Формула (4) и есть формула трапеций

ВВЕДЕНИЕ

Цель данной курсовой работы – изучение методов приближённого интегрирования. Для некоторых подынтегральных функций интеграл можно вычислить аналитически или найти в справочниках. Однако в общем случае первообразная может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов. Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, "классические" методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией ). Хотя эти методы обычно предпочтительней в случае малых размерностей, они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для их вычисления используются другие методы, однако в этой работе они рассмотрены не будут.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

I.Определение интеграла и его геометрический смысл.

В начале узнаем, что такое определённый интеграл. Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение F(b)-F(a) любой из преобразованных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается .

Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом:

(1)

это формула Ньютона-Лейбница.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2:

Если при любой последовательности разбиений отрезка [a;b] таких, что δ=maxΔx_i→0 (n→∞) и при любом выборе точек интегральная сумма σ_k= f(ε_i) Δx_iстремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е. lim_n_→∞σ_k= lim_δ_→0 f (ε_i) Δx_i=A(2).

Где Δх_i=x_i-x_i-1(i=1,2,…,n) ε=maxΔx_i– начало разбиения произвольная точка из отрезка[x_i-1;x_i]
сумма всех произведений f(ε_i)Δx_i(i=1,…,n). Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ:

Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на отрезке [a,b], функция f неотрицательна, но определённый интегралчисленно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, S= f(x)dx.

II.Приближённые методы вычисления.

Как мы уже отметили, если функция f непрерывна на промежутке, то на этом промежутке существует функция F такая, что F’=f, то есть существует первообразная для функции f, но не всякая элементарная функция f имеет элементарную первообразную F. Объясним понятие элементарной функции.

Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая, обратные тригонометрическим называются основными элементарными функциями. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных.

Например следующие интегралы: ∫e^-xdx; ∫ ; ∫dx/ln│x│; ∫(e^x/x)dx; ∫sinx²dx; ∫ln│x│sinxdx существуют, но не выражаются в конечном виде через элементарные функции, то есть относятся к числу интегралов, «не берущихся» в элементарных функциях.

Бывает, что на практике сталкиваются с вычислением интегралов от функций, которые заданы табличными и графическими способами, или интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что не удобно, долго и не рационально. В этих случаях вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница (1) сводит вычисление определённого интеграла от какой-либо функции к нахождению её первообразной. Значит, если первообразная не элементарна, надо вычислить определённый интеграл как-то по другому, поэтому прибегают к различным методам приближённого интегрирования.

В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический смысл определённого интеграла, который рассмотрен выше.

Формул приближённого интегрирования существует много. В данной курсовой работе будет рассмотрено три метода приближённого интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона.

Формула прямоугольников

Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления:
требуется вычислить определённый интеграл: .

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x₀,x_1,x₂,…,x_n=bна nравных частей длины Δх, где Δх=(b-a)/n.

Обозначим через y₀,y₁,y₂,…,y_n-1,y_nзначение функции f(x) в точках x₀, x₁, x₂…,x_n, то есть, если записать в наглядной формуле:

Y₀=f(x₀), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂)…y_n,=f(x_n).

В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид (на рис. выделена).

Составим суммы: y₀Δx+ y₁Δx₁+ y₂Δx₂…+y_n-1Δx; Y₁Δx+ y₂Δx+…+y_nΔx

Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников с основанием Δх, которое является шириной прямоугольника, и длиной выраженной через y_i: S_пр=a*b=y_iΔx.

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке [a,b], и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает интеграл. Вынесем Δx=(b-a)/n из каждой суммы, получим:

f(x)dx≈Δx(y₀+y₁+…+y_n-1);

f(x)dx≈Δx(y₁+y₂+…+y_n).

Выразив x, получим окончательно:

f(x)dx≈((b-a)/n)(y₀+y₁+…+y_n-1);(3)

f(x)dx≈((b-a)/n)(y₁+y₂+…+y_n);(3*)

Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно использовать два способа замены подынтегральной функции. Если f(x)- положительная и возрастающая функция, то формула (3) выражает Sфигуры, расположенной под графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (3*)- площадь ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции составленной из выходящих треугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (то есть чем меньше шаг деления) . Для вычисления погрешности этого метода используется формула:P_np= , где Результат полученный по формуле (3) заведомо даёт большую площадь прямоугольника, так же по формуле (3*) даёт заведомо меньшую площадь, для получения среднего результата используется формула средних прямоугольников: (3**)

Формула трапеций.

Возьмём определённый интеграл∫f(x)dx, где f(x)- непрерывная подынтегральная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция fзаменяется функцией, график которой представляет собой ломанную линию (на рисунке 2 красным цветом), звенья которой соединяют концы ординат y_i-1и y_i(i=1,2,…,n). Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями y_i-1и y_iи высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно выражать для нас) hэто Δx,aΔx=(b-a)/n при делении отрезка на nравных отрезков при помощи точек x₀=a<x₁<…<x_n=b. Прямые x=x_kразбивают криволинейную трапецию на nполосок. Принимая каждую из этих полосок за обыкновенную трапецию, получаем, что площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме обыкновенных трапеций.

Площадь крайней полоски слева, как помниться из школьного курса геометрии, равна произведению полусуммы основания на высоту.

Итак, запишем сказанное выше в математическом виде:

(4)

Формула (4) и есть формула трапеций

Для определения погрешности интеграла вычисленного с помощью формулы трапеций используется формула: где

3.Формула Симпсона (формула парабол).

Существует два подхода к формуле Симпсона. В одном используется парабола в другом нет.

А) с использованием параболы.

Разделим отрезок [a;b] на чётное число равных частей n=2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x₀,x₁], [x₁,x₂] и ограниченной заданной кривой y=f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M₀[x₀,y₀], M₁[x₁,y₁], M₂[x₂,y₂] и имеющей ось, параллельную оси Oy (рис). Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией.

Уравнение параболы с осью, параллельной оси Oy, имеет вид: .

Коэффициенты A, Bи C однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строятся и для других пар отрезков. Сумма параболических трапеций и даст приближённое значение интеграла. Сначала вычислим площадь одной параболической трапеции. Для этого докажем лемму.

Лемма: если криволинейная трапеция ограничена параболой , осью O_xи двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то её площадь равна: (5), где y₀и y₂- крайние ординаты, а y₁- ордината кривой в середине отрезка.

Доказательство:

Расположим вспомогательную систему координат так, как показано на рис. Коэффициент в уравнение параболы определяются из следующих уравнений:

Если x₀=-h, то

Если x₁=0, то (6)

Если x₂=-h, то

Считая коэффициенты A. B, C известными определим площадь параболической трапеции с помощью определённого интеграла:

из равенства (6) следует, что

следовательно: ч.т.д. пользуясь формулой (5), можно написать приближённые равенства, учитывая, что

складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближённое значение:

или

(7)

Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления произвольно, но чем это число больше, тем точнее сумма в правой части равенства (6) даёт значение интеграла. Формула Симпсона даёт самое точное значение интеграла (из классических формул приближённого интегрирования), погрешность для этого метода находится по формуле: где

Б) Без использования парабол

В тех случаях, когда линия y=f(x) между x=aи x=b мало изогнута, интеграл приближенно выражается достаточно простой формулой. Будем считать f(x) положительной и искать площадь криволинейной трапеции aABb. Для этого разделим отрезок [a;b] точкой пополам и в точке c(c,f(c))проведём касательную к линии y=f(x). После этого разделим [a,b] точками p и gна 3 равные части и проведём через них прямые x=pи x=q. Pи Q – точки пересечения прямых с касательной. Соединив APи BQ, получим 3 прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Сумма площадей этих трапеций равна будет примерно равна площади криволинейной трапеции aABb:

Обозначим: Aa, Pp, qQ, bB– основания трапеций;

- высота трапеций, в данном случае число n строго задано n=3

Получаем:

(8)

Обозначим, что: aA=f(a)=y_a, bB=f(b)=y_b. Отрезки pPи qQне являются ординатами точек линии y=f(x), так как Pи Qлежат на касательной. Но нам нужна сумма этих отрезков, которая выражается через среднюю линию трапеции и равна полусумме её оснований, откуда . Значит . Формула (8) принимает вид:

(9). Эта формула называется малой формулой Симпсона.

Малая формула Симпсона пригодна, когда график подынтегральной функции мало изогнут, например для случая, изображённого на рисунке, применять малую формулу уже нельзя, так как она даёт значение 0 на [a,b]. Но если отрезок [a,b] разбить на части [a,c] и [c,b] и к каждому из них применить формулу (9), то получится приемлемый результат.

Эта идея лежит в основе вывода «большой» формулы Симпсона.

Для вычисления интеграла выберем какое-либо чётное число и разложим [a,b] на n равных частей точками . Интеграл представим в виде суммы . К каждому слагаемому справа применим малую формулу Симпсона. Учитывая, что в каждом интеграле длина промежутка интегрирования , и положить , то получим:

Раскроем скобки:

Это и есть «большая формула Симпсона». Её точность, также как и у всех формул рассмотренных выше, тем выше, чем больше n. Эта формула совпадает с формулой (7), выведенной с помощью парабол. Для оценки погрешности формулы Симпсона используется формула: