Присоединенные векторы и правило их нахождения.

Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.

Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.

Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.

Матричный критерий линейной зависимости и независимости.

Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.

6. Определение аффинного пространства и следствия из аксиом.

7. как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.

8. Подпространства линейного пространства.

9. Линейные оболочки. Теорема о размерности линейной оболочки произвольной системы векторов.

10. Теорема о размерности линейной оболочки строк (столбцов) матрицы.

11. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства. Теорема о сумме и пересечении подпространств.

12. Теорема о размерности прямой суммы.

13. Определение матрицы перехода и её свойства.

14. Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса.

15. Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение.

16. Определение линейного оператора и его простейшие свойства. Теорема о существовании линейного оператора.

17. Определение матрицы линейного оператора. Связь координат вектора с координатами его образа.

18. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы.

19. Операции над линейными операторами.

20. Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице.

21. Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности.

22. Обратный линейный оператор.

23. Определение и свойства изоморфизма линейных пространств.

24. Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема о размерности изоморфных пространств.

Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема об изоморфизме пространств одинаковой размерности.

26. Линейные формы.

Определение и свойства собственных векторов.

Характеристический многочлен и характеристические числа линейного оператора и его матрицы. Правило нахождения собственных векторов. Лемма о решении вырожденной однородной системы линейных уравнений.

29. Лемма о диагональном виде матрицы линейного оператора. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и первая теорема о приводимости. Следствие. Замечание о матрице, приводящей матрицу А к диагональному виду.

30. Лемма о размерности пространства собственных векторов с одинаковыми собственными значениями.

31. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости.

Присоединенные векторы и правило их нахождения.

 

 

На 4 – знать формулировки во всех выделенных вопросах; на 5 – знать все формулировки; на 6 – знать все формулировки и уметь доказывать все утверждения в вопросах 1 – 4, 16, 28; на 7 – знать все формулировки и уметь доказывать все утверждения в вопросах 1 – 4, 8, 16, 17, 20, 21, 25, 28, 32; на 8 – знать все формулировки и уметь доказывать все утверждения в вопросах 1 – 5, 7 – 10, 13, 14, 16, 17, 20 – 25, 27 (без последнего свойства), 28, 32; на 9 – знать все.