Описание установки и метода исследования

Лабораторная работа №2

 

ПРОВЕРКА КЛАССИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ СКОРОСТЕЙ ЧАСТИЦ ГАЗА ТЕРМОЭЛЕКТРОНОВ

 

Цель работы

 

На основании опытной зависимости анодного тока электронной лампы от величины задерживающего напряжения между сеткой и катодом необходимо установить вид функции распределения по скоростям термоэлектронов, покидающих катод. Рассчитать пара-метры этого распределения. Сравнить полученную зависимость с функцией распределения Максвелла по скоростям для классичес-кого идеального газа.

 

Описание установки и метода исследования

 

Электроны, покидающие поверхность металла при термоэлект-ронной эмиссии, образуют газ электронов, совершающих беспоря-дочное тепловое движение. С известной долей приближения для их изучения можно использовать модель идеального газа. Силы вза-имодействия становятся заметными только при столкновениях, когда расстояния между частицами очень малы. При этом время столкновения гораздо меньше времени – свободного движения частиц между двумя столкновениями: .

Скорости беспорядочного теплового движения частиц газа мо-гут принимать любые значения от нуля до сколь угодно больших. При столкновениях частицы газа обмениваются скоростями, им-пульсами, энергией. Несмотря на полную хаотичность движений частиц и случайный характер столкновений и изменений их ско-ростей, распределение частиц по скоростям оказывается вполне оп-ределенным. На его характер не влияют даже внешние поля. Это распределение в случае классического идеального газа соответ-ствует теоретическому выражению, которое носит название закона Максвелла распределения молекул по скоростям:

 

(3.2.1)

 

Функция характеризует распределение по скоростям тепло-
вого движения системы, находящейся в термодинамическом равно-весии. Она определяет долю молекул единицы объема газа, скорос-ти которых заключены в интервале скоростей, равном единице, около скорости . Как следует из выражения (3.2.1), эта доля зависит от величины самой скорости , абсолютной температуры и массы частиц газа ( =1.38·10 Дж/К – постоянная Больц-мана). Произведение имеет смысл вероятности обнаружения частицы со скоростью, лежащей в интервале от до . Вид функции распределения Максвелла показан на рис.3.2.1. Поскольку в газе нет неподвижных частиц и частиц, движущихся с бесконечно большими скоростями, обращается в нуль при и .

 

Как видно из формы графика, наибольшая доля всех частиц дви-жется со скоростями, близкими к – наивероятнейшей скорости. Продифференцировав по скорости и приравняв полученную производную нулю, получим выражение для :

 

. (3.2.2)

 

Это значение отличается от среднего значения скорости частиц газа, которое вычисляется по формуле:

 

. (3.2.3)

 

В лабораторной работе исследуется равновесное электронное об-лако, заключенное между катодом и первой сеткой электронной лампы–пентода.

Поскольку расположение электродов в пентоде (анода, катода и трех сеток) – цилиндрическое, образуемое облако электронов, по-кидающих катод, обладает осевой симметрией. Концентрация электронов в облаке значительна, поэто-му длина их свободного пробега гораздо меньше расстояния между катодом и первой сеткой. Вылетевшие из катода электроны, многократно сталкиваясь, об-разуют газ с равномерным распределе-нием частиц по направлениям движения и с функцией распределения, имеющей характер (3.2.1). В отсутствии электри-ческого поля в лампе за пределы первой сетки могут пройти лишь электроны, ко-торые имеют радиальную составляющую , направленную к аноду; это половина всех термоэлектронов (в пространстве скоростей это – электроны, которым со-ответствуют точки, расположенные по одну сторону от плоскости, проходящей через начало координат). Их функция распределения по скоростям содержит постоянный коэффициент, вдвое меньший, чем для функции распределения всей системы:

 

, (3.2.4)

 

здесь: – это радиальная составляющая скорости электронов в направлении от катода к аноду.

Если в пространстве между катодом и первой сеткой создается задерживающее электрическое поле, то за пределы сетки попадают только те электроны, для которых радиальная составляющая ско-рости удовлетворяет условию:

 

, (3.2.5)

 

где кг, масса электрона, Кл, величина заряда электрона, - разность потенциала катода и первой сетки.

Если практически все прошедшие первую сетку электроны дос-тигают анода, то сила анодного тока будет пропорциональна доле электронов, обладающей радиальной составляющей скорости, большей значения:

, . (3.2.6)

 

Определение вида функции распределения термоэлектронов ос-новано на измерении зависимости анодного тока лампы от величин задерживающего напряжения . Доля электронов в лампе, для ко-торых радиальная составляющая скорости превышает , от чис-ла всех электронов, покидающих катод в единицу времени, опреде-ляется как определенный интеграл от , взятый в пределах от до , что соответствует половине площади, заштрихованной на рис. 3.2.1.

, (3.2.7)

 

где - число всех электронов, имеющих значения скоростей, больших , т.е. число электронов, прошедших задерживающую разность потенциалов, а – число всех электронов, покидающих катод в единицу времени.

В пространстве между первой сеткой и анодом лампы создается такое ускоряющее поле, при котором все попадающие сюда элек-троны достигают анода, т.е. величина анодного тока пропорцио-нальна их числу. Если , то анодный ток насыщения . При наложении задерживающего напряжения анодный ток про-порционален : . Таким образом,

 

, (3.2.8)

 

где – некоторая сложная функция от , .

Взяв производную от членов равенства (3.2.8) по и восполь-зовавшись правилами дифференцирования интеграла и сложной функции, мы получим соотношения:

. (3.2.9)

 

Используя правое равенство и учитывая, что

 

; ; ,

 

можно записать выражение:

 

. (3.2.10)

 

Графики зависимостей и модуля производной показаны на рис.3.2.3 и 3.2.4.

Определив абсциссу максимума на графике , можно рассчитать наивероятнейшую реальную скорость, воспользовав-шись соотношением (3.2.6):

. (3.2.11)

 

Сравнивая (3.2.11) с выражением (3.2.2), получим выражение для температуры электронного газа:

 

. (3.2.12)

 

Схема установки показана на рис.3.2.5.

 

 

Лабораторная установка (рис. 3.3.5) функционирует следующим образом. Оператор с помощью потенциометра устанавливает раз-личные величины , фиксируя их с помощью вольтметра , и измеряет микроамперметром анодный ток. Обработка резуль-татов выполняется графическим методом. Экспериментально по-строенную зависимость назовем главной кривой.

Порядок выполнения работы

 

1. Включить установку и прогреть приборы в течение 2–3 минут.

2. Установить напряжение на первой сетке лампы на 0.

3. Изменяя напряжение на первой сетке лампы от 0 до через интервал провести измерения анодного тока . Величина шага измерений = 0,02 В (20 мВ). Результаты измерений занес-ти в таблицу 1.

4. На основании полученных результатов построить график за-висимости , где , . Здесь – значение анодного тока при отсутствии задерживающего напряжения (). Из-за схемных особенностей установка дает небольшое увеличение тока на участке от 0 до 80 мВ. Эти значения не надо учитывать при по-строении графиков.

5. Графическим методом определить производную глав-ной кривой для тех же значений . Производная определяется как тангенс угла наклона касательной, проведенной в данной точке главной кривой.

Пример приближенного расчета производной в некоторой точке кривой показан на рис.3.2.6.

 

Для расчета производной берем экспериментальную точку В, ближайшую к экспериментальной точке . Измеряем катет и катет , затем берем отношение этих кате-тов . Так поступаем для каждой экспериментальной точки. Заметим, что , , поэтому знак производной отрица-телен. Берем модуль полученного значения . Так получаем зна-чения модуля производной для каждого измерения, т.е. для каждой экспериментальной точки главной кривой.

6. Построить ниже график зависимости модуля производной от . Отдельно построить график зависимости модуля про-изводной от величины радиальной скорости . При расчете воспользоваться соотношением (3.2.6). Результаты занести в таблицу 1.

7. Используя последний график и выражение (3.2.12), опреде-лить значение наивероятнейшей радиальной скорости и рассчи-тать температуру электронного газа .

 

Таблица 1

Результаты измерений и вычислений

№ изм.	, В	, В	, мкА			,
· · ·	0.00 0.02 · · 1.00		I1 I2 · · In

 

8. Для полученной температуры построить (по точкам) кри-вую распределения Максвелла (формула 3.2.4). Построения произ-вести для всех точек в соответствии с количеством снятых экспериментальных точек – количеством измерений. В результате таких теоретических расчетов по формуле (3.2.4) заполняют по-следнюю колонку таблицы 1 и тем самым получают теоретическую кривую распределения Максвелла, которую строят в виде графика.

9. Сравнить экспериментально полученный график зависимости модуля производной от величины радиальной скорости с построенной теоретической кривой распределения Максвелла.

Произвести сравнение экспериментальной и теоретической кри-вых.

 

Контрольные вопросы

 

1. Какая система частиц называется идеальным газом?

2. Почему газ электронов в данной работе может считаться иде-альным газом?

3. Какое состояние системы называется равновесным?

4. Что характеризует функция распределения системы частиц по скоростям?

5. Каково аналитическое выражение функции распределения Максвелла по скоростям и какова форма графика ?

6. Запишите выражение функции распределения Максвелла по скоростям в приведённом виде.

7. В чем отличие распределения Максвелла от нормального рас-пределения?

8. Каким образом, зная функцию распределения, можно рассчи-тать среднюю скорость системы частиц?

9. Какова расчетная формула для наивероятнейшей скорости при максвелловском распределении частиц по скоростям?

10. Какова расчетная формула для расчета средней скорости при максвелловском распределении частиц по скоростям?

11. Чему равна вероятность движения электрона со скоростью, равной наиболее вероятной скорости?

12. Чем создаётся ток, измеряемый в этой работе?

13. Как ток может течь через вакуум, заполняющий лампу?

14. В чем состоит суть явления термоэлектронной эмиссии?

15. Какую функцию в данной работе выполняют первая, вторая и третья сетка пентода?

16. Какое поле создаётся между катодом и первой сеткой– за-держивающее или ускоряющее? Почему?

17. Какое поле создаётся между первой сеткой и анодом– задер-живающее или ускоряющее? Почему?

18. Запишите условие преодоления электроном задерживающей сетки.

19. Какая составляющая скорости электрона учитывается в ус-ловии преодоления электроном задерживающей сетки?

20. Какую роль выполняет поле между первой сеткой и анодом?

21. Какова связь между видом графика зависимости и графиком функции распределения термоэлектронов лампы по ско-ростям?

22. Используя приближение модели идеального газа, оцените температуру облака термоэлектронов для U_n = 0.1В

23. Как изменится график функции распределения термоэлект-ронов по скоростям, если увеличить напряжение накала катода?

24. Какой процесс называется случайным?

25. Что такое случайная величина?

26. Какая величина называется частотой события?

27. Что называется законом распределения случайной величи-ны?

28. Что такое функция распределения случайной величины?

29. Запишите основные свойства функции распределения слу-чайной величины.

30. Укажите основные числовые параметры, характеризующие закон распределения случайной величины и объясните их смысл.