи 3, листа 7

Указания к задаче 3. Задачу размещают на правой стороне листа (см. рисунок 7). Высота всей комбинированной поверхности равна 100 мм, нижняя ее часть — 35 мм. Размеры диаметров оснований поверхностей и вспомогательных окружностей, а также стороны многоугольников приведены на рисунке 8. Положение секущей плоскости для своего варианта студент назначает самостоятельно. Задачу решают в два этапа:

1) строят проекции сечения; 2) определяют натуральную величину сечения указанным способом.

Так как в данном задании для пересечения предложена плоскость частного положения – фронтально-проецирующая, то решение задачи сводится к построению проекций ряда точек фигуры сечения заданной поверхности как точек, расположенных на образующих или направляющих линиях этой поверхности. Первоначально крайние и промежуточные точки сечения назначаются на следу секущей плоскости. Натуральную величину сечения определяют по тем же точкам, которые были установлены на первом этапе. За ось вращения плоскости сечения, выбирают фронталь плоскости сечения, совпадающую с его осью симметрии. Для того чтобы избежать наложения изображений, фронталь следует размещать на свободном поле чертежа, параллельно следу секущей плоскости. Каждая точка сечения будет вращаться: вокруг оси в плоскости, перпендикулярной ей. Радиус вращения отображен в натуральную величину на горизонтальной плоскости проекций и соответствует расстоянию от точки до продольной оси симметрии (оси вращения).

ЛИСТ 8

Формат A3. Основная надпись по форме 4а. Выполнить две задачи на пересечение многогранных и кривых поверхностей и построение разверток поверхностей. Пример выполнения см. на рисунке 9.

Рисунок 9 - Образец выполнения листа 8

Задача 1. Дано: многогранник и кривая поверхность. Требуется: способом вспомогательных секущих плоскостей построить линию пересечения многогранной и кривой поверхностей, выделив ее видимые и невидимые участки. Данные для задачи приведены на рисунке 10.

Указания к задаче 1. Задачу выполняют на левой половине листа в такой последовательности: 1) намечают расположение вспомогательных секущих плоскостей частного положения (уровня) или проецирующих; 2) с их помощью определяют характерные и промежуточные точки линии пересечения поверхностей; 3) полученные точки соединяют плавными кривыми или прямыми линиями, установив предварительно последовательность расположения точек на линии пересечения поверхностей. Видимую часть линий контура, в том числе и линии пересечения, обводят сплошной основной, а невидимую – штриховой линиями. При решении задач на взаимное пересечение поверхностей следует помнить следующие положения.

Рисунок 10 - Данные задачи 1, листа 8

Задача 2. Дано: две пересекающиеся поверхности –многогранник и кривая поверхность – и линия их пересечения. Требуется: построить полную развертку одной из пересекающихся поверхностей и нанести на ней линию их пересечения. Поверхность для построения развертки студент выбирает сам из двух поверхностей задачи 1 в соответствии со своим вариантом.

Линия пересечения поверхностей наносится по результату решения задачи 1.

Указания к задаче 2 (рисунок 9). Задачу выполняют на правой половине листа в такой последовательности; 1) в кривую поверхность вписывают многогранник; 2) определяют натуральные величины всех ребер вписанного многогранника; 3) на плоскости чертежа строят одну из граней поверхности по ее натуральным величинам ребер и к ней последовательно пристраивают остальные грани, пользуясь смежными ребрами; 4) соответствующие вершины граней соединяют плавными кривыми линиями.

При развертывании многогранной поверхности выполняют только вторую и третью операции. Линия пересечения поверхностей наносится на развертку с помощью ее характерных точек. Для каждой такой точки в ортогональных проекциях определяют положение образующей и направляющей линий поверхности, на пересечении которых расположена взятая точка. Строят эти линии (образующую и, направляющую) на развертке и в их пересечении отмечают искомую точку линии пересечения поверхностей (рисунок 10).

ЛИСТ 9

Формат A3. Основная надпись по форме 4а. Выполнить две задачи на построение линии пересечения поверхностей различными способами. Пример выполнения листа представлен на рисунке 11.

Рисунок 11 - Образец выполнения листа 9

Задача 1. Дано: две пересекающиеся кривые поверхности. Требуется: способом вспомогательных секущих плоскостей построить линию их пересечения, выделив ее видимые и невидимые участки. Данные варианта задачи берут по рисунку 12.

Указания к задаче 1. Задачу выполняют с левой стороны листа в такой последовательности: 1) определяют точки пересечения очерковых образующих одной поверхности с другой, затем второй поверхности с первой; 2) определяют наивысшие и наинизшие точки линии пересечения; 3) определяют промежуточные точки линии пересечения; 4) все найденные точки пересечения последовательно соединяют кривой линией, учитывая их видимость.

При выборе вспомогательных секущих плоскостей необходимо помнить, что они должны пересечь одновременно обе поверхности и дать наипростейшие фигуры сечения. Для всех вариантов заданий вспомогательными секущими плоскостями могут быть выбраны плоскости уровня: для одних — горизонтальные, для других — вертикальные или те и другие. Точками пересечения поверхностей являются точки пересечения контуров фигур сечения поверхностей, лежащих в одной и той же вспомогательной секущей плоскости. Каждая секущая плоскость может определить от одной до четырех точек линии пересечения в зависимости от характера пересекающихся поверхностей, их расположения относительно друг друга и положения самой секущей плоскости.

Рисунок 12- Данные задачи 1, листа 9

Задача 2. Дано: две пересекающиеся поверхности вращения. Требуется: способом секущих концентрических сфер построить линию их пересечения и определить ее видимость. Данные варианта задачи берут по рисунку 13.

Рисунок 13- Данные задачи 2, листа 9

Указания к задаче 2. Задачу выполняют в правой половине листа в следующем порядке: 1) определяют центр концентрических сфер – точку пересечения осей поверхностей вращения – и проводят ряд концентрических окружностей – сфер различного радиуса, диапазон радиусов сфер определяется минимальным и максимальным радиусами. Минимальный радиус секущей сферы назначается из условия касания сферы одной и пересечения другой пересекающихся поверхностей. Максимальным радиусом является отрезок прямой от центра сферы до наиболее удаленной точки пересечения очерков пересекающихся поверхностей (Ф¹₂ и Ф²₂ на рисунке 14); 2) строят линии пересечения выбранных сфер с заданными пересекающимися поверхностями. Каждая из сфер, будучи соосной с заданными поверхностями, пересечет их по окружностям, которые в данной задаче на плоскости П2 представляют собой прямые линии – хорды окружности, называемые параллелями (рисунок 15). Точки пересечения проекций полученных параллелей являются проекциями искомых точек линии пересечения поверхностей; 3) найденные точки пересечения поверхностей соединяют плавной кривой линией; 4) достраивают горизонтальную проекцию линии пересечения по имеющимся точкам.

Рисунок 14

Рисунок 15

ЛИСТ 10

Формат A3. Основная надпись по форме 4а. Выполнить четыре задачи на построение аксонометрических проекций плоских и пространственных фигур. Пример исполнения листа приведен на рисунке 16. Расположение элементов задач с их построением и обозначением выполнить в соответствии с примером. Разбивку поля чертежа для отдельных задач выдержать согласно размерам рисунка 16, но линии границ не наносить.

Задача 1. Дано: ортогональные проекции трех правильных шестиугольников, принадлежащих плоскостям проекций П₁, П₂, П₃ (рисунок 16, задача 1, изображения а, б, в). Требуется: построить их аксонометрические проекции в прямоугольной изометрии. Описанные окружности для построения правильных шестиугольников имеют диаметр 40 мм.

Указания к задаче 1. Задачу выполняют в такой последовательности: 1) строят проекции трех правильных шестиугольников, которые расположены в плоскостях проекций П1, П2, П3 (рисунок 16, задача 1, изображения а, б, в): 2) наносят оси координат, соответствующие прямоугольной изометрической проекций, и, используя приведенные коэффициенты искажения, намечают вершины шестиугольников по соответствующим аксонометрическим осям координат, которые затем соединяют линиями. При выполнении данной задачи следует помнить, что в прямоугольной изометрии угол между проецирующим лучом и плоскостью аксонометрических проекций равен 90°, аксонометрические оси координат располагают под углом 120° (рисунок 17), действительные коэффициенты искажения по всем осям равны 0,82, но для практических построений применяют приведенные коэффициенты искажения, равные 1. При приведенных коэффициентах прямоугольная изометрия увеличивается в 1,22 раза (1:0,82=1,22), а прямоугольная диметрия – в 1,06 раза (1: 0,94=1,06).

Рисунок 16- Образец выполнения листа 10

Задача 2. Дано: ортогональные проекции трех окружностей, соответственно принадлежащих плоскостям проекций П1, П2, П3 (см. рисунок 16, задача 2, изображения а, б, в). Требуется: построить их аксонометрические проекции в прямоугольной диметрии. Диаметр окружностей равен 40 мм.

Указания к задаче 2. Задачу выполняют в нижней левой части листа в следующем порядке: 1) строят ортогональные проекции окружностей и намечают на них характерные точки, соответственно расположенные в плоскостях проекций П1, П2, П3 (см. рисунок 16, задача 2, изображения а, б, в); 2) наносят аксонометрические оси координат, соответствующие прямоугольной диметрической проекции, и, используя приведенные коэффициенты искажения, строят выбранные характерные точки окружностей, а также большую ось эллипса АВ и малую ось эллипса CD. Схема расположения осей и приведенные коэффициенты искажений изображены на рисунках 17, 18. Тут же на схеме указаны уклоны аксонометрических осей для их построения. Окружности в аксонометрии проецируются в виде эллипсов, причем при использовании действительных коэффициентов искажения большая ось эллипса равна диаметру окружности (рисунки 19, 20). Так как приведенные коэффициенты аксонометрическое изображение увеличивают, то, следовательно, большая и малая оси тоже увеличиваются. В таблице 8 приведены значения осей эллипсов для различных положений окружностей и видов аксонометрии. При построении аксонометрий окружности нужно помнить, что во всех трех плоскостях прямоугольной изометрической и диметрической проекций большая ось эллипса должна быть направлена перпендикулярно оси, которая отсутствует в этой плоскости, а малая ось сохраняет направление отсутствующей в этой плоскости оси.

Таблица 8

Оси эллипса

Прямоугольная изометрия

Прямоугольная диметрия

К=0,82

К=1

К=0,94

К=1

xOy

xOz

yOz

xOy

xOz

yOz

xOy

xOz

yOz

xOy

xOz

yOz

Большая ось

1,22D

1,06D

Малая ось

0,58

0,71

0,33

0,88

0,33

0,35

0,94

0,35

Рисунок 17

Рисунок 18

Рисунок 19

Рисунок 20

Задача 3. Дано: ортогональные проекции трех окружностей, соответственно принадлежащих плоскостям проекций П₁, П₂, П₃ (см. рисунок 16, задача 2, изображения а, б, в). Требуется: построить их аксонометрические проекции в прямоугольной изометрии. Диаметр окружностей равен 40 мм.

Указания к задаче 3. Для решения задачи используют ортогональные проекции окружностей, которые присутствуют в условии задачи 2 листа 10. Последовательность выполнения задачи 3 полностью соответствует порядку решения задачи 2 этого же листа. Коэффициент искажения по осям указан на рисунке 17, большие и малые оси – в таблице 8, а их изображение приведено на рисунке 19.

Задача 4. Дано: ортогональные проекции комбинированной поверхности и сечение этой поверхности фронтально-проецирующей плоскостью. Требуется: построить прямоугольную изометрию или прямоугольную диметрию комбинированной поверхности вместе с контуром сечения этой поверхности плоскостью. За исходные данные для построения аксонометрии комбинированной поверхности берут ортогональные проекции задачи 3 листа 7 (см. рисунок 7) и найденное на них сечение от фронтально-проецирующей плоскости. Вид аксонометрии студент определяет сам.

Указания к задаче 4 (рисунок 16). Задачу выполняют в нижней правой части листа в такой последовательности: 1) на ортогональном чертеже наносят оси прямоугольной системы координат, к которой относят заданную поверхность; 2) выбирают вид аксонометрии с таким расчетом, чтобы обеспечить наилучшую наглядность поверхности, и наносят аксонометрические оси координат; 3) в системе координат X0У строят вторичные проекции оснований поверхностей и сечения; 4) каждую точку вторичной проекции поднимают на высоту ее положения, которое она занимает в натуре, и по этим точкам строят аксонометрическое изображение.

В процессе выполнения любой аксонометрии следует запомнить, что выполнение аксонометрии нужно начинать со вторичной проекции, т. е. с построения аксонометрии плоской фигуры, являющейся видом данного предмета сверху или спереди. Поэтому для выполнения листа 10 первые три задачи были на построение плоских фигур.