Функции и плотности распределения вероятностей случайных величин

Глава 2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Дискретная случайная величина

1. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте и построить многоугольник полученного распределения.

2. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать закон распределения дискретной случайной величины X – числа нестандартных деталей среди четырёх отобранных и построить многоугольник полученного распределения.

3. Написать закон распределения случайной величины X – числа появлений «герба» при двух бросаниях монеты. Построить многоугольник полученного распределения.

4. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x ₁= - 4 с вероятностью p ₁=0,2; x ₂=6 с вероятностью p ₂=0,3; x ₃=10с вероятностью p ₃=0,5. Найти математическое ожидание данной случайной величины.

5. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x ₁=0,21 с вероятностью p ₁=0,1; x ₂=0,54 с вероятностью p ₂=0,5; x ₃=0,61с вероятностью p ₃=0,4. Найти математическое ожидание данной случайной величины.

6. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x ₁=4 с вероятностью p ₁=0,5; x ₂=6 с вероятностью p ₂=0,3и x ₃ с вероятностью p ₃. Найти x ₃ и p ₃, зная, что M (X)=8.

7. Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной величины X, заданной законом распределения:

X	-5
p	0,4	0,3	0,1	0,2

8. Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной величины X, заданной законом распределения:

а)

X	4,3	5,1	10,6
p	0,2	0,3	0,5

 

б)

X
p	0,05	0,10	0,25	0,60

9. Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,2.

10. Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа отказав элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

11. Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М (X)=1,2.

12. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения x ₁ и x ₂, причём x ₂> x ₁. Вероятность того, что X примет значение x ₁, равна 0,6. Найти закон распределения величины X, если математическое ожидание и дисперсия известны: M (X)=1,4; D (X)=0,24.

13. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения x ₁ и x ₂, причём x ₁< x ₂. Вероятность того, что X примет значение x ₁, равна 0,2. Найти закон распределения величины X, зная математическое ожидание M (X)=2,6 и среднее квадратичное отклонение σ(X)=0,8.

14. Дискретная случайная величина X имеет только три возможных значения x ₁=1, x ₂ и x ₃, причём x ₁< x ₂< x ₃. Вероятность того, что X примет значение x ₁ и x ₂ соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения величины X, зная математическое ожидание M (X)=2,2 и дисперсию D (X)=0,76.

Функции и плотности распределения вероятностей случайных величин

 

1. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключённое в интервале (0, 1/3).

2. Случайная величина X задана на всей оси O x функцией распределения F(x) = 1/2 + (arctg x)/π. Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключённое в интервале (0, 1).

3. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X

Найти плотность распределения f(x).

4. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X

Найти плотность распределения f(x).

5. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключённое в интервале (-1, 1).

6. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее трёх; в) не меньшее трёх; г) не меньшее пяти.

7. Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате четырёх независимых испытаний величина X ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X
p	0,5	0,2	0,3

Найти функцию распределения F(x) и начертить её график.

9. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X
p	0,2	0,1	0,4	0,3

Найти функцию распределения F(x) и начертить её график.

10. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=(3/2)sin3 x в интервале (0; π/3); вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (π/6; π/4).

11. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

12. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

13. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

14. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

15. Случайная величина X задана на всей оси O x функцией распределения F(x)=1/2+(1/π)arctg(x /2). Найти возможное значение x ₁, удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/4 случайная величина X в результате испытания примет значение, большее x ₁.