Задания к лабораторной работе

ПРОТОКОЛ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ

(то что вводится пользователем подчеркнуто)

Год – условная единица! (можно принять месяц, квартал и т.п.)

Варианты работы: 1 – пересчет учетных ставок

2 – погашение ссуды

3 – приведение платежей и затрат

4 – расчет амортизации

5 – выход

1 <ENTER>

ПЕРЕСЧЕТ УЧЕТНЫХ СТАВОК

Введите годовую учетную ставку в % 8

Введите срок в годах Т 11

Ставка за период Т: GT% = 133,1639

1 – продолжить расчет; 2 – выход

2 <ENTER>

Продолжаем расчет вручную

K_n = 3720 (1 + 1,331639) = 8673,70
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ № 2

Фирма гарантирует прибыль за один квартал – 3 %. Какой процент прибыли будет получен за срок 1 год 3 месяца?

 

Первый способ.

За «единицу» времени «год» примем один месяц. Вычислим процентную ставку за «год»:

,

- процент прибыли за срок 1 год 3 месяца:

.

Второй способ.

За «единицу» времени примем один квартал:

.

Для выполнения задания используем программу DISCOUNT.EXE:

Год – условная единица! (можно принять месяц, квартал и т.п.)

Варианты работы: 1 – пересчет учетных ставок

2 – погашение ссуды

3 – приведение платежей и затрат

4 – расчет амортизации

5 – выход

1 <ENTER>

ПЕРЕСЧЕТ УЧЕТНЫХ СТАВОК

Введите годовую учетную ставку в % 3

Введите срок в годах Т 15/3

Ставка за период Т: GT% = 11,7222

1 – продолжить расчет; 2 – выход

2 <ENTER>

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ № 3

Взята ссуда 3 млн. руб. на срок 4 года под 70 % годовых. Выплата долга планируется равными долями с задержкой первого платежа сроком на 0,5 года. Рассчитать величину ежемесячного платежа.

 

За «единицу» времени – «год» примем 1 месяц:

Р_год = 70 %

Р_м = (1 + Р_год)^1/12 – 1 = (1 + 0,7)^1/12 – 1 = 0,04521 ≈ 4,52 %

q = P_м + 1 = 1,04521

Количество платежей:

.

Для вычисления ежемесячного взноса а рассмотрим две системы платежей:

1 – весь долг выплачивается в конце срока ,

2 – весь долг выплачивается как оговорено в договоре .

, .

 

Эту задачу можно решить на компьютере, используя программу DISCOUNT.EXE:

Год – условная единица! (можно принять месяц, квартал и т.п.)

Варианты работы: 1 – пересчет учетных ставок

2 – погашение ссуды

3 – приведение платежей и затрат

4 – расчет амортизации

5 – выход

1 <ENTER>

ПЕРЕСЧЕТ УЧЕТНЫХ СТАВОК

Введите годовую учетную ставку в % 70

Введите срок в годах Т 1/12

Ставка за период Т: GT% = 4,5211

1 – продолжить расчет; 2 – выход

1 <ENTER>

 

Год – условная единица! (можно принять месяц, квартал и т.п.)

Варианты работы: 1 – пересчет учетных ставок

2 – погашение ссуды

3 – приведение платежей и затрат

4 – расчет амортизации

5 – выход

2 <ENTER>

ПОГАШЕНИЕ ССУДЫ А РАВНЫМИ ДОЛЯМИ С МОМЕНТА Т₁

«Год» - интервал между последовательными платежами (если год действительный пересчитать ставку к «году» - условному).

Введите годовую ставку в % 4,52

Введите срок ССУДЫ в годах 48

Введите срок начала погашения ссуды 6

Платеж в % от исходной ссуды а/A = 6,6286

Общая сумма платежей в % исходной ссуды 285,0308

1 – продолжить расчет; 2 – выход

2 <ENTER>

Таблица исходных данных к заданию 1

№ п/п
	3,5 % в месяц	127 тыс. руб.	3 квартала
	42 % годовых	570 тыс. руб.	5 месяцев
	8 % квартал	1820 тыс. руб.	2,5 года
	38 % годовых	3720 тыс. руб.	3 квартала
	3,6 % в месяц	735 тыс. руб.	5 лет и 3 месяца
	86 % годовых	530 тыс. руб.	1,7 года
	12 % квартал	8126 тыс. руб.	4 года
	6 % в месяц	1274 тыс. руб.	1,5 года
	50 % в год	2412 тыс. руб.	5 месяцев
	16 % в квартал	3207 тыс. руб.	1 год 4 месяца
	4 % в месяц	896 тыс. руб.	4 года 2 месяца
	10 % в квартал	17274 тыс. руб.	5 месяцев
	45 % в год	5120 тыс. руб.	3 квартала
	7,5 % в месяц	715 тыс. руб.	1 год 3 месяца
	15 % в квартал	7420 тыс. руб.	3,5 года
	48 % в год	950 тыс. руб.	2 года 5 месяцев
	6 % в месяц	3247 тыс. руб.	3 квартала
	14 % в квартал	346 тыс. руб.	1 год 7 месяцев
	60 % в год	20576 тыс. руб.	8 месяцев
	11 % в месяц	350 тыс. руб.	3 года 5 месяцев
	16 % в квартал	17760 тыс. руб.	11 месяцев
	72 % в год	1518 тыс. руб.	2 года 3 месяца
	7 % в месяц	670 тыс. руб.	3 квартала
	18 % в квартал	5520 тыс. руб.	7 месяцев
	65 % в год	2400 тыс. руб.	17 месяцев
	9 % в месяц	480 тыс. руб.	4,5 года
	14 % в квартал	14000 тыс. руб.	1 год 4 месяца
	70 % в год	8700 тыс. руб.	5 месяцев
	6,5 % в месяц	3450 тыс. руб.	5 лет 7 месяцев
	16 % в квартал	960 тыс. руб.	2,5 года

 

Таблица исходных данных к заданию 2

№ п/п			№ п/п
	7 % в месяц	2 года		7 % в месяц	1 квартал
	55 % в год	3 квартала		74 % в год	3 года 2 месяца
	20 % в квартал	7 месяцев		11 % в квартал	7 месяцев
	6,5 % в месяц	1 квартал		5,5 % в месяц	3 квартала
	70 % в год	4 месяца		10 % в квартал	2 года
	16 % в квартал	1,5 года		65 % в год	4 месяца
	6 % в месяц	13 месяцев		8,5 % в месяц	3,5 года
	48 % в год	2,5 года		15 % квартал	1 год 4 месяца
	14 % в квартал	1,5 года		82 % в год	1 год 4 месяца
	10 % в месяц	0,5 года		7,5 % в месяц	3 года 7 месяцев
	65 % в год	5 кварталов		18 % в квартал	1 год
	12 % в квартал	1 год		63 % в год	1 квартал
	4,5 % в месяц	3 квартала		4,7 % в месяц	4 года 1 месяц
	40 % в год	8 месяцев		11 % в квартал	2 месяца
	10 % в квартал	5 месяцев		57 % в год	2 года 2 месяца

 

Таблица исходных данных к заданию 3

№ п/п
	7000 тыс. руб.	25 % год	3 года	0,5 года	1 квартал
	1500 тыс. руб.	32 % год	2,5 года	1 год	1 месяц
	20000 тыс. руб.	35 % год	4 года	1 год	0,5 года
	4700 тыс. руб.	20 % год	1,5 года	2 месяца	1 месяц
	1750 тыс. руб.	27 % год	2 года	0,5 года	1 квартал
	900 тыс. руб.	24 % год	1 год	1 квартал	1 месяц
	14100 тыс. руб.	27 % год	3 года	1 квартал	1 месяц
	45000 тыс. руб.	28 % год	5 лет	1 год	1 квартал
	24200 тыс. руб.	32 % год	3,5 года	1 квартал	1 месяц
	9500 тыс. руб.	20 % год	2 года	1 квартал	1 месяц
	5500 тыс. руб.	30 % год	2,5 года	4 месяца	2 месяца
	2350 тыс. руб.	24 % год	1,5 года	2 квартала	1 месяц
	1500 тыс. руб.	30 % год	1 год	1 квартал	1 месяц
	47500 тыс. руб.	24 % год	4,5 года	0,5 года	1 месяц
	6930 тыс. руб.	35 % год	2 года	4 месяца	2 месяца
	12700 тыс. руб.	20 % год	3 года	1 год	0,5 года
	3200 тыс. руб.	18 % год	2,5 года	0,5 года	1 квартал
	10300 тыс. руб.	25 % год	3,5 года	3 квартала	1 квартал
	40000 тыс. руб.	17 % год	5 лет	1 год	1 месяц
	15800 тыс. руб.	25 % год	4 года	0,5 года	1 квартал
	2000 тыс. руб.	23 % год	1 год	0,5 года	1 месяц
	4500 тыс. руб.	28 % год	2 года	0,5 года	1 месяц
	6350 тыс. руб.	25 % год	2,5 года	1 год	1 квартал
	30770 тыс. руб.	16 % год	4,5 года	2 года	1 квартал
	25000 тыс. руб.	23 % год	3,5 года	1 год	0,5 года
	11400 тыс. руб.	33 % год	3 года	1 год	1 месяц
	17700 тыс. руб.	17 % год	4 года	1 квартал	1 месяц
	55000 тыс. руб.	24 % год	6 лет	1 год	0,5 года
	24000 тыс. руб.	19 % год	5,5 лет	1,5 года	1 месяц
	8200 тыс. руб.	25 % год	2,5 года	0,5 года	1 месяц

 

2. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВА

 

Общая модель планирования производства

Примеры выполнения заданий, задания

 

Будем считать, что на нашем предприятии применяется n технологических способов (j = 1, 2,…, n). Каждый j -ый способ использует r видов сырья i -го типа в количестве а_ij (i = 1, 2,…, r). На предприятии производится q видов продукции. Для производства k -го вида продукции используется j -ая технология в количестве a_{r + k , j} (k = 1, 2,…, q; j = 1, 2, …, n).

Эта информация может быть записана в виде матрицы:

 

Количество столбцов в матрице равно количеству технологических способов на предприятии.

Первые r строк определяют потребленное сырье каждым технологическим способом, строки r +1, ……........, m определяют количество продукции всех типов (q = m – r) при реализации каждого технологического способа.

Вектор В определяет ограничения:

b ₁, …., b_r — по сырью (запасы сырья);

b_{r +1},…, b_m — по выпуску продукции.

Управляемыми параметрами в этой модели является кратность использования каждого технологического способа x_i, x_i ≥ 0.

План использования технологических способов представляет собой вектор х = (х ₁, х ₂, …, х_n).

Все ограничения по ресурсам и по выпуску продукции можно записать в виде неравенств:

а ₁₁ х ₁+ а ₁₂ х ₂ +… а _{1 n}х_n ≤ b ₁,

а ₂₁ х ₁+ а ₂₂ х ₂ +… а _{2 n} х_n ≤ b ₂,

…………………………

а_{r 1} х ₁+ а_{r 2} х ₂ +… а_rn х_n ≤ b_n.

Эти неравенства соответствует ограничениям по запасам сырья. Ограничения по выпуску продукции:

w ₁ = а_{r +1,1} х ₁+ а_{r +1,2} х ₂ +… а_{r +1, n} х_n ≥ b_{r +1},

……………………………………

w_q = а_{m ,1} х ₁ + а_{m ,2} х ₂ +… а_mn х_n ≥ b_m, q = m – r.

Если последние неравенства умножить на (–1), то полученная система неравенств запишется в виде:

а _1,1 х ₁+ а _1,2 х ₂ +… а _{1, n}х_n ≤ b ₁,

а _2,1 х ₁+ а _2,2 х ₂ +… а _{2, n} х_n ≤ b ₂,

…………………………

а_{r 1} х ₁+ а_{r 2} х ₂ +… а_rn х_n ≤ b_n,

– а_{r +1,1} х ₁ – а_{r +1,2} х ₂ –… а_{r +1, n} х_n ≤ – b_{r +1},

……………………………………

– а_{m ,1} х ₁ – а_{m ,2} х ₂ … – а_mn х_n ≤ – b_m.

В матричной форме система неравенств будет иметь вид:

А х ≤ В,

х ≥ 0.

Предположим, что j -ый технологический способ дает прибыль с_j —тогда общая прибыль запишется таким образом:

Первая задача планирования производства формулируется так: составить такой план производства, т.е. установить кратность запуска технологических способов, чтобы полученная при этом прибыль была максимальной.

В результате мы получили задачу линейного программирования, т.к. полученные целевая функция и ограничения линейны.

Для решения таких задач используется сиплекс-метод, если же переменных в задаче только две — то задачу можно решить графически. Эти методы подробно изучаются студентами экономистами и менеджерами в курсе «высшая математика» в разделе «линейное программирование».

Планирование производства и ассортиментные условия

В описанной выше модели ставилась задача максимизации прибыли, однако та же постановка задачи обладает тем недостатком, что не учитывает пропорции выпуска продукции (кроме ограничений по выпуску). Такие пропорции определяются структурой спроса и технологией использования продукции (например, если завод выпускает комбайны, то с учетом замены запчастей за время службы). Необходимо учитывать соотношения выпуска комбайна и различных типов запчастей.

Такие пропорции выпуска разных видов продукции могут быть заданы «ассортиментными условиями», и согласованный с ними выпуск должен удовлетворять условиям:

w ₁ : w ₂ : … w_q = k ₁ : k ₂ : … k_q.

Нарушение ассортиментных требований приводит к сложностям при реализации продукции, а это сказывается на величине получаемой прибыли.

В связи с этим, возникает новая задачи планирования производства — максимизация количества ассортиментных наборов.

Количество изделий k типа, вычисляется, согласно матрице А, следующим образом:

где х_j — кратность запуска j -го технологического способа.

Тогда количество ассортиментных наборов определяется, как минимум отношений:

.

В результате вторая задача максимизации количества ассортиментных наборов принимает вид:

f ₂ = x ₀ → max (f ₂ = x ₀ — целевая функция).

Ограничения по сырью остаются прежними и добавляются ограничения, связанные с ассортиментными требованиями:

k ₁ x ₀ – a_{r +1},₁ x ₁ – a_{r +1,2} x ₂ – … a_{r +1, n} x_n ≤ 0,

………………………………………….

k_m–n x ₀ – a_{m ,1} x ₁ – a_{m ,2} x ₂ – … a_{m , n} x ₄ ≤ 0,

x_j ≥ 0, j = 0, 1, …, n.

Очевидно, что поставленная задача представляет собой задачу линейного программирования, т. к. целевая функция и все ограничения линейны.

В новой постановке задачи планирования, когда мы требуем максимизации количества ассортиментных наборов, сохраняется и желание максимизировать прибыль. На этом этапе первый критерий f ₁ →max (максимальная прибыль) можно заменить требованием:

f ₁ ≥ f ₀ (прибыль не меньше f ₀).

и решить задачу с этим дополнительным ограничением. Естественно f ₀ ≤ f ^*, где f ^* — оптимальная прибыль при решении первой задачи.

Задания к лабораторной работе

«Общая задача производственного планирования»

Исходными данными к лабораторной работе является матрица А, векторы B и С, и ассортиментные требования в виде k ₁ : k ₂: k ₃= a ₁ : a ₂: a _3.

В лабораторной работе требуется:

1. Выполнить математическую постановку задачи: Составить оптимальный план производства таким образом, чтобы полученная прибыль была максимальной.
2. Решить поставленную задачу графически.
3. Решить поставленную задачу симплекс методом на ПК (в программе LINPROG)
4. Выполнить математическую постановку задачи: Составить оптимальный план производства таким образом, чтобы количество ассортиментных наборов было максимальным.
5. Решить поставленную задачу симплекс методом на ПК (в программе LINPROG)

Пример выполнения лабораторной работы:

Задание:

А = ; В = ; С =(5; 2);

k ₁ : k ₂: k ₃ = 3:2:2.

У матрицы А два столбца, следовательно на предприятии два технологических способа.

Первые три строки матрицы А содержат положительные элементы, следовательно на предприятии используются три вида сырья:

─ для первого технологического способа используется 6 единиц сырья 1-го типа, 4 единицы сырья 2-го типа и 3 единицы сырья 3-го типа.

─ Для второго технологического способа требуется три единицы сырья 1-го типа, 7 единиц сырья второго типа и 0 единиц сырья 3-го типа.

Следующие 3 строки матрицы А означают, что на предприятии выпускаются три вида продукции:

─ первым способом выпускаются 2 единицы продукции 1-го вида, 4 единицы продукции 2-го вида, 1 единица продукции 3-го вида;

─ вторым технологическом способом выпускаются 3 единицы продукции 1-го вида, 0 единиц продукции 2-го вида, 2 единицы продукции 3-го вида.

Столбец В содержит ограничения b _1, b _2, b ₃ — по объему сырья, а
b ₄, b ₅, b ₆ — по объему выпуска продукции.

Вектор С содержит 2 элемента, c ₁ – прибыль, получаемая при однократном запуске 1-го технологического способа, c ₂ — 2-го способа. Соотношения k ₁ : k ₂: k ₃ — ассортиментные требования, показывают в каких пропорциях следует выпускать изделия.

1. Математическая постановка задачи: Обозначим х _1, х ₂ — кратность запуска технологических способов. Тогда, ограничения по сырью и выпуску продукции запишутся следующим образом:

(1)

Целевая функция — прибыль предприятия: f = 5 х ₁ + 2 х ₂→ max

1. Решить задачу графически:

Задача является задачей линейного программирования, т.к. целевая функция и ограничения линейны. Переменных в задаче две, следовательно, ее можно решить графически.

Построим прямую 6 х ₁+3 х ₂ = 18. Координаты двух точек на прямой получим, полагая х ₁ = 0, тогда х ₂ = 6, а если х ₂ = 0, то х ₁ = 3, т.е. (0; 6) и (3; 0).

Прямая 6 х ₁+3 х ₂ = 18 делит плоскость на две части. Подставляя координаты (0, 0) выберем штрихами часть, удовлетворяющую неравенству 6 х ₁+3 х ₂ ≤ 18.

Аналогично построим прямые: 4 х ₁+7 х ₂ = 28, получим точки (0; 4) и
(7; 0). 3 х ₁ = 6, получим прямую х ₁ = 2.

Неравенства 3, 4, 5 из (1) выполняются автоматически, так как
х ₁ ≥ 0, х ₂ ≥ 0.

Заштрихуем область, удовлетворяющую трем первым неравенствам из системы (1). Учитывая, что х ₁ ≥ 0, х ₂ ≥ 0, множество допустимых значений будет находиться в первом квадранте и представляет собой многоугольник ОАВСD.

Далее необходимо выбрать на нем точку, которая обеспечит максимум функции f — максимум прибыли.

Для этого на графике постоим вектор-градиент функции f и линию уровня.

grad f = = (5; 2).

Линия уровня: f = const, например:

5 х ₁+2 х ₂ = 0 по точкам: (0; 0) и (–2; 5).

Передвигая линию уровня параллельно самой себе в направлении вектора-градиента, видим, что С — последняя общая точка линии уровня и многоугольника допустимых решений.

В этой точке мы получим максимум функции f. Найдем координаты точки С, она лежит на пересечении двух прямых:

6 х ₁+2 х ₂ = 18,

3 х ₁ = 6, х ₁ = 2; х ₂ = 2, f ^* = 5 х ₁ + 2 х ₂ = 5∙2+2∙2 = 14 ден. ед.

Это означает, что максимальная прибыль, которую можно получить, составляет 14 денежных единиц, для этого необходимо запустить 2 раза 1-ый технологический способ и 2 раза 2-ой технологический способ.

1. Решение этой задачи симплекс-методом необходимо выполнить на компьютере с помощью программы LINPROG.
2. Постановка задачи максимизации ассортиментных наборов.

Обозначим х ₃ – количество ассортиментных наборов. Целевая функция будет иметь вид: f ₂ = х ₃→ max. Ограничения на управляемые параметры
х = (х _1, х _2, х ₃) будут состоять из ограничений по сырью и по объему выпуска продукции, а также ограничений, связанных с ассортиментными требованиями и для нашего примера запишутся следующим образом:

Полученная задача есть задача линейного программирования, т.к. целевая функция и ограничения линейны.

1. Поставленная задача имеет 3 переменных, т.е. графический способ решения не подходит. Для решения задачи симплекс-методом используем программу LINPROG. В результате решения получим
   x ₁ = 1,71, x ₂ = 2,57, x ₃ = 3,43. Точка Е (1,71; 2,57) расположена на стороне BC многоугольника решений.

 

Использованная литература

С. В. Жак. Математические модели менеджмента и маркетинга. — Ростов-на-Дону: ЛаПО, 1997.— 320 с.

 

Варианты заданий:

 

1. А = , В = , С = (5;7), k ₁: k ₂: k ₃ = 3:4:2

 

2. А = , В = , С = (5;4), k ₁: k ₂: k ₃ = 4:2:3

 

3. А = , В = , С = (4;2), k ₁: k ₂: k ₃ = 1:3:2

 

4. А = , В = , С = (1;7), k ₁: k ₂: k ₃ = 3:1:3

 

5. А = , В = , С = (5;8), k ₁: k ₂: k ₃ = 4:3:2

 

6. А = , В = , С = (2;3), k ₁: k ₂: k ₃ = 3:2:1

 

7. А = , В = , С = (7;12), k ₁: k ₂: k ₃ = 4:4:3

8. А = , В = , С = (4;6), k ₁: k ₂: k ₃ = 2:3:2

 

9. А = , В = , С = (3;2), k ₁: k ₂: k ₃ = 1:3:2

 

10. А = , В = , С = (1;3), k ₁: k ₂: k ₃ = 3:2:4

 

11. А = , В = , С = (1;4), k ₁: k ₂: k ₃ = 1:3:2

 

12. А = , В = , С = (2;4), k ₁: k ₂: k ₃ = 2:3:1

13. А = , В = , С = (4;6), k ₁: k ₂: k ₃= 3:2:4

 

14. А = , В = , С = (3;2), k ₁: k ₂: k ₃ = 2:3:1

 

15. А = , В = , С = (7;5), k ₁: k ₂: k ₃ = 1:2:3

 

16. А = , В = , С = (2;4), k ₁: k ₂: k ₃ = 1:3:2

 

17. А = , В = , С = (2;7), k ₁: k ₂: k ₃ = 2:4:1

 

18. А = , В = , С = (2;3), k ₁: k ₂: k ₃ =3:4:1

 

19. А = , В = , С = (4;6), k ₁: k ₂: k ₃ =3:5:1

 

20. А = , В = , С = (5;3), k ₁: k ₂: k ₃ =1:3:2

 

21. А = , В = , С = (2;6), k ₁: k ₂: k ₃ =3:2:1

 

22. А = , В = , С = (5;6), k ₁: k ₂: k ₃ =2:4:1

23. А = , В = , С = (3;4), k ₁: k ₂: k ₃ =3:2:4

 

24. А = , В = , С = (4;5), k ₁: k ₂: k ₃ =3:5:2

 

25. А = , В = , С = (3;4), k ₁: k ₂: k ₃ =2:1:4

 

26. А = , В = , С = (8;5), k ₁: k ₂: k ₃ =4:3:2

 

27. А = , В = , С = (2;3), k ₁: k ₂: k ₃ =1:3:2

 

28. А = , В = , С = (4;6), k ₁: k ₂: k ₃ =2:4:3

 

29. А = , В = , С = (5;4), k ₁: k ₂: k ₃ =5:1:2

 

30. А = , В = , С = (2;3), k ₁: k ₂: k ₃ =1:2:3