Пример решения системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных методом простых итераций.

 

Преобразованная система имеет вид

 

 

 

Указание: Для проверки выполнения достаточного условия сходимости метода можно ограничиться любой из вышеперечисленных норм. Для реализации итерационных вы­числений с векторами в Mathcad удобно использовать описание вектора-столбца прямо­угольной матрицы. В качестве нулевого приближения выбран вектор правых частей пре­образованной системы. Затем вычислены 10 приближений решения, которые сохраняются в матрице х так, что k-е приближение хранится в ее k-том столбце. Для того, чтобы вывес-

ти на экран все найденные приближения, с клавиатура нужно ввести имя матрицы реше­ний х и знак равенства. При выводе на экран больших матриц автоматически откр ывает ся

окно с полосой прокрутки. Чтобы вычислить норму вектора щелкните по кнопке \х\ в панели матричных инструментов и введите в помеченной позиции имя вектора.

 

1.5. Общая теория линейных систем.

 

Рассмотрим неоднородную систему m линейных алгебраических уравнений относи­тельно п неизвестных Х ₁, Х₂,..., Х_п

Для такой системы справедлива теорема Кронекера – Капелли; для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна (система совместна если она имеет хотя бы одно решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.

Исследовать неоднородную систему - значит установить, является ли она совместной и, если является - найти выражение для общего решения системы.

Применим для исследования метод Гаусса.

расширенная матрица исследуемой системы, ранг которой r равен рангу матрицы системы и r<п Такая матрица методом Гаусса сводится к ступенчатому виду.

 

 

Получим систему

 

Затем из данной системы выразим базисные переменные x₁,х₂,...,х_n через свободные переменные x_r+1,x_r+2,...,x_n.

 

 

Эти уравнения выражают общее решение системы. Положив свободные переменные равными 0, вычисляем базисные переменные и получаем частное решение исследуемой системы:

 

 

Пример исследования неоднородной системы алгебраических

Уравнений.

Cистема совместна.

Приведем матрицу к ступенчатой форме:

 

 

Свободные переменные: х4, х5, базисные - xl, х2, хЗ. Запишем, и решим эквивалентную систему:

 

Общее решение Частные решения

 

1. Порядок выполнения работы

2.1 Нахождение методом Гаусса решения системы линейных алгебраических урав­нений.

 

1. Запустить программу Mathcad

2. Установить режим автоматических вычислений

3. Присвоить переменной ORIGIN значение, равное 1

4. Ввести матрицу системы и матрицу - столбец правых частей.

5. Сформировать расширенную матрицу системы.

6. Привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.

7. Сформировать столбец решения системы.

8. Проверить правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения.

2.2.Нахожденпе методом простых итераций приближенное решение линейной сис­темы.

 

1. Запустить программу Mathcad.

2. Установить режим автоматических вычислений.

3. Преобразовать исходную систему Сх = d к виду х = b + Ах.

4. Ввести матрицы А и Ь.

5. Проверить достаточное условие сходимости.

6. Определить. нулевое (начальное) приближение решения.

7. Задать количество итераций.

8. Ввести формулу вычисления последовательных приближений решения и вычислить их.

9. Вывести на. экран матрицу приближенных решений.

10. Вычислить погрешность найденного приближения.

 

2.3.Исследовать однородную систему линейных алгебраических уравнений:

 

1. Установить режим автоматических вычислений.

2. Ввести матрицу системы и расширенную матрицу системы.

3. Вычислить ранг основной матрицы и ранг расширенной системы.

4. Сформулировать и записать в рабочем документе соответствующий вывод.

5. Если система совместна, привести расширенную матрицу этой системы к сту­пенчатому виду.

6. Определить базисные и свободные элементы.

7. Записать эквивалентную систему и разрешить ее относительно базисных пе­ременных.

8. Записать общее решение системы.

9. Найти два различных частных решения.

 

1. Содержание отчета:

3.1. Наименование работы.

3.2. Цель работы.

3.3. Решение данной системы методом Гаусса. (Приложение 1)

3.4. Решение данной системы методом простых итераций. (Приложение 1)

3.5. Исследование данной неоднородной системы. (Приложение 2)

 

1. Контрольные вопросы

1. В чем состоит прямой и обратный ход метода Гаусса?

2. Какая функция выполняет в Mathcad прямой и обратный ход метода Гаусса?

3. В каких случаях применяют итерационные методы для решения систем уравнений?

4. Как вводится понятие нормы матрицы, согласованной с нормой вектора?

5. К какому виду нужно привести исходную систему уравнений, прежде чем приме­нить метод простых итераций.

6. В каком случае система будет являться несовместной?

 

Литература:

1. Просветов Г.И. Математические методы и модели в экономике. «Альфа-Пресс», М.; 2008
2. Мелкумов Я.С. Финансовые вычисления. Теория и практика. «Инфра – М», М.; 2007

 

 

Приложение №1

 

 

 

Приложение №2