Интегрирование тригонометрических функций

Векторы.

- скалярное произведение векторов

- скалярное произведение в координатной форме

- условие перпендикулярности век-ров

- условие параллельности (коллинеарности) векторов

- длина вектора

- угол между век-рами

- векторное произведение век-ров

- смешанное произведение векторов

- формула вычисления смешанного произ-ния век-ров

 

Прямая на плоскости.

- уравнение прямой с угловым коэффициентом k

- уравнение прямой, проходящей через одну точку

- уравнение прямой, проходящей через 2 точки

- общее уравнение прямой

- уравнение прямой в отрезках

- угловой коэффициент

- условие параллельности

- условие перпендикулярности

- угол между прямыми

- расстояние от точки до прямой

 

Плоскость в пространстве.

- общее ур-ие плоскости

- уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

- уравнение плоскости в отрезках

- нормальное уравнение плоскости

- направляющие косинусы вектора

- расстояние от точки до плоскости

- условие параллельности плоскостей

- условие перпендикулярности плоскостей

- угол между плос-ми

Прямая в пространстве.

- общее уравнение прямой

- каноническое уравнение прямой

- параметрическое уравнение прямой

- условие параллельности прямых

- условие перпендикулярности прямых

- угол между прямыми

Этапы перехода от общего уравнения прямой к каноническому:

1) Находится вектор .

2) Находится точка М₀ (x₀, y₀, z₀), любая из этих координат приравнивается к 0,

оставшиеся координаты находятся из системы уравнений общего уравнения прямой.

3) Составляется каноническое или параметрическое уравнение прямой.

Производные.

(u±v)’=u’±v’; (uv)’ = u’v + uv’; (u/v)’ = u’v - uv’/v²

(uⁿ)’=n*u^n-1*u’; y_x’=y_t’/x_t’; F’=-F_x’/F_y’; (f(u(x)))’=f’(u(x))*u’(x)

функция	произв-ая	функция	произв-ая
k		sin x	cos x
kx	k	cos x	-sin x
xn	n*xn-1	tg x	1/ cos2 x
1/x	-1/x2	ctg x	-1/ sin2 x
1/xn	-n/xn+1	sin2 x	sin 2x
	1/2	cos2 x	-sin 2x
		arcsin x
logax	1/x*ln a	arccos x
ln x	1/x	arctg x
ex	ex	arcctg x

Таблица неопределенных интегралов

Подведение под знак дифференциала:

Дифференциальные уравнения с пост-ми коэффициентами
№	корни k2+pk+q=0	вид общего решения
	D>0, k1≠k2
	D=0, k1=k2
	D<0, k1/2=α±βi
№	f(x)	кратность корней	вид yчаст.
	p*eαx (p-число)	α≠k1, α≠k2	A*eαx
α=k1, α≠k2	A*x*eαx
α=k1, α=k2	A*x2*eαx
	Pn(x)*eαx (Pn(x)-выражение)	α≠k1, α≠k2	(Anxn+An-1xn-1+…+A0)eαx
α=k1, α≠k2	(Anxn+…+A0)x*eαx
α=k1, α=k2	(Anxn+…+A0)x2*eαx
	Pn(x)	k1≠0, k2≠0	Anxn+An-1xn-1+…+A0
k1=0 или k2=0	(Anxn+…+A0)x
	Mcosβx+Nsinβx	k1/2≠α±βi	Acosβx+Bsinβx
k1/2=α±β	(Acosβx+Bsinβx)x

Методы интегрирования:

I. Интегрирование по частям:

 

 

1) u = xⁿ

 

2) u =

 

 

3) u = e^x

 

II. Замена переменных:

 

 

Таблица первообразных
функция	первообразная	функция	первообразная
xn (n≠-1)	xn+1/n+1	cos x	sin x
1/ x	ln x	1/sin2 x	-ctg x
1/ xn	-1/(n-1)*xn-1	1/cos2 x	tg x
1/	2*	sin(kx+b)	-1/k*cos(kx+b)
k	kx	cos(kx+b)	1/k*sin(kx+b)
ex	ex	(kx+b)n	(kx+b)n+1/k(n+1)
ax	ax/ln a	1/kx+b	1/k*ln(kx+b)
sin x	-cos x	ekx+b	1/k* ekx+b

Интегрирование тригонометрических функций

I.

1) m - чёт.: cos x = t

n - нечёт.: sin²x = 1- cos²x

2) m - нечёт.: cos²x = 1- sin²x

n - чёт.: sin x = t

3) m - чёт.:

n - чёт.:

 

4) m - нечёт.: cos²x = 1- sin²x

n - нечёт.: sin x = t

II. ;

Обязательно отделяется tg²x или ctg²x:

III.

Действует унив-ная триг-кая подстановка:

; ;

x = 2arctg t;

 

IV. ; ;

sinα*cosβ=1/2(sin(α+β)-sin(α-β))

cosα*cosβ=1/2(cos(α-β)+cos (α+β))

sinα*sinβ=1/2(cos(α-β)-cos(α+β))

 

Пределы:

I. Неопределённость :

1) если степени чис-ля и зн-ля равны, то предел

равен отношению коэфицентов при степенях.

2) если степень чис-ля > зн-ля, то предел = ∞.

3) если степень зн-ля > чис-ля, то предел = 0.

II. Неопределённость :

Необходимо чис-ль и зн-ль разложить на

множ-ли, при этом должно присутствовать

выражение x-a (а-число, к которому стрем-ся х).

1-ый замечательный предел:

 

2-ой замечательный предел:

 

Достаточные признаки сходимости числовых рядов:

1) 1 признак сравнения: Пусть даны два ряда U_n и V_n, причем эл-ты 1 не превосходят эл-тов 2, тогда:

Если ряд 2 сход-ся, то и ряд 1 сход-ся

Если ряд 1 расход-ся, то и ряд 2 расход-ся

2) 2 признак сравнения: Если для рядов U_n и V_n сущ-ет предел , то ряды одновременно сход-ся или расход-ся

 

3) признак Даламбера: Если сущ-ет предел

то, если D>1- ряд расх-ся; D<1 - ряд сходится;

D=1 -?

 

4) радикальный признак Коши: Если сущ-ет предел

k>1 - ряд расх-ся; k<1 - ряд сход-ся; k=1 -?

 

5) интегральный признак Коши: Пусть дан ряд U_n, в котором U₁≥U₂≥…≥U_n…., тогда ряд сход-ся, если в рез-те решения данного интеграла получ-ся число и расх-ся, если получ-ся ∞.

 

Основные виды сходящихся и расходящихся рядов:

1) геометрический ряд:

|q|<1- ряд сход-ся

|q|≥1- ряд расход-ся

 

2) гармонический ряд:

- ряд расход-ся

 

 

3) обобщённый геометрический ряд:

α>1- ряд сход-ся

α≤1- ряд расход-ся