ПРОГРАММА К ЭКЗАМЕНУ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
(1 КУРС, 1 СЕМЕСТР)
I. Вводная часть.
I.1. Кванторы и основные математические обозначения.
I.2. Основные числовые множества.
I.3. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна.
II. Линейная алгебра.
II.1. Определение матрицы. Основные понятия
II.2. Основные виды матриц (вектор-строка, вектор-столбец, нуль-матрица; квадратная, диагональная, треугольная матрицы; единичная матрица).
II.3. Линейные операции над матрицами.
II.4. Умножение матриц. Свойства умножения матриц.
II.5. Понятие определителя. Вычисление определителя 2-го порядка. Вычисление определителя 3-го порядка (правило Саррюса, правило треугольника). Свойства определителя.
II.6. Определение дополнительного минора матрицы. Определение алгебраического дополнения матрицы. Разложение определителя матрицы произвольного порядка по строке или по столбцу (теорема Лапласа). Минор матрицы произвольного размера. Ранг матрицы.
II.7. Обратная матрица. Свойства обратной матрицы.
II.8. Виды выражений, виды равенств. Понятия уравнения, системы уравнений, совокупности уравнений.
II.9. Система линейных алгебраических уравнений: определение, основные понятия. Виды СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли (б/д).
II.10. Методы решения СЛАУ. Матричный метод. Метод Крамера. Метод Гаусса.
II.11. Однородная СЛАУ. Тривиальное и нетривиальное решения. Условия существования решения однородной и неоднородной СЛАУ.
III. Функции одной переменной.
III.1. Определение функции. Основные понятия при задании функции. Взаимно однозначные функции. Функция, обратная заданной. Графики взаимообратных функций.
III.2. Способы задания функции. Виды аналитического задания функции. Функция Аккермана.
III.3. Четные (нечетные) функции.
III.4. Периодические функции.
III.5. Монотонные функции.
IV. Числовые последовательности.
IV.1. Равные множества. Множества, ограниченные снизу. Множества, ограниченные сверху. δ-окрестность точки.
IV.2. Понятие последовательности. Способы задания последовательности. Последовательность Фибоначчи. Факториал. Множество членов последовательности.
IV.2. Монотонные и немонотонные последовательности.
IV.3. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Предел последовательности. Теорема Вейрштрасса о пределе последовательности. Геометрическая интерпретация предела последовательности через ε-окрестность. Фундаментальная последовательность (последовательность Коши) – критерий Коши (теорема Коши).
IV.4. Основные методы при вычислении пределов последовательности, раскрытие неопределённостей.
IV.5. Число e (с выводом). Связь между натуральным и десятичным логарифмом.
V. Теория функциональных пределов.
V.1. Предел функции в точке.
V.2. Предел функции на бесконечности.
V.3.Правосторонний и левосторонний пределы.
V.3. Правило предельного перехода. Основные теоремы о пределах.
V.4. Первый замечательный предел (вывод). 2, 3, 4, 5-й замечательные пределы. Замечательные пределы и их эквивалентности.
V.5. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, их свойства, сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентность бесконечно малых, их свойства.
V.6. Определение непрерывной функции. Связь понятия непрерывности функции с понятием бесконечно малой функции. Свойства непрерывных функций. Некоторые элементарные непрерывные функции. Свойства функции, непрерывной на промежутке.
V.7. Определение точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.
V.8. Асимптоты графика функции: классификация, формулы определения.
VI. Производная.
VI.1. Понятие приращения аргумента и приращения функции. Определение производной.
VI.2. Геометрический смысл производной.
VI.3. Физический смысл производной.
VI.4. Основные теоремы о производных (свойства производных).
VI.5. Производная функции y=tgx (с доказательством).
VI.6. Производная произведения с доказательством.
VI.7. Непрерывность и дифференцируемость функции (функция, дифференцируемая в точке; функция, дифференцируемая на интервале; теорема о непрерывности дифференцируемой функции – с доказательством).
VI.8. Производная обратной функции. Производная сложной функции. Производная параметрически заданной функции. Производная неявно заданной функции. Логарифмическая производная.
VI.9. Применение производной в высшей математике: правило Лопиталя; связь между дифференцированием функции и её непрерывностью; исследование функции на промежутки монотонности и локальные экстремумы; исследование графика функции на характер выпуклости (вогнутости) и точки перегиба.
