Бет туралы түсінік. Бір тегіс беттер.

Ең қарапайым беттерден жазықтық, тұйық жарты жазықтық және квадратты айтамыз. Ең қарапайым беттерге гомеоморфты фигураны элементар бет деп айтамыз.

Басқаша айтқанда, элементар бет деп фигурасын айтамыз, егер ол екі өлшемді сызық болса гомеоморфты болса.

Евклид кеңістігіндегі беттен ақырлы немесе санаулы элементар беттермен жабуға болатын фигурасын айтамыз.

Егер әрбір нүктесінің маңайы элементар бет болса, онда ол бетті қарапайым деп атаймыз.

вклидтік кеңістігінде тік бұрышты координаттар жүйесін ендіреміз, онда элементар беттің теңдеуін келесі түрде беруге болады.

1. Векторлық теңдеуі:

мұндағы - нүктесінің радиус векторы.

2. Параметрлік теңдеуі:

3. Айқындалмаған теңдеуі;

Параметрлік теңдеуі арқылы берілген F элементар беті класына жататын біртегіс бет деп аталады. егер функциялары k реткіге дейін үзіліссіз дербес туындылары бар болып әрбір нүктесінде ғана орындалса.

Айқындалмаған теңдеу арқылы арқылы берілген F беті классына жататын бертегіс бет деп аталады, егер келесі екі шарт орындалса:

1) нүктесінің маңайында функциясы және оның k реткіге дейінгі дербес туындылары үзіліссіз болса;

2) нүктесінде ранг орындалсада.

Егер векторлық функция арқылы теңдеуі берілген Г бетінде

тұрақты деп алсақ, яғни, онда функциясы F бетінде жататын қандайда бір сызықты береді, оны u-сызығы деп атаймыз. Бұл сызықтың жанама векторы болады. Сол сияқты болған жағдайда. беттегі бір сызықтың теңдеуі болады, оны сызығы деп атаймыз. бұл сызықтың жанама векторы болады. Беттегі әрбір нүктесі арқылы біруден u және сызықтары өтеді. Осы сызықтарды беттегі координаттық сызықтар деп атаймыз. Бір тегіс беттегі және векторлары сызықты тәуелсіз векторлар болады: демек, біртегіс беттегі координаттық сызықтар әртүрлі бағыттарда өтеді екен.

z

 

Егер класына жататын параметрлеу арқылы берілсе, ал гомеоморфизм болса, онда

онда гомеоморфизмі анықталады. Егер g гомеоморфизмі бетін анықтаса, онда h параметрлерді ауыстыру мүмкіндігінің гомеоморфизмі деп аталады.

беті үшін параметрін ауыстыру мүмкіндігіндегі бейнелуі деп аталады, егер келесі үш шарт орындалса:

1) h - гомеомарфизм болса яғни

орындалса;

2) функцияларының k ретке дейінгі үзіліссіз дербес туындылары бар болса;

3) Әрбір нүктесі үшін орындалса.

Мысалдар:

1. Келесі теңдеу арқылы берілген шеңберді OZ осі бойынша айналдырғанда пайда болған беттің параметрлік теңдеуін құрыңыздар:

z

Шешуі: Бастапқыда бұл беттің нүктесі бойында жатсын, яғни XOZ жазықтығында. t уақытынан кейін ол нүкте бұрышына бұрылым нүктесіне келеді. Бұрылу OZ осі бойынша болғандықтан нүкте OZ осіне перпендикуляр бұрылады, сондықтан нүктенің Z координатасы өзгермейді. Нүктенің траекториясы шеңбер болатыны белгілі және ол шеңбер xoy жазықтығына паралель, демек нүктенің координаттары болады. R– айналу радиусы өзгермейді, демек болады. Осыдан беттің теңдеуі келесі түрде болатынын көреміз.

M

y

x

Осы пайда болған бетті бір тор деп атаймыз.

 

2. Келесі параметрлік теңдеулері арқылы берілген беттер беттесетінін дәлелдеңіздер.

Шешуі: бейнелеуігомеоморфизм болады және классына жатады, демек Беті бір тегіс себебі ранг ранг

Осы сияқты көреміз.

деп алсақ,

болып олар гомеоморфизмді анықтайды және

Демек параметризация ауыстыруы мүмкін екен. Осыда бұл екі теңдеу бір бетті анықтайды.

3. Келесі теңдеумен берілген бет бірқуысты гиперболлоидта анықтайтынын көрсетіңіз. Осы беттегі координаталық сызықтарды табыңыз:

Шешуі: өрнектері теңдеуін қанағаттандыратынын тексеріп көруге болады.

координаттық сызығының теңдеуі келесі түрде болады.

немесе

әрбір өрнектен табатын болсақ,

Келесі теңдікке келеміз.

Бұл нүктесінен өтетін бағыттаушы векторы

Осы сияқты координаталық сызығын табамыз,

ол

бұл сызықты нүктесінен өтеді, бағыттаушы векторы

Сонымен бір қуысты гиперболлоидтық координаттық сызықтары түзу сызықтар болады, және бетте бұлардан өзгеше түзу сызықтар жоқ болады.

 

Жаттығулар:

1. Келесі сызықтардың қайсылары бір тегіс сызық болады? Болса қандай классқа жатады?

а)

б)

в) .

г) .

д) , , , u,

е)

Жауаптары:

а) Болады класына жатады;

б) болмайды, кері бейнелері жоқ сондықтан гомеоморфизм болмайды

в) болады, класына жатады;

г) болмайды, функция дифференцяланбайды;

д) болмайды, функция анықталмаған;

е) болады, класына жатады.

 

2. Параметрлік теңдеулері арқылы берілген келесі екінші ретті беттерді табыңыздар.

а) u,

б)

в) .

г)

д) , , , u,

е) , , , u,

Жауаптары:

а) эллипстік цилиндр:

б) гиперболалық парабаллоид:

в) сфера:

г) екі қуысты гиперболлоид:

д)екі қуысты гирепболлоид:

е) бір қуысты гиперболлоид:

 

3. Параметрлері арқылы берілген беттердің теңдеулерін айқындалмаған түрде жазыңыздар:

а)

б) ,

в) u,

г)

Жауаптары:

а) конус:

б) гиперболалық цилиндр:

в)

г)гиперболалық цилиндр: xy=z;

 

4. Келесі беттердің параметрлік теңдеуін жазыңыздар.

а) сфера;

б) эллипсоид;

в) екі қуысты гиперболлоид;

г) эллипстік параболлоид;

д) екінші ретті конус;

е) эллипстік цилиндр;

ж) гиперболалық цилиндр;

з) параболалық цилиндр.

Жауаптары:

а)

б)

сфералық эллипсоидтың дербес түрі болатыны ескерілді;

в) , , ,

г)

д)

е)

ж) ,