-1
1 , 2011 .
1. . N, Z, Q (m / n ), (¹ m/n ), R. . : |a b|£|a|+|b|, |ab|=|a||b|, |a/b|=|a|/|b|. | x1 x2 |. [ a,b ], (a,b ], ( ¥, b ], (a,+¥) .. , , . . ¥, +¥, ¥.
. ( ; ).
2. . , , ÎD ; D . .
, = + . , , . . ( ( )!)
, (,) { xÎD, y = f(x) }.
-:
.
3. :
) ( , ), , Y.
) , ( -). , . . =1/ !!!
) (, , ), , . ", $, , .
. . -.
: ? (tgx = Sinx/osx).
: y = Sinx, y = x2 R, .
) , . .
) . : y = f(x), xÎD, yÎE f(x) = y x = g(y) yÎE. y = f(x), xÎD, yÎE. . !
.
. . .
. , .
4. .
: x x00, x x0+0, x ¥, x+¥. ( , ). 0 ¥. . =(1)
Y: y = f(x) b, ¥, +¥.
|
|
.
.
.
, ( , Y ) , .
.
. , ; ¥ , +¥ ¥.
: ), ) , ) ¥.
. , , .
( lim, , ).
5. .
( 0 ¥), ( ). .
, , .
.. .. . -, ( 1000 , ?).
.. .. . -.
.. . f(x)AÛf(x)=A+a(x). -. ¥: 2+..
6. .
. , m/n = 0,001. ? a/b=1000.
.. .. .
. ( : f(x) g(x) )
.
: .
: !!!
.
, . ,
. f(x) ¹ 0 0, f(x)g(x)~Ag(x) 0. -.
. f(x) + o(f(x)) ~ f(x). -.
. , .. exp (f(x) + o(f(x))) ~ exp(f(x))!!!!!!!
. f(x) = g(x) + o(g(x)) 0, g(x) f(x) ( ) 0 ( 0).
. , .
. y x = 1000?
.
7. , .
. , , , . () .
. f(x)2 x - ¥
. , .
, .
.
. .
-
. , , . .
.
|
|
. . .
. ( ).
.
8. .
: 1)
2) f(x)×a(x)=o(f(x)), x x0.
0 ( ):
Sinx = x+ o(x), Cosx = 1+ x2/2 + o(x2), tgx = x + o(x),
ln(1+x) = x + o(x), ex = 1 + x + o(x), (1 + x)n = 1+nx+o(x).
9. .
. y = f(x) 0,
) ,
) $
. .
. :
.
. . .
. D =1/.
: D D.
: , .
: ! ( ).
10. .
. -. , =2. , ( )
. -. , =2. f(2)>0. , f(x)> 0 =2.
. , .
11 . .
. D z ( z=g(x) D), z y ( y = f(z) ). , y=f(g(x)), x ÎD. f() , g() .
: : y = ln(x2) .
.
. y = f(g(x)) z=g(x) 0, f(z) z0 = g(x0). 0.
. D. z=g(x) ( g(x)) Dz. y=f(z) ( f(z)) D. , D D y=f(g(x)), , .
12. . .
y = f(x) .
.
.
. y = f(x) (, b). , .
- : 1) , .. , 2) , .. . .
13. .
6) , , . : - -.
14. . ( !!!)
. y=f(x) =, f(a).
|
|
. = , , =.
. y=sgn2(x); .
. .
. = (), . , .
. y=sgn(x),
(- , >f:=x>piecewise(x<1,1-x,x-1);)
. = , .
. .
. . 1- , 2- (2>1).
15. .
. . = . .
: , ,
. y=f(x) [a, b], , (a,f(a)) (b,f(b)) , . . , [1, 3].
, .
Ø . y=f(x) [ a,b ] . Î(a,b) , f(c) = 0. . =. ?
.
: =1/(2) [1;3], = sgnx0,5 [0; 1]
Ø 1- . f(x) [ a,b ], . .
. ) , )
Ø 2- . y=f(x) [ a,b ], max u min. .
. y=Sgn(x)x, [1; +1].
.
. y=f(x) 0.
) Dy=f(x0+Dx)f(x0).
) D.
) D/D D 0.
, f(x) 0. f(x0).
,
. y=f(x) . 0, f(x0).
. , .
* : S(t) , V(t)=S(t) .
( ).
) = 0.
) =
)
. y=f(x) 0, .
-: 1) Þ 0. (. - ). 2) D0. , Dy 0, . . . / / Y, .. .
:
. , (.)
|
|
: .
- , 0 , .
- .
- ; ( ).
: , .. f(x0) - ; , , .
, , .
:
u(x+Dx) u(x) = Du Þ u(x+Dx) = u(x) + Du.
. u(x), v(x) . , ,
(u+v)=u+v, (uv)=uv+vu, (u/v)=(uvvu)/v2.
, v(x)¹0.
- .
: (tgx), (ctgx).
y=f(z), z=g(x).
. z=g(x) 0, y=f(z) z0=g(x0). y=f(g(x)) 0
y=f(z0)×g(x0).
-: 0 D. Dz=g(x0+Dx)g(x0), Dy=f(x0+Dz)f(z0). .. g(x) , , Dz0 Dx0.
= f(z0)×g(x0).
-, 0 Dx Dz 0, !
.
.
. . =() 0, =() 0 y(x0)×x(y0)=1.
-: , , .. (. .).
y(x0)=tga, x(y0)=tgb=tg(p/2-a)=ctga..
y(x0)× x(y0)= tga × ctga=1.
.
. y=f(x) 0, ()
-: , ..
.
Y = , Y = , = (0), 0.
f(x) f(x0)+f(x0)(xx0)
( (xx0)).
:
, 9, , = 10.
f(x) = 0. ( ).
0 . f(x) = 0 f(x0)+f(x0))xx0)=0.
.
.
. f(x) = x2 2.
.
. y=f(x) . y=f(x) [ x, x+Dx ] dy=f(x)Dx.
. D.
d()=()Dx. 2 , . dx=Dx, ( dy dx). (. .).
. .
y=f(x) 0.
f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+o(xx0), xx0 0.
0+D.
D = dy + o(Dx), Dx 0 (. .)
Dx Dy dy.
.
.
.
. =f(x) (a,b). y=f(x). ( ) f(x).
.
1. ( ).
2. . 0 y=f(x) f(x) . f(x0)=0.
: .
. = 43 34.
. f(x0)=0 0
.
: Þ . . ! (=3)
|
|
.
[a, b] y = f(x). 1- , .. x1, x2 Î [a, b] , f(x1)=m, f(x2)=M m £ f(x) £ M [a, b]. .
. y = f(x) [a, b] . , . , .
. 1, 2, 3 , [a, b] f(a), f(x1), f(x2), f(x3), f(b) m M. .
. = 3x4+4x312x2, x Î [1, 1]. : 2, 0, 1
f(1)=13; f(0)=0; f(1)=5. m=13, M=0. , [1, 1] : 13 £ f(x) £ 0.
( ). f(x) [a,b] (a,b), Î(a,b) , f(b)f(a)=f(c)(ba).
-:: , A(a,f(a)) B(b,f(b)). =, . ,
.
f(b)f(a)=f(c)(ba). : .
.
. f(x) (, , ) (a,b) (). f(x) () .
-: [ x1,x2 ]Ì(a,b) , f(x2)f(x1)=f(c)(x2x1). , .
.
. f(x) 0 0 ( ). 0 ().
-: f(x0)f(x)=f(c)(x0x)>0;
f(x0)f(x)=f(c)(x0x)>0;
, f(x0)>f(x), .. .
.
. y= 6ln|x|+x2 8x.
1. a, b .
) ( ).
) , .
) .
2. . Ÿ a, b. .
3. . , . ( 600)
.
: 0/5 6/0 !!!
f(x), g(x) 0 , g (0 ) ¹ 0.
-:
.
. .
1. ¥.
2. , .
. . -.
.
. f(x) n 0. n- f(x) 0
. f(x)=2x2+3x+4, 0=1, 2(). : ()=(). .
. Sinx ≠ x x3/6.
:
=0 n n .
-:
. f(x) n d(0). f(x)=Tn(x)+o((x-x0)), x x0.
-: , , ,
n ( !) , .
.
-,
1,12,3 1+0,23+0,01495=1,24495 (= 1,245097).
. . 0=0.
.
. ( ln3=1,09861)
( ) , .. .
. . Î (0, ) ,
, f(x) Tn(x),
.
.
f(x) 0. .
[ x0h, x0+h ] |f(x)| £ M.
|R(x)| = |0,5f(c)(xx0)2| £ 0,5Mh2.
. lnx=x1 [0,9; 1,1].
|R(x)| £ 0,12/(2×0,92)=0,0061728.
: , . (. ).
.
. , .
.
. , L, . y<0, , J . y>0.
: , a() (. .),
, tga() = y ,
, .. y>0;
, a() , tga() = y ,
, .. y<0.
: () , y>0, y>0, (y<0);
() ; y<0, y>0, (y<0).
. .
. y=f(x), , . .
: .
. ? . !
( ). y=f(x) =0. f(x0)=0.
-: , 0 , .
. f(x0)=0, 0 . .
. .
.
. , f(x) . , f(x) .
.
.
. f(x)=g(x)+o(g(x)), x x0. g(x) f(x) x x0 .
, : g(x) f(x) x x0 , f(x)~g(x) x x0..
. :
.
. x 0. (y ~ x6/6)
.
( ).
. .
. . =2. , y=x23x.
( ), .
.
= ( , ) < ( ).
: