Определение 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) с отклоняющимся аргументом называется дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят, вообще говоря, при различных значениях аргумента.
Например,
x / (t) =f (t, x(t),x(t-t)),t>0 (1)
Впервые отдельные уравнения такого типа появились в литературе во второй половине 18 столетия (Кондорсе 1771), но систематическое изучение их началось лишь в 20 веке.
Основная начальная задача для уравнения (1) заключается в определении непрерывного решения x(t) уравнения (1) при t>t0 при условии, что x(t)=j(t) при t-t£ t £ t0, где j(t)- заданная непрерывная функция, называемая начальной.
Отрезок t0-t£ t £ t0, на котором задана начальная функция, называется начальным множеством и обозначается 
; точка t0 называется начальной точкой. Обычно предполагается, что
X (t0+0)=j(t0). (см. рис.1)
рис.1
Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка с L отклонениями аргумента,
,
где отклонения tI(t)³0. Здесь под x(k)(t-tI(t)) понимается k-я производная от функции x(z), взятая в точке z = t-tI(t). В дальнейшем предполагается, что все отклонения tI(t) непрерывны.
Пусть уравнение (2) разрешимо относительно 
(t); Обозначим l=m0-m, где m=max 
.
.
Замечание. Уравнения, для которых l>0, называются уравнениями запаздывающего типа (у них старшая производная, входящая в уравнение, не содержит запаздывания). (ЗФДУ)
Уравнения, для которых l=0, называются уравнениями нейтрального типа (у них старшая производная входит в уравнение, как с запаздыванием, так и без него). (НФДУ)
Уравнения, для которых l<0, называются уравнениями опережающего типа (для них характерно, что старшая производная, входящая в ДУ, содержит запаздывание, а производная того же порядка без запаздывания отсутствует). (ОФДУ)
Отметим ещё, что естественная классификация уравнений с отклоняющимся аргументом была предложена Г.А.Каменским.
Примеры:
1) 
-ДУ запаздывающего типа.
2) 
-ДУ нейтрального типа.
3) 
ДУ опережающего типа.
Рассмотрим ДУ
x / 
(t)=f (t, x (t), x (t-t)) (1)
с начальным условием x (t)= j(t), t 
где j(t)- начальная функция, 
начальное множество, t- запаздывание, t>0(запаздывание t может быть переменным: t=t(t)).
Основная начальная задача (задача Коши) для уравнения (1)заключается в нахождении непрерывного решения x(t), удовлетворяющего уравнению (1) с начальным условием x (t)= j(t), t 
.
Наиболее естественным методом нахождения решения уравнения (1) является так называемый «метод шагов» (метод последовательного интегрирования ДУ на отрезках 
, 
и т. д.), заключающийся в том, что решение x(t) рассматриваемого уравнения определяется из дифференциального уравнения без запаздывания
x /(t)=f (t,x (t),j0(t-t)), t0£ t £ t0+t, x(t0)=j0(t0),
так как при t0£t£t0+t аргумент t-t изменится на начальном множестве
[t0-t;t0] и, следовательно, третий аргумент x(t-t) функции f равен начальной функции j0(t-t).
Предполагая существование решения x =j1(t) этой начальной задачи на всем отрезке[t0;t0+t], аналогично получаем:
x/(t)= f(t,x(t),j1(t-t)), при t0+t £ t £ t0+2t, x0(t0+t)=j1(t0+t)
………………………………………………………………..
x/(t)= f(t, x(t),jn(t-t)), при t0+nt £ t £ t0+(n+1)t, x0(t0+nt)=jn(t0+nt)
Пример 2. Для уравнения x(t)= 6x(t-1), x=t при 0 £ t £ 1 определить x(t) при 1<t£3.
Применяя метод шагов, получим: x/(t)=6(t-1), 1 £ t £ 2, x(1)=1, так как x(1)=1. Интегрируя, находим:
x(t)= 
(так как 1=3(1-1)2+С 
С=1). При 2 £ t £3: x/(t)=6 [3(t-2)2+1], x(2)=4, так как 3(2-1)2+1=4, тогда интегрируя: 
x(t)=6(t-2)2+6t-8.
Заметим, что даже в случае существования непрерывных производных от функций j и f сколь угодно высокого порядка решение основной начальной задачи будет, вообще говоря, иметь разрыв первого рода у производной порядка k в точке t0+(k-1)t, но производные более низких порядков в этой точке будут уже непрерывны.
Действительно, в точке t0 x/(t) имеет, вообще говоря, разрыв первого рода, так как интегрируя уравнение
x/(t)=f(t, x(t),j0(t-t)), t0 £ t £t0+t, можно удовлетворить условию
x(t0)=j0(t0),но, вообще говоря, нельзя удовлетворить, кроме того, условию
x/(t0+0)=j/0(t0-0).
Таким образом, применение метода шагов становится затруднительным, если запаздывание t мало по сравнению с отрезком, на котором требуется определить решение.
