Смысл операций объединения, пересечения и взятия разности в реляционной алгебре остается теоретико-множественным. Но если в теории множеств операция объединения, пересечения, взятия разности имеет смысл для двух любых операндов, то в случае реляционной алгебры результатом операции объединения, пересечения и взятия разности должны являться отношения. Если допустить в реляционной алгебре возможность объединения двух отношений с разными схемами, то результатом операции будет множество разнотипных кортежей но не обязательно отношения. Если исходить из требования замкнутости реляционной алгебры относительно понятия отношения то такая операция объединения, пересечения, взятия разности является бессмысленной. Подобные соображения привели к появлению понятия совместимости отношений по объединению. Два отношения совместимы по объединению в том и только в том случае, когда они обладают одинаковыми заголовками. Если два отношения совместимы по объединению то при выполнении над ними операций объединения, пересечения или взятия разности результатом операции является отношение с корректно определенным заголовком, который совпадает с заголовком каждого из отношения операндов. Если два отношения совместимы по объединению на всем кроме имен атрибутов, то их можно сделать полностью совместимыми по объединению путем применения операций переименования.
Другие проблемы связаны с операцией взятия прямого произведения двух отношений. В реляционной алгебре используется специализированная формула операции взятия прямого произведения так называемая расширенное прямое произведение отношений. Проблемой получения расширенного прямого произведения может быть именование атрибутов результирующего отношения, если отношение операнды обладают одноименными атрибутами. Два отношения совместимы по взятию прямого произведения в том и только в том случае если множества имен атрибутов этих отношений не пересекаются. Любые два отношения могут быть сделаны совместимыми по взятию прямого произведения путем применения операции переименования к атрибутам одного из этих отношений.
Реляционное исчисление.
Базисными понятиями реляционного исчисления являются понятия переменной с определенной для нее областью допустимых значений и понятие правильно построенной формулы опирающееся на переменные, предикаты и кванторы. В зависимости от того что является областью определения переменных различают исчисление кортежей и исчисление доменов. При исчислении кортежей областями определения переменных являются отношения базы данных. Допустимые значения каждой переменной являются кортежем некоторого отношения. При исчислении доменов областью определения переменных являются домены для которых определены атрибуты отношений базы данных. Т.е. допустимым значением каждой переменной является значение некоторого домена. Правильно построенная формула служит для выражения условий накладываемых на кортежные переменные. Основой правильно построенных формул являются простые сравнения, которые представляют собой операции сравнения скалярных значений, т.е. значений атрибутов, переменных или констант. Более сложные варианты правильно построенных формул строятся с помощью логических операций ИЛИ, НЕ и предиката ЕСЛИ-ТО. Допускается также построение правильно построенных формул с помощью кванторов EXISTS и FORALL
Переменные входящие в правильно построенные формулы могут быть свободными или связанными. Все переменные входящие в правильно построенные формулы, при построении которых не используются кванторы, являются свободными. Если переменная используется в правильно построенной формуле сразу после квантора, то эта переменная называется связанной и это означает, что такая переменная не видна за пределами правильно построенной формулы связавшей эту переменную.
