Глава 2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Дискретная случайная величина
1. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте и построить многоугольник полученного распределения.
2. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать закон распределения дискретной случайной величины X – числа нестандартных деталей среди четырёх отобранных и построить многоугольник полученного распределения.
3. Написать закон распределения случайной величины X – числа появлений «герба» при двух бросаниях монеты. Построить многоугольник полученного распределения.
4. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x 1= - 4 с вероятностью p 1=0,2; x 2=6 с вероятностью p 2=0,3; x 3=10с вероятностью p 3=0,5. Найти математическое ожидание данной случайной величины.
5. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x 1=0,21 с вероятностью p 1=0,1; x 2=0,54 с вероятностью p 2=0,5; x 3=0,61с вероятностью p 3=0,4. Найти математическое ожидание данной случайной величины.
6. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x 1=4 с вероятностью p 1=0,5; x 2=6 с вероятностью p 2=0,3и x 3 с вероятностью p 3. Найти x 3 и p 3, зная, что M (X)=8.
7. Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной величины X, заданной законом распределения:
| X | -5 | |||
| p | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
8. Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной величины X, заданной законом распределения:
а)
| X | 4,3 | 5,1 | 10,6 |
| p | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
б)
| X | ||||
| p | 0,05 | 0,10 | 0,25 | 0,60 |
9. Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,2.
10. Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа отказав элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.
11. Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М (X)=1,2.
12. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения x 1 и x 2, причём x 2> x 1. Вероятность того, что X примет значение x 1, равна 0,6. Найти закон распределения величины X, если математическое ожидание и дисперсия известны: M (X)=1,4; D (X)=0,24.
13. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения x 1 и x 2, причём x 1< x 2. Вероятность того, что X примет значение x 1, равна 0,2. Найти закон распределения величины X, зная математическое ожидание M (X)=2,6 и среднее квадратичное отклонение σ(X)=0,8.
14. Дискретная случайная величина X имеет только три возможных значения x 1=1, x 2 и x 3, причём x 1< x 2< x 3. Вероятность того, что X примет значение x 1 и x 2 соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения величины X, зная математическое ожидание M (X)=2,2 и дисперсию D (X)=0,76.
Функции и плотности распределения вероятностей случайных величин
1. Случайная величина X задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключённое в интервале (0, 1/3).
2. Случайная величина X задана на всей оси O x функцией распределения F(x) = 1/2 + (arctg x)/π. Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключённое в интервале (0, 1).
3. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
Найти плотность распределения f(x).
4. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
Найти плотность распределения f(x).
5. Случайная величина X задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключённое в интервале (-1, 1).
6. Случайная величина X задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее трёх; в) не меньшее трёх; г) не меньшее пяти.
7. Случайная величина X задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате четырёх независимых испытаний величина X ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).
8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
| X | |||
| p | 0,5 | 0,2 | 0,3 |
Найти функцию распределения F(x) и начертить её график.
9. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
| X | ||||
| p | 0,2 | 0,1 | 0,4 | 0,3 |
Найти функцию распределения F(x) и начертить её график.
10. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=(3/2)sin3 x в интервале (0; π/3); вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (π/6; π/4).
11. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
Найти функцию распределения F(x).
12. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
Найти функцию распределения F(x).
13. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
Найти функцию распределения F(x).
14. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
Найти функцию распределения F(x).
15. Случайная величина X задана на всей оси O x функцией распределения F(x)=1/2+(1/π)arctg(x /2). Найти возможное значение x 1, удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/4 случайная величина X в результате испытания примет значение, большее x 1.
