, , , , .
. . : . . . , .
. .
x(t) :
x(t) = a0 + ε(t),
a0 , , ε(t) - , , .
x*(t+τ) x(t+τ) t x(t) :
x*(t; τ) = S(t),
S (t) :
S(t) = αx(t) + (1-α) S(t-1).
α , . , x(t), .
S (0) , , .
: x(t) = a0 + a1t + ε(t).
x*(t; τ) :
x*(t; τ) = ,
:
.
.
α 1 α 2 (0< α 1, α 2 <1). x*(t;l) l :
x*(t; τ) = ,
:
-.
. x*(t;τ) τ :
x*(t;τ) = ,
f(t) , T (), .
, . :
-.
- , -.
|
|
:
x(t) = a0(t) + g(t) + δ(t),
a0(t) = a0(t-1) + a1(t).
a0(t) , a1(t) , ω(t) δ(t) .
x*(t;τ) τ :
x*(t;τ) = .
:
.
1.
. 1 (. ., 1972 .) 1959 . 1983 .
) (Y) (X). . R 2.
F - (α = 0,05 - ). 95% . .
) .
) (Y) : (X) (P). (
P = (Z / L) ∙ 100%). (Z, L . . 1).
Y X P. ( Y, X P ).
. . .
1
, . $ | ||||
T | X | Y | Z | L |
440,4 | 13,7 | 82,2 | 70,6 | |
452,0 | 14,2 | 84,5 | 71,9 | |
461,4 | 14,3 | 83,9 | 72,6 | |
482,0 | 14,9 | 84,5 | 73,7 | |
500,5 | 15,3 | 84,5 | 74,8 | |
528,0 | 16,0 | 84,4 | 75,9 | |
557,5 | 16,8 | 87,5 | 77,2 | |
646,8 | 17,8 | 89,5 | 79,4 | |
673,5 | 18,4 | 92,4 | 81,4 | |
701,3 | 19,9 | 93,8 | 84,6 | |
722,5 | 21,4 | 97,0 | 88,4 | |
751,6 | 22,9 | 97,9 | 92,5 | |
779,2 | 24,2 | 98,7 | 96,3 | |
810,3 | 25,4 | 109,0 | 100,0 | |
865,3 | 26,2 | 109,4 | 105,7 | |
858,4 | 24,8 | 147,7 | 116,3 | |
875,8 | 25,6 | 157,7 | 125,2 | |
906,8 | 26,8 | 164,3 | 131,7 | |
942,9 | 27,7 | 173,7 | 139,3 | |
988,8 | 28,3 | 181,3 | 149,1 | |
1015,5 | 27,4 | 243,2 | 162,5 | |
1021,6 | 25,1 | 337,9 | 179,0 | |
1049,3 | 25,1 | 376,4 | 194,3 | |
1058,3 | 25,3 | 356,6 | 206,0 | |
1095,4 | 26,1 | 344,9 | 213,6 |
) (Y) (X). . R 2.
|
|
F - (α = 0,05 - ). 95% . .
: x - () y - ().
:
y = ax + b + u
a, b - u - ().
[, .29].
, - x:
n - .
1.
. 1.
x | y | x 2 | xy | |
440,4 | 13,7 | 193952,16 | 6033,48 | |
452,0 | 14,2 | 204304,00 | 6418,40 | |
461,4 | 14,3 | 212889,96 | 6598,02 | |
482,0 | 14,9 | 232324,00 | 7181,80 | |
500,5 | 15,3 | 250500,25 | 7657,65 | |
528,0 | 16,0 | 278784,00 | 8448,00 | |
557,5 | 16,8 | 310806,25 | 9366,00 | |
646,8 | 17,8 | 418350,24 | 11513,04 | |
673,5 | 18,4 | 453602,25 | 12392,40 | |
701,3 | 19,9 | 491821,69 | 13955,87 | |
722,5 | 21,4 | 522006,25 | 15461,50 | |
751,6 | 22,9 | 564902,56 | 17211,64 | |
779,2 | 24,2 | 607152,64 | 18856,64 | |
810,3 | 25,4 | 656586,09 | 20581,62 | |
865,3 | 26,2 | 748744,09 | 22670,86 | |
858,4 | 24,8 | 736850,56 | 21288,32 | |
875,8 | 25,6 | 767025,64 | 22420,48 | |
906,8 | 26,8 | 822286,24 | 24302,24 | |
942,9 | 27,7 | 889060,41 | 26118,33 | |
988,8 | 28,3 | 977725,44 | 27983,04 | |
1015,5 | 27,4 | 1031240,25 | 27824,70 | |
1021,6 | 25,1 | 1043666,56 | 25642,16 | |
1049,3 | 25,1 | 1101030,49 | 26337,43 | |
1058,3 | 25,3 | 1119998,89 | 26774,99 | |
1095,4 | 26,1 | 1199901,16 | 28589,94 | |
Σ | 19185,1 | 543,6 | 15835512,07 | 441628,55 |
:
[, .30]:
Δ - .
, :
y = 4,8705 + 0,0220 x.
, 1 .. 0,022 .., .
b = 4,8705 . , .
2.
. 2.
x | y | yx | u 2 = (y - yx)2 | |||||
440,4 | 13,7 | 14,5539 | 64,7059 | 106931,6160 | 2630,4202 | 51,6973 | 0,7292 | |
452,0 | 14,2 | 14,8090 | 56,9119 | 99479,6832 | 2379,4078 | 48,0945 | 0,3709 | |
461,4 | 14,3 | 15,0157 | 55,4131 | 93638,4480 | 2277,8938 | 45,2705 | 0,5122 | |
482,0 | 14,9 | 15,4686 | 46,8403 | 81455,4432 | 1953,3050 | 39,3805 | 0,3233 | |
500,5 | 15,3 | 15,8754 | 41,5251 | 71237,7452 | 1719,9294 | 34,4407 | 0,3311 | |
528,0 | 16,0 | 16,4800 | 32,9935 | 57314,2752 | 1375,1366 | 27,7092 | 0,2304 | |
557,5 | 16,8 | 17,1287 | 24,4431 | 44059,6892 | 1037,7654 | 21,3011 | 0,1080 | |
646,8 | 17,8 | 19,0922 | 15,5551 | 14545,3248 | 475,6622 | 7,0321 | 1,6698 | |
673,5 | 18,4 | 19,6793 | 11,1823 | 8817,9612 | 314,0150 | 4,2631 | 1,6365 | |
701,3 | 19,9 | 20,2905 | 3,4003 | 4369,7388 | 121,8958 | 2,1126 | 0,1525 | |
722,5 | 21,4 | 20,7567 | 0,1183 | 2016,3692 | 15,4470 | 0,9748 | 0,4139 | |
751,6 | 22,9 | 21,3965 | 1,3363 | 249,7664 | -18,2694 | 0,1208 | 2,2605 | |
779,2 | 24,2 | 22,0034 | 6,0319 | 139,1456 | 28,9710 | 0,0673 | 4,8252 | |
810,3 | 25,4 | 22,6872 | 13,3663 | 1840,0668 | 156,8278 | 0,8896 | 7,3594 | |
865,3 | 26,2 | 23,8965 | 19,8559 | 9583,6268 | 436,2246 | 4,6333 | 5,3061 | |
858,4 | 24,8 | 23,7448 | 9,3391 | 8280,2720 | 278,0838 | 4,0032 | 1,1135 | |
875,8 | 25,6 | 24,1274 | 14,8687 | 11749,6928 | 417,9750 | 5,6805 | 2,1686 | |
906,8 | 26,8 | 24,8090 | 25,5631 | 19431,2448 | 704,7862 | 9,3942 | 3,9641 | |
942,9 | 27,7 | 25,6028 | 35,4739 | 30798,8460 | 1045,2542 | 14,8900 | 4,3984 | |
988,8 | 28,3 | 26,6120 | 42,9811 | 49016,1888 | 1451,4722 | 23,6974 | 2,8493 | |
1015,5 | 27,4 | 27,1991 | 31,9903 | 61551,6252 | 1403,2310 | 29,7578 | 0,0404 | |
1021,6 | 25,1 | 27,3332 | 11,2627 | 64615,6064 | 853,0818 | 31,2391 | 4,9872 | |
1049,3 | 25,1 | 27,9423 | 11,2627 | 79465,3548 | 946,0430 | 38,4184 | 8,0784 | |
1058,3 | 25,3 | 28,1401 | 12,6451 | 84620,4828 | 1034,4262 | 40,9107 | 8,0664 | |
1095,4 | 26,1 | 28,9559 | 18,9747 | 107581,3760 | 1428,7506 | 52,0114 | 8,1561 | |
Σ | 19185,1 | 543,6 | - | 608,0416 | 1112789,5896 | 24467,7356 | 537,9904 | 70,0512 |
Σ/ n | 767,404 | 21,744 | - | 24,3217 | 44511,5836 | 978,7094 | 21,5196 | 2,8020 |
:
|
|
: yx = 0,022 x + 4,8705.
y , , , [, . 56]:
, . , - ANOVA- [, . 61].
ANOVA- :
() | |||
() | n - 2 = 23 | ||
n - 1 = 24 | - |
R 2 r [, c. 57]:
, 88,48% , 11,52% .
0,7 < r < 1, .
F -,
:
F (0,05; 1; 23) = 4,28 | F | > F, .
.
t - 0,95 n - 2 = 23 2,07.
C -1, :
Δ = | C | = 27819739,74,
, :
t -
tm = 2,07 t - , .
[, . 57].
:
Δ a = t.ma = 2,0690 0,0017 = 0,0034,
Δ b = t.mb = 2,0690 1,3167 = 2,7242,
, :
min a = a - Δ a = 0,0220 - 0,0034 = 0,0186, max a = a + Δ a = 0,0220 + 0,0034 = 0,0254,
min b = b - Δ b = 4,8705 - 2,7242 = 2,1463, max b = b + Δ b = 4,8705 + 2,7242 = 7,5947.
|
|
, :
a Î (0,0186; 0,0254),
b Î (2,1463; 7,5947).
.
) .
: t - (), y - (). :
y = at + b + u,
a, b - , u - ().
[, .29].
, - t:
, (t = 0) ().
(, 25), t = 0 1971 :
t | -12 | -11 | -10 | -9 | -8 | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | |
Y | 13,7 | 14,2 | 14,3 | 14,9 | 15,3 | 16,8 | 17,8 | 18,4 | 19,9 | 21,4 | 22,9 | 24,2 | |
t | |||||||||||||
Y | 25,4 | 26,2 | 24,8 | 25,6 | 26,8 | 27,7 | 28,3 | 27,4 | 25,1 | 25,1 | 25,3 | 26,1 |
Σ t = 0, :
:
t | y | t 2 | ty | |
-12 | 13,7 | -164,4 | ||
-11 | 14,2 | -156,2 | ||
-10 | 14,3 | -143,0 | ||
-9 | 14,9 | -134,1 | ||
-8 | 15,3 | -122,4 | ||
-7 | 16,0 | -112,0 | ||
-6 | 16,8 | -100,8 | ||
-5 | 17,8 | -89,0 | ||
-4 | 18,4 | -73,6 | ||
-3 | 19,9 | -59,7 | ||
-2 | 21,4 | -42,8 | ||
-1 | 22,9 | -22,9 | ||
24,2 | 0,0 | |||
25,4 | 25,4 | |||
26,2 | 52,4 | |||
24,8 | 74,4 | |||
25,6 | 102,4 | |||
26,8 | 134,0 | |||
27,7 | 166,2 | |||
28,3 | 198,1 | |||
27,4 | 219,2 | |||
25,1 | 225,9 | |||
25,1 | 251,0 | |||
25,3 | 278,3 | |||
26,1 | 313,2 | |||
Σ | - | 543,6 | 819,6 |
:
:
a = 819,6 / 1300 = 0,6305,
b = 543,6 / 25 = 21,744.
, :
y = 21,7440 + 0,6305 t.
, 1 ., 0,6305 .., .
b = 21,744 .
) (Y) : (X) (P). (
P = (Z / L) ∙ 100%). (Z, L . . 1).
Y X P. ( Y, X P ).
. . .
- [, c.140]:
Y = c Xa Pb,
c - , , a b - Y , X P .
. :
lg Y = lg(c Xa Pb),
lg Y = lg c + a lg X + b lg P.
:
lg Y = y, lg c = a 0, a = a 1, b = a 2, lg X = x 1, lg P = x 2,
X - 1, P - 2, Y - .
, :
y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + u,
a 0, a 1, a 2 - u - ().
|
|
.
Y | X | P | |
13,7 | 440,4 | 116,43 | |
14,2 | 117,52 | ||
14,3 | 461,4 | 115,56 | |
14,9 | 114,65 | ||
15,3 | 500,5 | 112,97 | |
16,0 | 111,2 | ||
16,8 | 557,5 | 113,34 | |
17,8 | 646,8 | 112,72 | |
18,4 | 673,5 | 113,51 | |
19,9 | 701,3 | 110,87 | |
21,4 | 722,5 | 109,73 | |
22,9 | 751,6 | 105,84 | |
24,2 | 779,2 | 102,49 | |
25,4 | 810,3 | ||
26,2 | 865,3 | 103,5 | |
24,8 | 858,4 | ||
25,6 | 875,8 | 125,96 | |
26,8 | 906,8 | 124,75 | |
27,7 | 942,9 | 124,69 | |
28,3 | 988,8 | 1215,96 | |
27,4 | 1015,5 | 149,66 | |
25,1 | 1021,6 | 188,77 | |
25,1 | 1049,3 | 193,72 | |
25,3 | 1058,3 | 173,11 | |
26,1 | 1095,4 | 161,47 |
.
y | x 1 | x 2 | y | x 1 | x 2 | |||
1,1367 | 2,6438 | 2,0661 | 1,4048 | 2,9086 | 2,0374 | |||
1,1523 | 2,6551 | 2,0701 | 1,4183 | 2,9372 | 2,0149 | |||
1,1553 | 2,6641 | 2,0628 | 1,3945 | 2,9337 | 2,1038 | |||
1,1732 | 2,6830 | 2,0594 | 1,4082 | 2,9424 | 2,1002 | |||
1,1847 | 2,6994 | 2,0530 | 1,4281 | 2,9575 | 2,0960 | |||
1,2041 | 2,7226 | 2,0461 | 1,4425 | 2,9745 | 2,0958 | |||
1,2253 | 2,7462 | 2,0544 | 1,4518 | 2,9951 | 3,0849 | |||
1,2504 | 2,8108 | 2,0520 | 1,4378 | 3,0067 | 2,1751 | |||
1,2648 | 2,8283 | 2,0550 | 1,3997 | 3,0093 | 2,2759 | |||
1,2989 | 2,8459 | 2,0448 | 1,3997 | 3,0209 | 2,2872 | |||
1,3304 | 2,8588 | 2,0403 | 1,4031 | 3,0246 | 2,2383 | |||
1,3598 | 2,8760 | 2,0246 | 1,4166 | 3,0396 | 2,2081 | |||
1,3838 | 2,8916 | 2,0107 |
.
[, c. 58]:
Y = a 0 + a 1 X 1 + a 2 X 2 + u,
a 0, a 1, a 2 - u - (), X 1, X 2 - Y - . :
A = (X ' X)-1 X ' Y,
X . a 0, xi = 1, , , X ' - , Y - .
:
:
:
Y:
, :
a 0 = -0,9638, a 1 = 0,8074, a 2 = -0,0122.
, :
Y = -0,9638 + 0,8074 X 1 - 0,0122 X 2.
, Excel () [, c. 249]. Y, - X, .
:
- x 1 () 1, 0,8074 .;
- x 2 () 1, 0,0122 .;
a 0 = -0,9638 . , .
c - :
c = ea o = e -0,9638 = 0,1087
a = a 1 = 0,8074
b = a 2 = -0,0122
, - :
Y = 0,1087 X 0,8074 P -0,0122.
, a = 0,8074 b = -0,0122.
, , 1%, .
2.
21 . 2. .
:
1) ;
2) ;
3) Ui;
4) ;
5) 4 .
, (, ), .
2
, . | |
.
, . , .
- , :
, , . | |||
3 | 3 | ||
178,00 | |||
236,67 | |||
326,00 | |||
303,67 | |||
208,00 | |||
166,33 | |||
215,33 | |||
247,67 | |||
250,33 | |||
218,00 | |||
236,67 | |||
218,33 | |||
295,67 | |||
295,33 | |||
292,33 | |||
230,67 | |||
229,00 | |||
218,67 | |||
206,00 | |||
.
, .
, .
, .
:
y = at + b + u,
a, b - , u - ().
.
, - t:
, (t = 0) ().
(, 19), t = 0 11 :
t | -9 | -8 | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | |
Y | 178,00 | 236,67 | 326,00 | 303,67 | 208,00 | 166,33 | 215,33 | 247,67 | 250,33 | 218,00 |
t | |||||||||
Y | 236,67 | 218,33 | 295,67 | 295,33 | 292,33 | 230,67 | 229,00 | 218,67 | 206,00 |
Σ t = 0, :
:
t | y | t 2 | ty | |
-9 | 178,00 | -1602,00 | ||
-8 | 236,67 | -1893,36 | ||
-7 | 326,00 | -2282,00 | ||
-6 | 303,67 | -1822,02 | ||
-5 | 208,00 | -1040,00 | ||
-4 | 166,33 | -665,32 | ||
-3 | 215,33 | -645,99 | ||
-2 | 247,67 | -495,34 | ||
-1 | 250,33 | -250,33 | ||
218,00 | 0,00 | |||
236,67 | 236,67 | |||
218,33 | 436,66 | |||
295,67 | 887,01 | |||
295,33 | 1181,32 | |||
292,33 | 1461,65 | |||
230,67 | 1384,02 | |||
229,00 | 1603,00 | |||
218,67 | 1749,36 | |||
206,00 | 1854,00 | |||
Σ | - | 4572,67 | 97,33 |
:
:
a = 97,33 / 570 = 0,1708,
b = 4572,67 / 19 = 240,6668.
, :
y = 240,6668 + 0,1708 t.
, 1 .., 0,1708 .., .
b = 240,6668 .
Ui.
t | T | y | p | Ui | |
-9 | 178,00 | 239,1301 | -61,1301 | ||
-8 | 236,67 | 239,3008 | -2,6308 | ||
-7 | 326,00 | 239,4716 | 86,5284 | ||
-6 | 303,67 | 239,6423 | 64,0277 | ||
-5 | 208,00 | 239,8131 | -31,8131 | ||
-4 | 166,33 | 239,9838 | -73,6538 | ||
-3 | 215,33 | 240,1546 | -24,8246 | ||
-2 | 247,67 | 240,3253 | 7,3447 | ||
-1 | 250,33 | 240,4961 | 9,8339 | ||
218,00 | 240,6668 | -22,6668 | |||
236,67 | 240,8376 | -4,1676 | |||
218,33 | 241,0084 | -22,6784 | |||
295,67 | 241,1791 | 54,4909 | |||
295,33 | 241,3499 | 53,9801 | |||
292,33 | 241,5206 | 50,8094 | |||
230,67 | 241,6914 | -11,0214 | |||
229,00 | 241,8621 | -12,8621 | |||
218,67 | 242,0329 | -23,3629 | |||
206,00 | 242,2036 | -36,2036 |
.
y , , , [, . 56]:
R 2 r [, c. 57]:
, 0,05% , 99,95% .
| r | < 0,4, .
[, . 87]:
:
A > 7%, .
F -,
:
F (0,05; 1; 17) = 4,45 | F | < F, .
4 .
Y (22) = 240,6668 + 0,1708 11 = 242,5451,
Y (23) = 240,6668 + 0,1708 12 = 242,7159,
Y (24) = 240,6668 + 0,1708 13 = 242,8866,
Y (25) = 240,6668 + 0,1708 14 = 243,0574.
, :
y = a 0 + a 1 / x + u.
a, b - u - ().
, [, . 62]. , :
y = a 0 + a 1 / x.
X = 1 / x, b = a 0, a = a 1, :
y = b + aX.
, .
x | y | 1/ x | ||
178,00 | 0,5000 | |||
236,67 | 0,3333 | |||
326,00 | 0,2500 | |||
303,67 | 0,2000 | |||
208,00 | 0,1667 | |||
166,33 | 0,1429 | |||
215,33 | 0,1250 | |||
247,67 | 0,1111 | |||
250,33 | 0,1000 | |||
218,00 | 0,0909 | |||
236,67 | 0,0833 | |||
|
|
|
|
: 2017-02-24; !; : 777 |
:
, ,
==> ...
: 0.223 .