В О П Р О С 2
- Фундаментальные решения дифференциальных уравнений. Обобщенные и классические решения дифференциальных уравнений и связь между ними.
- Решения неоднородных дифференциальных уравнений. Свойства свертки фундаментальных решений.
- Фундаментальные решения линейного дифференциального уравнения с обыкновенными производными. Решения неоднородных уравнений.
- Уравнения Лапласа и Пуассона. Уравнения для потенциалов гравитационного и электростатического полей. Ньютоновские и кулоновские потенциалы.
- Фундаментальные и обобщенные решения уравнения Лапласа-Пуассона в пространстве размерности N=2. и их свойства.
6. Формулы Гаусса и Грина для решений уравнения Лапласа-Пуассона в пространстве размерности N=2.
Определение. Уравнение
(1)
называется эллиптическим, если , .
В этом случае его каноническое выражение имеет вид:
Уравнение Лапласа-Пуассона имеет вид:
-эллиптическое уравнение.
Если -уравнение Лапласа, -Уравнение Пуассона.
Определение. (2)
,
-решение, где , -фундаментальное решение
(3)
N=2: (плоскость)
Вторая формула Грина в
Классическая формула Грина
7.Фундаментальные и обобщенные решения уравнения Лапласа-Пуассона в пространстве размерности N=3. и их свойства.
мы знаем, что если имеется объемная и поверхностная плотность заряда, то потенциал их может бытьзаписан в виде:
(4.1)
Но такой путь не всегда целесообразен, т.к.:
а) иногда приводит к сложным вычислениям;
б) требует анализа, в случае если заряды не расположены в конечной области пространства и нормировки потенциала .
В этих случаях удобнее свести задачу о нахождении к решению дифференциального уравнения. Найдем это уравнение:
, где , т.е.
(4.2) - уравнение Пуассона, где
- оператор Лапласа.
В области пространства, где нет зарядов
(4.3)- уравнение Лапласа.
Решения уравнения (4.2) должны удовлетворять требованиям непрерывности и конечности .
Преимущество нахождения с помощью уравнения (4.2) заключаются в большей общности этого метода и его широкая применимость, т.к. уравнение Пуассона не предполагает определенной нормировки и отсутствия зарядов на бесконечности.
Если же все заряды сосредоточены в конечной области пространства , то решением уравнения Пуассона будет:
, что
следует из однозначности решения задач электростатики.
Б2. 8. Формулы Гаусса и Грина для решений уравнения Лапласа-Пуассона в Полнота и R3.
9.Уравнение теплопроводности. Закон Фурье. Фундаментальные решения уравнения теплопроводности и их свойства.
10.Обобщенные и классические решения уравнения теплопроводности в и . Тепловые потенциалы
11. Задача Коши для уравнения теплопроводности в пространствах разной размерности. Метод обобщенных функций Владимирова В.С.
12.Функционально-инвариантные решения Смирнова-Соболева волнового уравнения в . Гармоническая волна и ее характеристики: волновой вектор, длина волны, частота, период, фаза.
Упругая волна называется гармонической, если соответствующее ей колебание частиц среды является гармоническим.
Покажем зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени.
– расстояние до источника
– смещение
Длина волны – расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе.
, где – скорость волны
k – волновое число
13.Ударные волны как обобщенные решения волнового уравнения, волновые фронты. Условия Адамара на фронтах ударных волн.
14.Фундаментальные решения волнового уравнения и их свойства в пространствах , N=1. Запаздывающие потенциалы.
15.Фундаментальные решения волнового уравнения и их свойства в пространствах , N=2. Запаздывающие потенциалы.
Задача Коши для уравнения Даламбера в D’ (R’). Функция Римана. Метод обобщенных функций Владимирова В.С.
Задача: решить задачу Коши (уравнение математической физики, уравнение в частных производных гиперболического типа)
,
Решение:
Для уравнения вида
с начальными условиями
,
форму Даламбера имеет вид:
Подставим в эту формулу
Далее следует простое интегрирование.
Ответ:
17. Задача Коши для волнового уравнения в пространстве размерности N=2. Формулы Пуассона.