§1. Понятие эвклидова пространства. Неравенство Коши – Буняковского.
Действительное n-мерное линейное пространство называют эвклидовым (и обозначают 
), если в нем определена операция, ставящая в соответствие любым двум векторам 
и 
вещественное число, называемое их скалярным произведением (и обозначаемое · 
), и при этом для любых векторов , и 
и любых действительных чисел выполнены аксиомы:
а – 1. · = · .
а – 2. ( + )· = · + · .
а – 3. (μ ) · =μ ( · ).
а – 4. · >0, если ≠ 
.
Следствия из аксиом.
10. По а –1 и а – 3 
.
20. По а - 2 и а – 1 
а –1 
.
30. По а – 2 и а – 3 
10 и 20.
40. Из 10 и 
т.е. 
Всякий вектор эвклидова пространства имеет длину (норму). У нулевого вектора она равна нулю, у всякого другого положительна. Длина вектора в обозначается символом 
и по определению 
, где скалярное произведение 
называется скалярным квадратом (и обозначается 
). Из определению следует, что 
, т.е. квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату.
Вектор 
называют нормальным, если его длина равна 1. Замену вектора сонаправленным с ним нормальным вектором осуществляют умножением вектора на число 
и называют нормированием вектора 
, так что 
Докажем, что в 
для любых векторов и 
имеет место неравенство
По а – 4 имеем (μ – )·(μ – ) ≥ 0 для любого действительного числа μ. Преобразуем левую часть этого неравенства: (μ – )·(μ – )= μ ·(μ – )– ·(μ – ) = = μ ·μ – μ · – ·μ + + · = μ2·( · ) – 2μ·( · ) + · . Неравенство принимает вид μ2·( · ) – 2μ ( · ) + · ≥ 0 и оно верно для любого μ. А тогда дискриминант квадратного относительно μ трехчлена не может быть положительным и верно неравенство 4( · )2 – 4( · )·( · ) ≤ 0 или ( · )2 ≤ ( · )·( · ), откуда после извлечения корня получаем 
Из доказанного следует, что 
и т.к. на отрезке [0; π] функция cos j монотонная, то равенство
cos j = 
(16)
верно только при одном значении j, которое по определению называют углом между n-мерными векторами и .
§2. Ортонормированный базис. Матрица Грама. Скалярное произведение векторов. Процесс ортогонализации.
Векторы и из называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Из соотношения (16) следует, что для ортогональности ненулевых векторов необходимо и достаточно, чтобы угол между ними был равен 
. Нулевой вектор полагают ортогональным любому вектору.
В 
система векторов называется ортогональной, если любые два ее вектора ортогональны, и – нормальной, если все ее векторы нормальны.
Если система векторов ортогональна и ни один из векторов системы не является нулевым, то, нормируя эти векторы, получим так называемую ортонормированную систему векторов.
Если система векторов S(
) = (
) ортонормированная, то для всех k и s от 1 до n имеем 
при k ≠ s, т. к. векторы 
и 
ортогональны, и 
· 
= 1 при k = s, т.к. 
В любая ортонормированная система S() из n векторов линейно независима, т. е. образует ортонормированный базис. Действительно, умножив на скалярно обе части равенства 
, для любого k от 1 до n получим 
и система S() линейно независима по определению.
Каким бы ни был базис S(), всевозможные попарно скалярные произведения базисных векторов – числа 
запишем в виде квадратной матрицы: 
Матрица Г называется матрицей Грама базиса S(). В силу коммутативности скалярного умножения верно равенство 
и, следовательно, матрица Грама не меняется при транспонировании, т.е. является симметрической.
В некотором произвольном базисе S() = (
) вычислим скалярное произведение векторов: 
Базис ортонормирован тогда и только тогда, когда его матрица Грама – единичная матрица. Поэтому для ортонормированного базиса в Rn скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:
т.е.
.
Из этой формулы следует, что в ортонормированном базисе 
, угол φ между векторами и находят из соотношения 
а условие ортогональности этих векторов имеет вид: 
Примером ортонормированного базиса в Rn является система ортов 
, где для всех k и s от 1 до n имеем: 
Если произвольный вектор 
разложен по ортонормированному базису, то, умножив скалярно обе части разложения на 
, для каждого k от 1 до n получим число 
, называемое проекцией вектора 
на направление вектора .
В существовании ортонормированного базиса можно также убедиться, применив к произвольному базису из Rn так называемый метод ортогонализации.
Задача 0.61. В пространстве R4 векторы 
= (–1, 0, 2, 1)T, 
= (0, –2, 1, 1)T, 
= (1, 1, –1, 0)T и
= (2, 1, 0, –1)T образуют базис. С помощью векторов этого базиса построить ортонормированный базис.
Решение. Построим в R4 ортогональный базис 
. Пусть 
.
(1) Полагаем 
. Действительное число a подберем так, чтобы выполнялось условие 
Обе части равенства (1) умножим скалярно на 
. Получим: 
или
0 = 3 +6a, a = – 0,5. И тогда 
или 
(2) Полагаем 
Числа 
и 
подберем так, чтобы выполнялись условия 
Умножим скалярно обе части равенства (2) сначала на 
а затем на 
а) 
б) 
Следовательно, 
или 
(3) Полагаем 
Числа 
подберем так, чтобы выполнялись условия 
Умножим скалярно обе части равенства (3) отдельно на 
затем на 
затем на 
.
а) 
б) 
в) 
Следовательно, 
Остается нормировать векторы 
, разделив каждый на его длину.
Т.к. 
и 
то векторы 
образуют ортонормированный базис.
|
Задача 0.62. Дана матрица 
перехода от ортонормированного базиса 
к базису 
. Доказать, что базис ортонормированный.
Доказательство. Векторы системы имеют вид:
Т.к. detT = 1 ≠ 0, то векторы 
линейно независимы и образуют базис. Векторы этого базиса нормальны, т.к. 
и попарно ортогональны, т.к. 
Следовательно, базис ортонормированный.
