Рассмотрим расчетные зависимости, полученные аналитическим методом [1,2,3], на примере охлаждения плоской стенки, размеры которой по длине и ширине настолько велики, что теплообменом с торцов можно пренебречь. При одинаковых условиях теплообмена на обеих поверхностях температурное поле будет одномерным и симметричным относительно середины стенки. Поэтому на рис. 4.1 ее толщина обозначена через 2d.
Будем полагать, что температура окружающей пластину жидкости Тж=const и коэффициент теплоотдачи a= const. С учетом принятых ранее обозначений для избыточных температур 
дифференциальное уравнение (3.2) будет иметь вид
(4.1)
|
при 
(4.2)
При этом граничные условия в середине и на поверхности пластины соответственно можно записать так:
при х=0 
(4.3)
при х=d 
(4.4)
Решение этой задачи позволяет выразить безразмерную температуру в виде ряда
(4.5)
Здесь 
Числа mn определяются из трансцендентного уравнения
(4.6)
где 
Так как m1, m2,….., mn представляет собой ряд возрастающих чисел, то чем больше m, тем меньше роль последующего члена ряда в (4.5) по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше число Fo, тем быстрее будут убывать члены знакопеременного (из-за cos mn X) ряда (4.5) с увеличением номера n. Исследования показали, что уже при Fo 
ряд (4.5) становится настолько быстросходящимся, что распределение температуры достаточно точно, с ошибкой не более 1 %, описывается первым членом ряда (4.5)
(4.7)
Как видно из (4.7), при фиксированной безразмерной координате Х натуральный логарифм безразмерной температуры q линейно зависит от безразмерного времени Fo. Для Х=0 и Х=1 решение (4.7) в [1] представлено в виде номограмм для различных значений чисел Био, так как m1 зависит в соответствии с (4.6) только от числа Био. Эти номограммы можно использовать в практических расчетах.
При Bi ®¥ (практически при Bi >100) из (4.6) имеем ctg m=0 и mn 
, где n=1, 2, …… В этом случае температура поверхности пластины сразу при Fo>0 становится равной температуре окружающей среды, а безразмерная температура q при Х=1 q=0. Иначе говоря, процесс отвода теплоты с поверхности тела происходит существенно интенсивнее, чем выравнивание температуры в теле. В этом случае процесс охлаждения (нагревания) определяется размерами тела и его физическими свойствами.
При Bi ®0 (практически при Bi < 0,1) ctg m=¥ и mn =(n-1)p. В этом случае все члены ряда (4.5), кроме первого, равны нулю. Но при m1 ®0 
.
С другой стороны, при m1 ®0 
.
Учитывая это, уравнение (4.5) можно переписать в виде
(4.8)
При малых числах Bi значение 
и температура на поверхности пластины мало отличается от температуры в центре. Это указывает на то, что температура по толщине пластины практически распределяется равномерно. Иначе говоря, процесс выравнивания температуры в теле происходит существенно интенсивнее, чем отвод теплоты с поверхности тела, и задача охлаждения (нагревания) становится внешней.
Количество отданной (полученной) стенкой теплоты на любой момент времени t1 можно определить из следующих соображений. Количество отданной (полученной) стенкой теплоты с обеих ее поверхностей за время от t=0 до t=¥ должно равняться (в изобарном процессе) изменению энтальпии пластины за период ее полного охлаждения (нагревания)
, (4.9)
где с – удельная теплоемкость;
f – площадь боковой поверхности;
r – плотность.
Тогда за любой промежуток времени от t=0 до t=t1., или, что то же, от Fo=0 до Fo= Fo1, энтальпия пластины изменится на
или
(4.10)
где 
средняя безразмерная температура по толщине пластины в момент времени t1.
Из соотношений (4.9) и (4.10) следует, что расчет количества теплоты, отданного (полученного) пластиной, сводится к нахождению средней безраз-мерной температуры в интересующий нас момент времени. Средняя безраз-мерная температура для слоя пластины от ее центра до плоскости Х равна
в соответствии с теоремой о среднем.
Если в это выражение подставим под знак интеграла значение q из уравнения (4.5) и проинтегрируем в пределах от нуля до единицы, то получим
(4.11)
Подставив в уравнение (4.10) вычисленное по формуле (4.11) значение средней температуры пластины для интересующего нас момента времени Fo, получим количество теплоты, отданное пластиной в окружающую среду за этот промежуток времени.
Регулярный режим
Как показано выше, начиная с некоторого момента времени t>t1 охлаждения пластины, начальные условия начинают играть второстепенную роль. Процесс полностью определяется только условиями охлаждения на границе пластины и среды, физическими свойствами материала тела и его геометрической формой и размерами. Математически это означает, что температурное поле в пластине описывается первым членом ряда (4.5)
(4.12)
В этом уравнении А1-постоянный коэффициент, не зависящий ни от координат, ни от времени, так как m1 определяется из соотношения (4.6). Множитель Un является функцией только координаты х. Для тел других геометрических форм температурное поле в стадии регулярного режима также будет описываться уравнением вида (4.12). Специфика геометрической формы учитывается различным видом множителей А1 и U1. Логарифмируя последнее уравнение и опуская индексы, получим
. (4.13)
После дифференцирования обеих частей уравнения (4.13) имеем
(4.14)
Величина m называется темпом охлаждения. При наступлении регулярного режима темп охлаждения не зависит ни от координат, ни от времени и является величиной постоянной для любой точки тела. Если экспериментально определить изменение избыточной температуры J во времени t и построить зависимость в полулогарифмических координатах, то темп охлаждения в стадии регулярного режима найдется как
(4.15)
Зависимость темпа охлаждения от физических свойств материала тела, его геометрической формы и размеров, а также условий теплообмена на поверхности тела можно найти из теплового баланса. При отводе от тела объемом V тепла dQ изменение энтальпии тела составит
, (4.16)
где 
– средняя по объему избыточная температура.
За тот же промежуток времени эта теплота должна быть отведена с поверхности тела в окружающую среду за счет теплоотдачи
. (4.17)
Приравнивая выражения (4.16) и (4.17), получим
. (4.18)
Из этого уравнения следует, что относительная скорость охлаждения или темп охлаждения тела при конечном значении коэффициента теплоотдачи прямо пропорциональна коэффициенту теплоотдачи, поверхности тела и обратно пропорциональна его теплоемкости (первая теорема Кондратьева [1]). В этом уравнении множитель 
называется коэффициентом неравномерности распределения температуры в теле. При Bi®0 (практически при Bi<0,1) y=1. При Bi®¥ (практически при Bi>100) y=0.
При Bi®¥, или, что то же, a®¥, темп охлаждения становится прямо пропорциональным коэффициенту температуропроводности материала тела (вторая теорема Кондратьева [1]).
. (4.19)
Коэффициент пропорциональности К зависит от геометрической формы и размеров тела. Докажем это на примере охлаждения пластины. Напомним, что из соотношения (4.12) следует
,
при Bi®¥ имеем ctg m®0, а m стремится к своему предельному значению p/2. С учетом этого коэффициент пропорциональности для пластины равен
;
для шара
;
для параллелепипеда
;
для цилиндра конечной длины
.
На основе теории регулярного режима разработаны различные экспериментальные методы определения теплофизических свойств разных материалов. При определении этих свойств поступают следующим образом. Для определения коэффициента температуропроводности используют a-калориметр, имеющий форму цилиндра или шара. Создают условия охлаждения, близкие к a®¥, измеряют изменение избыточной температуры во времени и строят зависимость в полулогарифмических координатах. По соотношению (4.15) определяют темп охлаждения, а по формуле (4.19) рассчитывают коэффициент температуропроводности.
Конвективный теплообмен
Основные понятия и определения
Понятие конвективного теплообмена охватывает процесс теплообмена при движении жидкости. При этом перенос теплоты осуществляется одновременно, как это показано в главе 1, конвекцией и теплопроводностью. В любой точке потока жидкости плотность теплового потока определяется соотношением (2.3)
.
Поэтому, если определить плотность теплового потока в точках на границе обтекаемого жидкостью твердого тела и проинтегрировать по всей поверхности, то можно рассчитать поток тепла, подводимый (или отводимый) к этому телу. Если проинтегрировать полученное соотношение для потока тепла по интересующему нас промежутку времени, то можно определить количество тепла, подведенного (или отведенного) к телу за этот промежуток времени. Однако, как это видно из соотношения для плотности теплового потока, для этого необходимо знание полей скоростей и температур в движущейся жидкости. Для определения этих полей можно использовать дифференциальные уравнения сохранения массы (уравнение неразрывности), сохранения энергии (уравнение энергии) и уравнение движения в проекциях на координатные оси, которые были выведены в главе 2. Система этих пяти уравнений при соответствующих краевых условиях для конкретной задачи конвективного теплообмена, в принципе, казалось бы, позволяет решить задачу. Т.е. определить поле температур T=T(x,y,z,t), поля проекций скоростей на оси координат wx=wx(x,y,z,t), wy=wy(x,y,z,t), wz=wz(x,y,z,t) и поле давлений p=p(x,y,z,t). Попытки аналитического решения системы уравнений, даже для ламинарного течения жидкости, наталкиваются на серьезные математические трудности. При ламинарном течении жидкости частицы жидкости движутся без перемешивания, слоисто. Поперек потока ламинарно-текущей жидкости тепло передается только теплопроводностью. Турбулентное течение жидкости представляет собой хаотическое движение разных по размерам частиц жидкости с их перемешиванием. Любая физическая величина (температура, скорость, давление и т.д.), измеренная в фиксированной точке турбулентного потока жидкости, показывает хаотические пульсации около некоторого среднего во времени значения. Мгновенные значения скорости w, температуры T, давления р можно представить в виде суммы средних во времени значений и пульсационных:
Если подставить эти мгновенные значения скорости w, температуры T, давления р в выведенные в главе 2 дифференциальные уравнения конвективного теплообмена, то последние существенно усложняются. Физический анализ процессов конвективного теплообмена показывает, что в ряде случаев дифференциальные уравнения могут быть упрощены без внесения существенных погрешностей. Например, математическая формулировка задачи может быть упрощена при использовании понятия пограничного слоя.
