Апроксимуючу функцію нелінійних залежностей обирають з функцій визначеного типу, наприклад, з 
, 
, 
, 
, 
, 
. Параметри 
і 
визначають за методом найменших квадратів, тому від нелінійних функціональних залежностей необхідно перейти до лінійних.
Нехай у системі координат 
існує нелінійна залежність 
, неперервна і монотонна на відрізку 
. Введемо зміні 
і 
так, щоб у новій системі координат 
нелінійна залежність стала лінійною моделлю 
. Тоді точки з координатами 
в площині лежатимуть на прямій. Якщо серед значень 
і 
є від’ємні значення, чи значення, які дорівнюють нулю, то виконують нормування вихідних даних, тобто підбирають такі додатні значення 
і 
, що 
, 
.
Покажемо, як від нелінійних функціональних залежностей перейти до лінійної моделі .
Гіперболічна функціональна залежність 
.
Покладемо 
, одержимо . За формулами переходу знайдемо параметри і гіперболічної функціональної залежності 
.
Дробово-лінійна функціональна залежність 
.
Знайдемо для даної функції обернену функцію 
. Покладемо 
, одержимо . За формулами переходу знайдемо параметри і дробово-лінійної функціональної залежності .
Дробово-раціональна функціональна залежність 
.
Знайдемо для даної функції обернену функцію 
. Виконаємо алгебраїчні перетворення для правої частини рівності 
, отже, 
. Введемо нові зміні 
, одержимо лінійну модель . За формулами переходу знайдемо параметри і дробово-раціональної функціональної залежності 
.
Ступенева функціональна залежність 
.
Логарифмуючи обидві частини рівності 
, знаходимо 
. Користуючись властивостями добутку і ступеня логарифмів, одержимо 
, отже, 
. Покладемо 
, одержимо лінійну модель . За формулами переходу параметри і ступеневої функціональної залежності дорівнюють: 
, 
.
Експоненціальна функціональна залежність .
Логарифмуючи обидві частини рівності , знаходимо 
. За властивостями добутку і ступеня логарифмів, одержимо 
, отже, 
. Покладемо 
, одержимо . За формулами переходу параметри і експоненціальної функціональної залежності дорівнюють: , .
Логарифмічна функціональна залежність 
.
Щоб перейти від логарифмічної залежності до лінійної, зробимо підстановку 
, одержимо лінійну модель . За формулами переходу параметри і логарифмічної функціональної залежності дорівнюють: .
Способи вирівнювання нелінійних функціональних залежностей 
лінійною моделлю подано в таблиці 2.1.
Таблиця 2.1 – Формули вирівнювання лінійною моделлю нелінійних функціональних залежностей
| Емпірична формула | Спосіб вирівнювання |
|
|
|
|
| 
|
|
| 
|
|
|
|
|
|
ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
Контрольний приклад
За даними лабораторних досліджень електричний струм (mkA), якій протікає по рослині протягом доби, залежить від експозиції взаємодії (год), про що свідчать наведені дані.
Таблиця 3.1 – Залежність електричного струму від експозиції взаємодії, 
| Напруга, прикладена до рослини, U=60 B | |||
Взаємодія
 , год
| Електричний струм  , mkA
| Взаємодія
, год
| Електричний струм , mkA
|
| 2 | 232,8 | 14 | 289,8 |
| 4 | 236,1 | 16 | 302,3 |
| 6 | 238,4 | 18 | 320,4 |
| 8 | 251,3 | 20 | 351,6 |
| 10 | 268,4 | 22 | 378,8 |
| 12 | 276,5 | 24 | 410,3 |
Визначити апроксимуючу функцію з функцій визначеного типу , , , , , , яка описує залежність електричного струму від експозиції взаємодіїі побудувати її графік.
Розв’язання.
Побудуємо формули нелінійних функціональних залежностей за алгоритмом побудови апроксимуючої функціональної залежності. Знайдемо суми квадратів відхилень 
вихідних значень і значень апроксимуючих функцій 
для кожної функціональної залежності, що розглядається.
Гіперболічна функціональна залежність .
Побудуємо лінійну модель , використавши відповідні формули переходу до нових координат (таблиця 2.1). За вихідною таблицею залежності електричного струму від експозиції взаємодії 
, 
побудуємо таблицю даних 
, у новій системі координат .
Таблиця 3.2 – Залежність електричного струму від експозиції взаємодії. Гіперболічна функціональна залежність
| 0,500 | 0,250 | 0,167 | 0,125 | 0,100 | 0,083 | 0,071 | 0,063 | 0,058 | 0,050 | 0,045 | 0,042 |
| 232,8 | 236,1 | 238,4 | 251,3 | 268,4 | 276,5 | 289,8 | 302,3 | 320,4 | 351,6 | 378,8 | 410,3 |
За даними таблиці 3.2 побудуємо розрахункову таблицю.
Таблиця 3.3 – Розрахункова таблиця для гіперболічної залежності
| № | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 1 | 0,500 | 232,8 | 0,250 | 116,400 | 232,8 | 191,10 | 1738,83 |
| 2 | 0,250 | 236,1 | 0,063 | 59,025 | 236,1 | 262,11 | 676,47 |
| 3 | 0,167 | 238,4 | 0,028 | 39,733 | 238,4 | 285,78 | 2244,72 |
| 4 | 0,125 | 251,3 | 0,016 | 31,413 | 251,3 | 297,61 | 2144,91 |
| 5 | 0,100 | 268,4 | 0,010 | 26,840 | 268,4 | 304,71 | 1318,70 |
| 6 | 0,083 | 276,5 | 0,007 | 23,042 | 276,5 | 309,45 | 1085,56 |
| 7 | 0,071 | 289,8 | 0,005 | 20,700 | 289,8 | 312,83 | 530,34 |
| 8 | 0,063 | 302,3 | 0,004 | 18,894 | 302,3 | 315,37 | 170,70 |
| 9 | 0,056 | 320,4 | 0,003 | 17,800 | 320,4 | 317,34 | 9,38 |
| 10 | 0,050 | 351,6 | 0,003 | 17,580 | 351,6 | 318,92 | 1068,27 |
| 11 | 0,045 | 378,8 | 0,002 | 17,218 | 378,8 | 320,21 | 3433,18 |
| 12 | 0,042 | 410,3 | 0,002 | 17,096 | 410,3 | 321,28 | 7924,11 |
| Сума | 1,552 | 3556,7 | 0,391 | 405,740 | 3556,70 | 3556,70 | 22345,16 |
Знайдемо значення параметрів 
і 
лінійної моделі за формулами:
, 
.
,
.
За формулами переходу знайдемо значення параметрів і гіперболічної функціональної залежності: 
.
Отже, гіперболічна залежність, яка описує залежність електричного струму від експозиції взаємодії, має вигляд 
.
Знайдемо значення апроксимуючої функції для вихідних значень змінної і квадрати відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції . Результати обчислень занесемо в таблицю 3.3.
Сума квадратів відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції 
.
Дробово-лінійна функціональна залежність .
Побудуємо лінійну модель , використавши відповідні формули переходу до нових координат (таблиця 2.1). За вихідною таблицею залежності електричного струму від експозиції взаємодії , побудуємо нову таблицю , .
Таблиця 3.4 – Залежність електричного струму від експозиції взаємодії. Дробово-лінійна функціональна залежність
|
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
|
| 0,0043 | 0,0042 | 0,0042 | 0,0040 | 0,0037 | 0,0036 | 0,0035 | 0,0033 | 0,0031 | 0,0028 | 0,0026 | 0,0024 |
За даними таблиці 3.4 побудуємо розрахункову таблицю.
Таблиця 3.5 – Розрахункова таблиця для дробово-лінійної залежності
| № |
|
|
|
|
|
|
|
| 1 | 2 | 0,0043 | 4 | 0,0086 | 232,8 | 225,1 | 59,29 |
| 2 | 4 | 0,0042 | 16 | 0,0169 | 236,1 | 234,3 | 3,24 |
| 3 | 6 | 0,0042 | 36 | 0,0252 | 238,4 | 244,4 | 36 |
| Продовження таблиці | |||||||
| № |
|
|
|
|
|
|
|
| 4 | 8 | 0,0040 | 64 | 0,0318 | 251,3 | 255,1 | 14,44 |
| 5 | 10 | 0,0037 | 100 | 0,0373 | 268,4 | 267,2 | 1,44 |
| 6 | 12 | 0,0036 | 144 | 0,0434 | 276,5 | 280,3 | 14,44 |
| 7 | 14 | 0,0035 | 196 | 0,0483 | 289,8 | 294,6 | 23,04 |
| 8 | 16 | 0,0033 | 256 | 0,0529 | 302,3 | 310,5 | 67,24 |
| 9 | 18 | 0,0031 | 324 | 0,0562 | 320,4 | 328,4 | 64 |
| 10 | 20 | 0,0028 | 400 | 0,0569 | 351,6 | 348,7 | 8,41 |
| 11 | 22 | 0,0026 | 484 | 0,0581 | 378,8 | 371,3 | 56,25 |
| 12 | 24 | 0,0024 | 576 | 0,0585 | 410,3 | 396,8 | 182,25 |
| Сума | 0,0418 | 0,4941 | 3556,7 | 3556,7 | 530,04 |
Знайдемо значення параметрів і лінійної моделі за формулами:
,
.
За формулами переходу знайдемо значення параметрів і гіперболічної функціональної залежності: 
.
Дробово-лінійна функціональна залежність, яка описує залежність електричного струму від експозиції взаємодії, має вигляд 
.
Знайдемо значення апроксимуючої функції для вихідних значень змінної і квадрати відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції . Результати обчислень занесемо в таблицю 3.5.
Сума квадратів відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції 
.
Дробово-раціональна функціональна залежність .
Побудуємо лінійну модель , використавши відповідні формули переходу до нових координат (таблиця 2.1). За вихідною таблицею залежності електричного струму від експозиції взаємодії , побудуємо нову таблицю , .
Таблиця 3.6 – Залежність електричного струму від експозиції взаємодії. Дробово-раціональна функціональна залежність
|
| 0,500 | 0,250 | 0,167 | 0,125 | 0,100 | 0,083 | 0,071 | 0,063 | 0,058 | 0,050 | 0,045 | 0,042 |
|
| 0,0043 | 0,0042 | 0,0042 | 0,0040 | 0,0037 | 0,0036 | 0,0035 | 0,0033 | 0,0031 | 0,0028 | 0,0026 | 0,0024 |
За даними таблиці 3.6 побудуємо розрахункову таблицю.
Таблиця 3.7 – Розрахункова таблиця для дробово-раціональної залежності
| № |
|
|
|
|
|
|
|
| 1 | 0,500 | 0,0043 | 0,250 | 0,0021 | 232,8 | 217,44 | 235,93 |
| 2 | 0,250 | 0,0042 | 0,063 | 0,0011 | 236,1 | 263,38 | 744,20 |
| 3 | 0,167 | 0,0042 | 0,028 | 0,0007 | 238,4 | 283,25 | 2011,52 |
| 4 | 0,125 | 0,0040 | 0,016 | 0,0005 | 251,3 | 294,34 | 1852,44 |
| 5 | 0,100 | 0,0037 | 0,010 | 0,0004 | 268,4 | 301,43 | 1090,98 |
| 6 | 0,083 | 0,0036 | 0,007 | 0,0003 | 276,5 | 306,32 | 889,23 |
| 7 | 0,071 | 0,0035 | 0,005 | 0,0002 | 289,8 | 309,86 | 402,40 |
| 8 | 0,063 | 0,0033 | 0,004 | 0,0002 | 302,3 | 312,58 | 105,68 |
| 9 | 0,056 | 0,0031 | 0,003 | 0,0002 | 320,4 | 314,79 | 31,47 |
| 10 | 0,050 | 0,0028 | 0,003 | 0,0001 | 351,6 | 316,58 | 1226,40 |
| № |
|
|
|
|
|
|
|
| 11 | 0,045 | 0,0026 | 0,002 | 0,0001 | 378,8 | 317,37 | 3773,64 |
| 12 | 0,042 | 0,0024 | 0,002 | 0,0001 | 410,3 | 319,36 | 8270,08 |
| Сума | 1,552 | 0,0418 | 0,391 | 0,0061 | 3556,7 | 3556,7 | 20633,99 |
Знайдемо значення параметрів і лінійної моделі за формулами:
,
.
За формулами переходу знайдемо значення параметрів і дробово-раціональної функціональної залежності: 
.
Отже, дробово-раціональна залежність, яка описує залежність електричного струму від експозиції взаємодії, має вигляд 
.
Знайдемо значення апроксимуючої функції для вихідних значень змінної і квадрати відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції . Результати обчислень занесемо в таблицю 3.7.
Сума квадратів відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції 
.
Ступенева функціональна залежність .
Побудуємо лінійну модель , використавши відповідні формули переходу до нових координат (таблиця 2.1). За вихідною таблицею залежності електричного струму від експозиції взаємодії , побудуємо нову таблицю , .
Таблиця 3.8 – Залежність електричного струму від експозиції взаємодії. Ступенева функціональна залежність
|
| 0,693 | 1,386 | 1,792 | 2,079 | 2,303 | 2,485 | 2,639 | 2,773 | 2,890 | 2,996 | 3,091 | 3,178 |
|
| 5,450 | 5,464 | 5,476 | 5,527 | 5,592 | 5,622 | 5,669 | 5,711 | 5,770 | 5,862 | 5,937 | 6,017 |
За даними таблиці 3.8 побудуємо розрахункову таблицю.
Таблиця 3.9 – Розрахункова таблиця для ступеневої залежності
| № |
|
|
|
|
|
|
|
| 1 | 0,693 | 5,450 | 0,480 | 3,778 | 232,8 | 201,95 | 951,7225 |
| 2 | 1,386 | 5,464 | 1,922 | 7,575 | 236,1 | 235,66 | 0,1936 |
| 3 | 1,792 | 5,474 | 3,210 | 9,808 | 238,4 | 258,03 | 385,3369 |
| 4 | 2,079 | 5,527 | 4,324 | 11,492 | 251,3 | 275,11 | 566,9161 |
| 5 | 2,303 | 5,592 | 5,302 | 12,877 | 268,4 | 289,18 | 431,8084 |
| 6 | 2,485 | 5,622 | 6,175 | 13,971 | 276,5 | 301,17 | 608,6089 |
| 7 | 2,639 | 5,669 | 6,965 | 14,961 | 289,8 | 311,44 | 468,2896 |
| 8 | 2,773 | 5,711 | 7,687 | 15,835 | 302,3 | 321,08 | 352,6884 |
| 9 | 2,890 | 5,770 | 8,354 | 16,676 | 320,4 | 329,45 | 81,9025 |
| 10 | 2,996 | 5,862 | 8,974 | 17,562 | 351,6 | 337,46 | 199,9396 |
| 11 | 3,091 | 5,937 | 9,555 | 18,352 | 378,8 | 344,75 | 1159,403 |
| 12 | 3,178 | 6,017 | 10,100 | 19,122 | 410,3 | 351,42 | 3466,854 |
| Сума | 28,305 | 68,096 | 73,049 | 162,010 | 3556,7 | 3556,7 | 8673,663 |
Знайдемо значення параметрів і лінійної моделі за формулами:
, .
,
.
За формулами переходу параметри і ступеневої функціональної залежності дорівнюють: 
.
Отже, ступенева залежність, яка описує залежність електричного струму від експозиції взаємодії, має вигляд 
.
Знайдемо значення апроксимуючої функції для вихідних значень змінної і квадрати відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції . Результати обчислень занесемо в таблицю 3.9. Сума квадратів відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції 
.
Експоненціальна функціональна залежність .
Побудуємо лінійну модель , використавши відповідні формули переходу до нових координат (таблиця 2.1). За вихідною таблицею залежності електричного струму від експозиції взаємодії , побудуємо нову таблицю , .
Таблиця 3.10 – Залежність електричного струму від експозиції взаємодії. Експоненціальна функціональна залежність
|
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
|
| 5,450 | 5,464 | 5,476 | 5,527 | 5,592 | 5,622 | 5,669 | 5,711 | 5,770 | 5,862 | 5,937 | 6,017 |
За даними таблиці 3.10 побудуємо розрахункову таблицю.
Таблиця 3.11 – Розрахункова таблиця для експоненціальної залежності
| № |
|
|
|
|
|
|
|
| 1 | 2 | 5,450 | 4 | 10,90 | 232,8 | 219,13 | 186,87 |
| 2 | 4 | 5,464 | 16 | 21,86 | 236,1 | 230,83 | 27,77 |
| 3 | 6 | 5,474 | 36 | 32,84 | 238,4 | 243,21 | 23,14 |
| 4 | 8 | 5,527 | 64 | 44,21 | 251,3 | 256,12 | 23,23 |
| 5 | 10 | 5,592 | 100 | 55,92 | 268,4 | 269,79 | 1,93 |
| 6 | 12 | 5,622 | 144 | 67,47 | 276,5 | 284,18 | 58,98 |
| 7 | 14 | 5,669 | 196 | 79,37 | 289,8 | 299,34 | 91,01 |
| 8 | 16 | 5,711 | 256 | 91,38 | 302,3 | 315,32 | 169,52 |
| 9 | 18 | 5,770 | 324 | 103,85 | 320,4 | 332,14 | 137,83 |
| 10 | 20 | 5,862 | 400 | 117,25 | 351,6 | 349,89 | 2,92 |
| 11 | 22 | 5,937 | 484 | 130,61 | 378,8 | 368,54 | 105,27 |
| 20 | 24 | 6,017 | 576 | 144,41 | 410,3 | 388,21 | 487,97 |
| Сума | 68,096 | 900,08 | 3556,7 | 3556,7 | 1316,44 |
Знайдемо значення параметрів і лінійної моделі за формулами:
,
.
За формулами переходу параметри і експоненціальної функціональної залежності дорівнюють: 
.
Отже, експоненціальна залежність, яка описує залежність електричного струму від експозиції взаємодії, має вигляд 
.
Знайдемо значення апроксимуючої функції для вихідних значень змінної і квадрати відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції . Результати обчислень занесемо в таблицю 3.11. Сума квадратів відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції 
.
Логарифмічна функціональна залежність .
Побудуємо лінійну модель , використавши відповідні формули переходу до нових координат (таблиця 2.1). За вихідною таблицею залежності електричного струму від експозиції взаємодії , побудуємо нову таблицю , .
Таблиця 3.12 – Залежність електричного струму від експозиції взаємодії. Логарифмічна функціональна залежність
|
| 0,69 | 1,39 | 1,79 | 2,08 | 2,30 | 2,48 | 2,64 | 2,77 | 2,89 | 3,00 | 3,09 | 3,18 |
|
| 232,8 | 236,1 | 238,4 | 251,3 | 268,4 | 276,5 | 289,8 | 302,3 | 320,4 | 351,6 | 378,8 | 410,3 |
За даними таблиці 3.12 побудуємо розрахункову таблицю.
Таблиця 3.13 – Розрахункова таблиця для логарифмічної залежності
| № |
|
|
|
|
|
|
|
| 1 | 0,69 | 232,8 | 0,48 | 161,36 | 232,8 | 187,38 | 2062,86 |
| 2 | 1,39 | 236,1 | 1,92 | 327,30 | 236,1 | 232,75 | 11,25 |
| 3 | 1,79 | 238,4 | 3,21 | 427,16 | 238,4 | 259,28 | 436,11 |
| 4 | 2,08 | 251,3 | 4,32 | 522,56 | 251,3 | 278,11 | 718,86 |
| 5 | 2,30 | 268,4 | 5,30 | 618,01 | 268,4 | 292,72 | 591,26 |
| 6 | 2,48 | 276,5 | 6,17 | 687,08 | 276,5 | 304,65 | 792,34 |
| 7 | 2,64 | 289,8 | 6,96 | 764,80 | 289,8 | 314,74 | 621,87 |
| 8 | 2,77 | 302,3 | 7,69 | 838,15 | 302,3 | 323,48 | 448,45 |
| 9 | 2,89 | 320,4 | 8,35 | 926,08 | 320,4 | 331,19 | 116,32 |
| 10 | 3,00 | 351,6 | 8,97 | 1053,30 | 351,6 | 338,08 | 182,76 |
| 11 | 3,09 | 378,8 | 9,55 | 1170,89 | 378,8 | 344,32 | 1188,95 |
| 12 | 3,18 | 410,3 | 10,10 | 1303,96 | 410,3 | 350,01 | 3634,45 |
| Сума | 28,30 | 3556,7 | 73,05 | 8800,65 | 3556,7 | 3556,7 | 10805,48 |
Знайдемо значення параметрів і лінійної моделі за формулами:
, .
,
.
За формулами переходу параметри і логарифмічної функціональної залежності дорівнюють: 
, 
.
Логарифмічна функціональна залежність, яка описує залежність електричного струму від експозиції взаємодії, має вигляд 
.
Знайдемо значення апроксимуючої функції для вихідних значень змінної і квадрати відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції . Результати обчислень занесемо в таблицю 3.13.
Сума квадратів відхилень вихідних значень і значень апроксимуючої функції 
.
Оберемо апроксимуючу функцію за
