Вопрос 29. Главные оси и главные моменты инерции.

Рассмотрим сечения произвольной формы. Пусть оси поворачиваются относительно точки С.

При изменении угла изменяются и моменты инерции сечения относительно этих осей, так как моменты инерции выражаются непрерывными функциями с аргументом , то есть они должны иметь экстремальные значения.

Обозначим оси, относительно которых моменты инерции принимают экстремальные значения u,v. Причем условимся, оси с минимальными моментами инерции обозначим буквой u, а с максимальным моментом инерции v.

Найдем положения этих осей, то есть угол :

Отсюда получаем уравнение:

Преобразуем и получим:

Разделим обе части уравнения на и получим:

Формула для определения положения двух взаимноперпендикулярных осей относительно одной из них момент инерции принимает max значения, а относительно другой принимает min значения.

Главными осями инерции называются 2 взаимноперпендикулярные оси относительно которых центробежный момент инеруии равен 0, а осевые моменты принимают экстремальные значения.

Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей – главными центральными моментами инерции.

Если сечение имеет три и более осей симметрии, то любая центральная ось является главной центральной осью инерции(круг, квадрат, равносторонний треугольник, кольцо).

Главные моменты инерции вычисляются по формуле:

- большой главный момент инерции (max) - меньший главный момент инерции (min)

Положение и определение четверти:

Правило построения главных осей инерции: Ось vменьшим главным моментом инерции I_V всегда откладывается на угол от оси x,y с меньшим моментом инерции так, чтобы ось v проходила через четверти имеющие знак, соответствующий со знаком центробежного момента инерции D_XY.

Вопрос 30. Геометрические характеристики сечений сложной формы.

Сечения сложной формы делятся на части, имеющие простые формы – прямоугольные, треугольные, сфера. К сечениям, имеющим простые формы относятся те же сечения, для которых легко можно указать положение центра тяжести, площадь значения осевых и центробежного моментов инерции.

Статические моменты и моменты инерции сечения сложной формы вычисляются по формулам:

Суммирование статических моментов и моментов инерции относительно разных осей не допускается.

Тема: изгиб прямых стержней