Теорема. Три вектора 
линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
Доказательство необходимости условия. Дано: 
, где 
. Пусть 
, тогда можно записать, что 
или 
, где 
. Таким образом, вектор 
является диагональю параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, т.е. векторы 
компланарны, но 
, следовательно, компланарны и векторы .
Доказательство достаточности условия. Пусть векторы компланарны. Если среди них есть коллинеарные, то они уже линейно зависимы. Например, если 
, то 
и 
.
 
 
Рис. 11.
|
Если среди векторов нет коллинеарных, то приводим их к общему началу и строим параллелограмм с диагональю, например, совпадающим с вектором 
, и сторонами параллельными и 
(рис. 11). Тогда 
, откуда 
, где
, т.е. векторы линейно зависимы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какое выражение называется линейной комбинацией векторов?
2. Какие векторы называются линейно зависимыми и какие линейно независимыми?
3. Сформулируйте условия линейной зависимости двух векторов, трех векторов.
§3. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ
Теорема 1. Если векторы и линейно независимы (неколлинеарны), то любой вектор , лежащий в плоскости векторов и , единственным образом представляется в виде 
.
Выражение называется разложением вектора на составляющие по направлениям векторов и .
Доказательство. Дано: векторы и независимы, векторы компланарны. Так как векторы компланарны, то существуют числа 
такие, что 
и 
. Коэффициент 
, так как в противном случае получим, что векторы 
линейно зависимы, поэтому из последнего равенства имеем: 
или , где 
.
Докажем единственность такого разложения. Предположим, что существует два разных разложения вектора по направлениям векторов и : и 
. Вычитая из одного равенства другое, получим 
. Так как векторы и линейно независимы, то последнее равенство возможно только при 
и 
, т.е. разложение вектора по направлениям векторов и единственно.
Теорема 2. Если три вектора линейно независимы (некомпланарны), то любой четвертый вектор 
единственным образом представляется в виде 
(разложение вектора на составляющие по направлениям векторов ).
 D
C
A B
Рис. 12.
|
Доказательство. Дано: Некомпланарные векторы и вектор . Все векторы приводим к общему началу и строим параллелепипед со сторонами, параллельными векторам , и с диагональю, совпадающей с вектором (рис.12). Имеем 
.
Так как 
, то существует число
, такое, что 
, аналогично, 
, откуда .
Единственность разложения доказывается аналогично плоскому случаю.
Следствие. В пространстве любые четыре вектора линейно зависимы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Докажите теоремы о разложении вектора на две, на три составляющие.
§4. ВЕКТОРНЫЙ БАЗИС, КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис трехмерного пространства; упорядоченная пара неколлинеарных векторов образует базис на плоскости.
Пусть в пространстве выбран базис: 
; тогда любой вектор единственным образом можно разложить на составляющие по базисным векторам: 
Таким образом, базис устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами пространства и упорядоченными тройками чисел 
, которые называются координатами вектора в заданном базисе. Вместо записи используется так же символическая запись 
или 
.
Если базисные векторы – единичные (орты) и попарно ортогональны, то базис называется ортонормированным, а базисные векторы обозначаются 
. Пусть некоторый вектор имеет в этом базисе координаты 
, тогда 
или используется символическая запись 
.
Базисные векторы в пространстве образуют правую тройку, если поворот на наименьший угол от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки, если смотреть с конца третьего вектора (рис. 13). В противном случае тройка векторов называется левой.
 
 
Рис. 13.
|
В дальнейшем используются только правые тройки.
Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными операциями над числами (координатами этих векторов).
РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ ПРИ ЗАДАННОМ БАЗИСЕ
Два вектора в любом базисе равны тогда и только тогда, когда равны их одноименные координаты. Это следует из взаимно однозначного соответствия между вектором и его координатами.
