Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор 
L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство: A 
.
При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору 
.
Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе 
, 
,…, 
имеет матрицу А = 
, то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l1, l2, …,ln уравнения:
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.
Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.
Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна 
. Тогда преобразование А может быть задано формулами:
; 
в некотором базисе 
.
Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А .
или 
Т.к. собственный вектор ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.
Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.
Таким образом, можно найти собственный вектор (х1, х2) линейного преобразования А с собственным значением l, где l - корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.
Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.
Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением l.
Действительно, 
. Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.
Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l1 и l2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.
Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l1 = l2 = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: 
. Эта система удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.
Рассмотрим другой частный случай. Если - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х1, х2, х3 – компоненты этого вектора в некотором базисе 
, то 
, где l - собственное значение (характеристическое число) преобразования А.
Если матрица линейного преобразования А имеет вид:
, то 
Характеристическое уравнение: 
Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня.
