Булева алгебра. Алгебра логики. Алгебра жегалкина

1. ЛОГИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И ОПЕРАЦИИ

Пусть множество . Элементы этого множества называются логическими значениями, а переменные, которые могут принимать логические значения ― логическими переменными.

На множестве можно определить следующие логические операции.

― 0-арные (нольместные ) операции:

– константа 0; (1.0)

– константа 1. (1.1)

― 1-арные (одноместные) операции:

– повторение

(1.2)

– отрицание

(1.3)

― 2-арные (двухместные) операции:

– конъюнкция

; (1.4)

– импликация

; (1.5)

– отрицание импликации

; (1.6)

– сложение по модулю 2

; (1.7)

– дизъюнкция

; (1.8)

– стрелка Пирса

; (1.9)

– эквивалентность

; (1.10)

– штрих Шиффера

; (1.11)

Выражения 0, 1, , , , , , , , , называются простейшими логическими выражениями (формулами).

С помощью операции суперпозиции из простейших логических формул можно построить сложные логические формулы. Операция суперпозиции заключается в замене переменных логического выражения другими формулами.

/* Пример 1.1

Если в простейшую формулу

подставить

,

,

то получим сложную логическую формулу

.

Полученную формулу, в свою очередь, можно использовать для построения еще более сложной формулы, например, такой

. */

2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ

Функция называется булевой, если она при любом значении аргумента принимает значения 0 или 1:

, ().

Область определения логической функции

( раз).

Элементы этого множества – кортежи (n- ки) , которые в математической логике называются словами и обозначаются строкой символов

или столбцом символов

.

Количество слов конечно и равно .

/* Пример 2.1

При:

существуют два слова: 0, 1;

― четыре слова: 00, 01, 10, 11;

―восемь слов: 000, 111, 001, 101, 010, 011, 100, 110. */

Каждому слову можно сопоставить целое число (номер слова)

. (2.1)

/* Пример 2.2

Номер слова 01 0101 равен

. */

Номера слов устанавливают на множестве слов идеальный строгий порядок:слово с меньшим номером предшествует слову с большим номером. Другими словами, множество слов можно упорядочить по возрастанию их номеров.

/* Пример 2.3

При упорядоченное множество слов следующее: 000 (номер 0), 001(1), 010(2), 011(3), 100(4), 101(5), 110(6), 111(7). */

Область значений булевой функции

.

Количество булевых функций конечно и равно . Это количество быстро возрастает с увеличением n.

/*Пример 2.4

При:

существуют 4 булевы функции 1-ой переменной;

―16функций 2-х переменных;

―256функций 3-х переменных;

―больше 4-х миллиардов функций 5-ти переменных. */

Булевой функции n переменных можно сопоставить число (номер функции)

, (2.2)

где ― значение функции на слове с номером 0, ― на слове с номером 1 и т. д.

Номера функций n переменных устанавливают на их множестве идеальный строгий порядок:функция з меньшим номером предшествует функции с большим номером.

Номера полностью определяют булевы функции и, в частности, позволяют строить таблицы истинности (таблицы истинности ― один из способов представления булевых функций).

/*Пример 2.5

Таблица истинности функции , с учетом того, что , имеет вид

.

или в более короткой форме записи

,

(в первой строке указаны номера слов в десятичной системе счисления, а во второй ― значения функции на этих словах). */