Решение нелинейных уравнений.

Построение графиков в EXCEL

 

Мастер диаграмм

Вставка → Диаграмма… или кнопка

Вставка → Точечная

ПРИМЕР 1. Построить график функции .

1. Определим функцию f(x).

В ячейки А1:А21 введем значение аргумента при помощи автозаполнения (например, с шагом 0,5).

В ячейку В1 введем значение функции, вычисляемое по формуле

В1 =(A1^2*(A1+3))^(1/3).

Ячейки В2:В21 заполняются копированием формулы из ячейки В1.

2. Выделим диапазон А1:В21 и воспользуемся Мастером диаграмм. Для построения графика функции лучше выбрать точечную диаграмму, со значениями, соединенными сглаживающими линиями без маркеров.

Чтобы график получился выразительным, можно определить промежуток изменения аргумента, увеличить толщину линий, выделить оси координат, нанести на них соответствующие деления, сделать подписи на осях и вывести заголовок.

ПРИМЕР 2. Построить график функции .

При построении этого графика следует обратить внимание на область определения функции.

В данном случае функция не существует при обращении знаменателя в ноль. Решим уравнение:

Следовательно, при определении значений аргумента следует помнить, что при функция не определена.

Зададим значение аргумента в два этапа, не включая (-2) с шагом 0,2.

ПРИМЕР 3. Построить график функции . ОДЗ:

 

Определение значения аргумента следует провести в два этапа. Например, от -5 до -1, а затем от 1 до 5.

ПРИМЕР 5. Изобразите линию заданную неявно уравнением:

4 y ² +5 x ² – 20=0.

Заданная уравнением f(x,y)=0 функция описывает кривую линию под названием эллипс. Это можно доказать, если произвести элементарные математические операции:

Разрешим заданное уравнение относительно переменной y:

Линию f(x,y) можно изобразить, построив графики двух функций:

и

в одной графической области.

Определим ОДЗ функций и .

Для построения графика введем значения аргумента в диапазон А3:А43 (от -2 до 2, D=0,1).

В ячейку В3 введем формулу для вычисления значений функции :

В3=КОРЕНЬ(20-5*$A3^2)/2.

А в ячейку С3 для вычисления значений функции :

С3=-КОРЕНЬ(20-5*$A3^2)/2.

Далее скопируем эти формулы до В43 и С43 соответственно.

Затем выделим диапазон А3:С43 и воспользовавшись Мастером диаграмм, построим графики функций и в одной графической области.

ПРИМЕР 6. Изобразите линию заданную неявно: .

Данное уравнение описывает линию под названием гипербола. Разрешим его относительно переменной y:

Найдем ОДЗ и :

 

Решение нелинейных уравнений.

Решением уравнения вида f(x)=0 является такое значение x, при котором функция f(x) обращается в ноль.

Графическим решением уравнения f(x)=0 является точка пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс – x ₀.

Интервал [a, b] на котором находится единственное графическое решение уравнения, называют интервалом изоляции корня.

ПРИМЕР 1. Найти корни полинома

Решим уравнение графически.

Проведем табулирование полинома на интервале от -1 до 1 с шагом 0,2. В ячейку В2 введем формулу:

В2=A2^3-0,01*A2^2-0,7044*A2+0,139104

На графике видно, что функция три раза пересекает ось Оx.

Исходя из того, что полином третьей степени имеет не более трех вещественных корней, то графическое решение найдено.

Интервалы изоляции корней полинома:

[-1,-0.8], [0.2,0.4] и [0.6,0.8].

Найдем корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды Сервис®Подбор параметра.

В качестве начальных значений приближений к корням можно взять любые точки из интервалов изоляции. Пусть это будут -0.9, 0.3 и 0.7.

Введем эти значения в лист Excel, например так:

А14=-0.9, А15=0.3, А16=0.7,

а в ячейку В14 введем формулу:

В14=A14^3-0,01*A14^2-0,7044*A14+0,139104

которую скопируем в ячейки В15 и В16.

Далее обратимся к пункту меню Сервис®Подбор параметра и заполнить диалоговое окно:

В поле Установить в ячейке дается ссылка на ячейку в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения f(x)=0. В нашем случае В14.

В поле Значение вводим правую часть уравнения, т.е. ноль.

В поле Изменяя значения ячейки дается ссылка на ячейку, в которую было введено начальное приближение (А14).

Вводить ссылки на ячейки в поля диалогового окна Подбор параметров удобнее не с клавиатуры, а щелчком на соответствующей ячейке.

После нажатия кнопки ОК появится диалоговое окно Результат подбора параметра с сообщением об успешном завершении поиска решения и приближенное значение корня будет помещено в ячейку А14.

Два оставшихся корня находим аналогично. Результаты вычислений будут помещены в ячейки А15 и А16.

 

ПРИМЕР 2. Решить уравнение

.

Проведем локализацию корней нелинейного уравнения. Для этого построим график функции .

Уравнение имеет два решения. Одно из них тривиальное и может быть вычислено точно:

.

Для второго можно определить интервал изоляции корня и найти корень уравнения методом последовательных приближений.

Введём начальное приближение в ячейку D18 и само уравнение, со ссылкой на начальное приближение, в ячейку E18.

Далее воспользуемся пунктом меню Сервис®Подбор параметра (Excel 2003) или

Данные®Анализ «что если» ® Подбор параметра (Excel 2010)

Заполним диалоговое окно

Результатпоиска решения будет выведен в ячейку D18

ПРИМЕР 3. Решить систему нелинейных уравнений:

1. Сведем систему к одному уравнению:

2. Решим уравнение графически.

3. Уточним корень X методом последовательных приближений.

4. Вычислим значение Y.