Предел и непрерывность функций комплексного аргумента

Понятия предела и непрерывности функции обобщаются на случай функций, значениями которых являются комплексные числа и которые заданы на подмножествах множества комплексных чисел.
К таким функциям относятся, например, функции f (z) = | z |, f (z) = , f (z) = z ², f (z) = 1/ z. Первые три определены на всей комплексной плоскости C, а последняя - на комплексной плоскости, из которой удалена точка 0; первая принимает только неотрицательные действительные значения, три последние - существенно комплексные.
Итак, будем здесь предполагать, что функция f задана на некотором подмножестве Z множества комплексных чисел C и принимает комплексные значения, т. е. что

f (z) C, z Z C.

Комплексное число w ₀ называется пределом функции f в точке z ₀ (или, что то же самое, при z z ₀), если для любой последовательности комплексных чисел z_n Z, n 1, 2,..., для которой z_n = z ₀ (см. п. 5.11), имеет место равенство f (z_n) = w ₀. В этом случае пишут f (z) = w ₀.
В терминах окрестностей точек на комплексной плоскости (п. 5.11) это определение равносильно следующему.
Комплексное число w ₀ называется пределом функции f в точке z ₀, если для любой окрестности V точки w ₀ существует такая окрестность U точки z ₀, что

f (U Z) V.

На "языке - " это означает следующее: для любого > 0 существует такое > 0, что для всех z Z, для которых | z - z ₀| < , выполняется неравенство

| f (z) = w ₀| < .

Доказательство эквивалентности двух сформулированных определений предела функции комплексного переменного - в терминах последовательностей и в терминах окрестностей - проводится аналогично случаю функций действительного аргумента, принимающих действительные значения.
При рассмотрении предела функции f в точке z ₀ возможны два случая: z ₀ принадлежит множеству Z, на котором задана функция f, или не принадлежит ему. Если z ₀ Z, то существование предела функции f в точке z ₀ означает, что

f (z) = f (z ₀).

В этом случае функция f называется непрерывной в точке z ₀.
Если f (z) = u (z) + v (z) i, w ₀ = u ₀ + v ₀ i, u (z), v (z), u ₀, v ₀ R, то существование предела f (z) равносильно, как это легко видеть, существованию пределов u (z) = u ₀ и v (z) = v ₀, причем в случае существования указанных пределов имеет место равенство

f (z) = u (z) + v (z) = v ₀ i.

В частности, функция f (z) непрерывна в точке z ₀ тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны функции u (z) и v (z).
Заметим, что функции u (z) и v (z) принимают действительные значения, но их аргументы - комплексные числа, поэтому пределы этих функций и их непрерывность понимаются в смысле сделанных выше определений для функций комплексного переменного.
На комплекснозначные функции комплексного аргумента переносятся многие свойства предела функций, доказанные выше в этом параграфе для действительных функций действительного аргумента. Например, предел линейной комбинации функций, имеющих пределы в некоторой точке, равен такой же линейной комбинации этих пределов.
Функция f (z) называется ограниченной на множестве Z C, если на этом множестве ограничена ее абсолютная величина | f (z)|.
Как и раньше, справедливо утверждение: если функция f имеет предел при z z ₀, то она ограничена в некоторой окрестности точки z ₀.
Переносятся на случай функций комплексного аргумента понятие предела при стремлении аргумента к бесконечности и понятие бесконечного предела. Ограничимся формулировкой общего понятия предела (конечного и бесконечного) лишь в терминах последовательностей.
Бесконечность называется бесконечно удаленной точкой комплексной плоскости C, в связи с чем точки самой комплексной плоскости C называются также и конечными точками.
Конечная или бесконечно удаленная точка w ₀ комплексной плоскости C называется пределом функции f при z z ₀, где z ₀ - также конечная или бесконечно удаленная точка, если для любой последовательности
z_n Z, n 1, 2,..., для которой z_n = z ₀, имеет место f (z_n) = w ₀.
Это определение предела (как и все сформулированные выше) содержательно, конечно, лишь в том случае, когда существует такая последовательность z_n Z, n 1, 2,..., что z_n = z ₀. В этом случае точка z ₀ называется соответственно конечной или бесконечно удаленной точкой прикосновения множества Z.