Стеганопреобразование как возмущение матрицы контейнера

Общий подход к оценке свойств стеганографического алгоритма

Стеганопреобразование как возмущение матрицы контейнера

Як основне повідомлення (ОП) чи контейнер для зручності викладання розглядається зображення в градаціях сірого, прямокутна (чи квадратна) матриця якого позначається .

Вбудову ДІ в ОП, яка називається стегоперетворенням ОП, незалежно від способу та області цієї вбудови можна представити як збурення матриці . Тоді матриця СП задовольняє співвідношенню:

, (1)

 

де , тобто - це деяка функція матриці контейнера . Виходячи з формулы (1), кожне стегоперетворення можна представити у вигляді аддитивної вбудови деякої інформації у просторовій області. Будь-які перетворення, які після вбудови виникають із СП, будемо розглядати як додаткові збурення матриці . Таким чином, стегоперетворення даного зображення, результати атак, які відбуваються під час пересилання СП по каналу зв’язку і т.д. еквівалентним чином представляються у вигляді елементарних матричних операцій.

В качестве набора параметров, однозначно определяющих и всесторонне характеризующих любое СС (контейнер), можно использовать любой из наборов, который однозначно определяет произвольную двумерную матрицу. Назовем такие наборы параметров полными.

Рассмотрим первый из возможных полных наборов параметров.

Пусть — матрица размерами с элементами , (). Для нее имеет место сингулярное разложение (SVD):

, (2)

 

где ― матрицы сингулярных векторов размерности и соответственно; , - СНЧ. При этом удовлетворяют соотношениям: , где ― единичная матрица соответствующей размерности, т.е. являются ортогональными. В общем случае SVD матрицы определяется неоднозначно. Назовем вектор лексикографически положительным, если его первая ненулевая компонента положительна, а SVD (2) нормальным, если столбцы матрицы лексикографически положительны. Можно показать, что невырожденная матрица имеет единственное нормальное SVD, если ее СНЧ попарно различны. Далее будем считать, что все рассматриваемые матрицы обладают таким свойством. Таким образом, СНЧ и сингулярные векторы (СНВ), получаемые нормальным SVD, однозначно определяют матрицу, а значит могут рассматриваться как полный набор параметров для ЦИ. Далее, говоря о СНВ, будем предполагать, что они ортонормированные лексикографически положительные, т.е. однозначно определяемые нормальным SVD.

Любое преобразование ЦИ, в том числе и стеганопреобразование, возмутит его матрицу , а значит определенным образом возмутит ее СНЧ и СНВ. В силу этого имеет место следующее утверждение.

Утверждение. Любое преобразование ЦИ, в том числе и стеганопреобразование, представимо в виде совокупности возмущений СНЧ и (или) СНВ ее матрицы, что позволяет естественным образом свести задачу анализа свойств ЦИ (в том числе, стеганоанализа) к анализу возмущений СНЧ и СНВ соответствующей матрицы, а задачу построения стеганосообщения с заданными свойствами — к задаче обеспечения определенных характеристик возмущений СНЧ и СНВ его матрицы.

Таким образом, о результате преобразования (стеганопреобразования) ЦИ, его свойствах, в том числе и об одном из наиболее важных свойств ― чувствительности стеганосообщения, можно судить по характерным особенностям совокупности возмущений однозначно определяющих его параметров ― СНЧ и СНВ.

Для СНЧ , матриц и соответственно имеет место соотношение:

, (3)

 

где ― спектральная матричная норма (СМН).

В силу соотношения (3) возмущения СНЧ сравнимы с возмущением данных ― , т.е. СНЧ матрицы являются нечувствительными к возмущающим воздействиям, независимо от того, чувствительным или нечувствительным окажется стеганосообщение с матрицей .

Замечание. Для оценки чувствительности задачи формирования стеганосообщения на основе ЦИ-контейнера с матрицей имеет смысл анализировать лишь возмущения СНВ , происшедшие в ходе стеганопреобразования. Результат стеганопреобразования ЦИ для установления меры чувствительности к возмущающим воздействиям полученного стеганосообщения будем рассматривать в виде совокупности возмущений СНВ его матрицы (рис.1).

 

Рис.1. Формальное представление результаты стеганопреобразования ЦИ: - СНВ матрицы контейнера, — СНВ матрицы стеганосообщения.

 

Назовем отделенностью СНЧ матрицы величину

 

.

 

Пусть — возмущенная матрица, — угол между соответствующими исходным и возмущенным сингулярными векторами и , тогда имеют место соотношения:

 

при условии , (4)

 

при условии . (5)

 

Поскольку любое стеганопреобразование, как было отмечено выше, можно представить в виде аддитивного погружения некоторой информации в пространственной области ЦИ, то из соотношений (4), (5) вытекает истинность следующего утверждения.

Утверждение. Пусть стеганопреобразование, осуществляемое некоторым стеганометодом, вызвало возмущение СНВ матрицы контейнера. Достаточным условием обеспечения малой чувствительности получаемого стеганосообщения к возмущениям, независимо от области погружения ДИ (пространственной или области какого-либо преобразования), является соответствие возмущенных СНВ сингулярным числам с большой отделенностью. Отделенность СНЧ, отвечающих возмущенным СНВ матрицы ЦИ-контейнера, является мерой чувствительности полученного стеганособщения к возмущающим воздействиям.

Следствие. Пусть — матрица стеганосообщения, результатом стеганопреобразования является возмущение матрицы СНВ , полученной при нормальном SVD матрицы контейнера . Если возмущение отвечает СНВ, соответствующим СНЧ с малой отделенностью, то получаемое стеганосообщение окажется чувствительным к возмущающим воздействиям, независимо от вида самого метода и используемой области погружения.

Рассмотрим второй из возможных полных наборов параметров.

Пусть ― симметричная -матрица, элементы которой , с собственными значениями (СЗ) , и ортонормированными собственными векторами (СВ) , спектральное разложение (СР) которой определяется в соответствии с формулой:

 

(6)

 

где ― матрица СЗ; ― матрица СВ.

Разложение (6) может быть представленно в форме внешних произведений:

 

. (7)

 

В силу симметричности ее спектр, т.е. множество всех СЗ, всегда действительный. СЗ, являясь корнями характеристического многочлена , определяются однозначно, в отличие от СР (6).

По аналогии с нормальным SVD, СР назовем нормальным, если СВ , лексикографически положительны. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть — невырожденная симметричная -матрица, модули СЗ которой попарно различны. Тогда для нее существует единственное нормальное СР.

Далее будем считать, что все рассматриваемые ниже симметричные матрицы удовлетворяют условию теоремы.

Для ЦИ с симметричной матрицей, имеет место следующее утверждение.

Утверждение. Любое преобразование, в том числе стеганопреобразование, ЦИ в случае симметричности его матрицы представимо в виде возмущений спектра и (или) СВ матрицы, однозначно определяемых нормальным СР, что позволяет свести задачу анализа процесса стеганопреобразования и свойств стеганособщения анализу возмущений СЗ и СВ, а задачу построения стеганосообщения с заданными свойствами — к обеспечению определенных характеристик возмущений СЗ и СВ его матрицы.

Для СЗ симметричной матрицы имеет место оценка:

 

, (8)

 

из которой вытекает, что СЗ симметричной матрицы являются хорошо обусловленными, чего нельзя утверждать в общем случае для несимметричных матриц. Исходя из этого, имеет место следующее утверждение:

Утверждение. Чувствительность задачи, состоящей в построении стеганосообщения с симметричной матрицей, будет определяться чувствительностью возмущенных стеганопреобразованием СВ его матрицы.

В силу соотношения (8) возмущения СЗ (как и СНЧ) сравнимы с возмущением данных ― , СЗ симметричной матрицы являются нечувствительными к возмущающим воздействиям, независимо от того, чувствительным или нечувствительным окажется стеганосообщение с матрицей .

Замечание. Для оценки чувствительности стеганосообщения с симметричной матрицей имеет смысл анализировать лишь возмущения СВ , происшедших в ходе стеганопреобразования. Результат преобразования ЦИ для установления меры чувствительности стеганосообщения к возмущающим воздействиям будем рассматривать в виде совокупности возмущений СВ соответствующей матрицы.

Назовем абсолютной отделенностью СЗ число:

 

.

Тогда

,

 

.

 

Утверждение. Абсолютная отделенность СЗ матрицы является мерой чувствительности соответствующего СВ к возмущающим воздействиям.

Если матрица контейнера симметрична, то в качестве определяющего ее полного набора параметров можно использовать как множество СНЧ и СНВ, так и спектр матрицы и множество СВ специального вида. Предпочтение в этом случае безоговорочно следует отдать второму набору параметров в силу следующих замечаний:

1) построение СР симметричной матрицы обладает рядом преимуществ в вычислительном смысле по сравнению с построением сингулярного разложения для матрицы произвольной структуры той же размерности и того же уровня заполненности;

2) СЗ симметричной матрицы, как и ее сингулярные числа, являются хорошо обусловленными.

Однако, как правило, матрица ЦИ-контейнера не удовлетворяет свойству: . Для получения ее симметричного вида возможно пойти по следующему пути. Поставим в соответствие произвольной две симметричные матрицы той же размерности по следующему правилу:

 

, (9)

 

которые будем рассматривать ниже как матрицы контейнера.

При встраивании ДИ в исходный контейнер это стеганопреобразование представляется в виде погружения в верхний (нижний) треугольник матрицы с последующим симметричным отражением результата относительной главной диагонали . Пусть итогом такого погружения явились симметричные матрицы и . При окончательном реальном формировании матрицы стеганосообщения используется верхний треугольник и нижний треугольник матрицы .

Пусть — матрица произвольного возмущения, которому подвергается контейнер (или стеганосообщение). В общем случае . Матрице поставим в соответствие две симметричных матрицы той же размерности, используя правило (9), рассматривая матрицу, отвечающую верхнему (нижнему) треугольнику как возмущающую для контейнера (СС), полученного на основе , что дает принципиальную возможность матрицу произвольного возмущения и, как следствие, матрицу стеганосообщения также рассматривать ниже как симметричные.

Рассмотрение матрицы контейнера и СС в симметричном виде позволит также добиться значительного увеличения пропускной способности некоторых стеганометодов по сравнению с использованием ими исходного несимметричного варианта.