Задачи для самостоятельного решения.

2.1. Найти матрицы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , если

 

, .

 

2.2. Найти матрицы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , если

 

, .

 

2.3. Найти произведения и матриц и , если

 

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , .

 

2.4. Даны матрицы

 

 

Какие из произведений определены? Найти их.

2.5. Даны матрицы

 

 

Определены ли произведения ?Если да, то найти их.

2.6. Дана матрица . Найти , если и

 

1) ; 2) ; 3) .

 

2.7. Дана матрица А. Найти , если .

 

1) ; 2) ; 3) .

 

2.8. Найти матрицы:

 

;

, если

 

.

 

2.9. Вычислить определители:

 

.

 

2.10. Вычислить определители:

 

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) ;

 

7) ; 8) .

 

2.11. Вычислить определители:

 

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) .

 

2.12. Дана матрица . Найти обратную матрицу. Выполнить проверку, если

 

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

 

2.13. Найти обратную матрицу для матрицы . Сделать проверку.

 

1) ; 2) ; 3) .

2.14. Решить матричные уравнения:

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) ;

 

5) ; 6) ;

 

7) ; 8) ;

 

9) .

 

2.15. Вычислить:

 

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

 

2.16. Матрицы и называются перестановочными, если . Найти все матрицы перестановочные с матрицей , если

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

2.17. Найти ранг матриц методом окаймления миноров:

 

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

 

5) ; 6) .

 

2.18. При помощи элементарных преобразований найти ранг матриц:

 

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) ; 5) .

 

Тема 2.2 системы линейных уравнений

 

 

Системой линейных уравнений с неизвестными называется система вида

(2.11)

 

Система уравнений (2.11) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений больше одного.

Множество всех решений системы (2.11) называется ее общим решением. Решить систему – значит найти ее общее решение.

Две системы уравнений называются эквивалентными, если они имеют одинаковые множества решений или обе несовместны.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются такие преобразования:

перестановка уравнений;

умножение обеих частей уравнения на одно и тоже число, не равное нулю;

прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и тоже произвольное число;

удаление (вычеркивание) из системы тривиального уравнения вида .

В результате элементарных преобразований получаем систему, эквивалентную исходной.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной.

Рассмотрим матрицы

 

, , (2.12)

 

где – матрица коэффициентов системы (или матрица системы)

– матрица (вектор – столбец) неизвестных переменных;

– матрица (вектор – столбец) свободных членов.

 

 

Тогда систему (2.11) можно записать так:

 

. (2.13)

 

Уравнение (2.13) называется матричной формой записи системы линейных уравнений (2.11).

Матрица вида

 

(2.14)

 

называется расширенной матрицей системы.

 

Исследование совместимости систем