Методические указания к выполнению работы. 1. Составление расчетной электрической схемы

1. Составление расчетной электрической схемы. Для дальнейшего анализа состояния электрической цепи составля­ется схема замещения. В табл. 2.1 в соответствии с номером варианта указана ветвь, содержащая источник ЭДС. Эле­менты, параметры которых обозначены прочерком в табл. 2.1, исключаются из цепи. Прежде чем приступать к расчету токов в ветвях схемы и напряжений на всех ее элементах, указываются условно-поло­жительные направления этих электрических величин на схеме замещения электрической цепи, как это показано на примере рис. 2.2.

 

2. Замена синусоидальной электрической величины комплексным изображением. Для анализа электрических цепей переменного тока при­меняется символический метод расчета, поэтому синусоидальные токи, напряжения и ЭДС (рис. 2.2) представляются их комплексными изображениями (рис. 2.3).

Мгновенное значение синусоидального тока определяется выражением

,

где I_m - амплитуда тока; ψ_i – начальная фаза; ω – угловая частота.

Комплексное действующее значение тока

.

Аналогично записывают комплексные действующие значения напряжений и ЭДС.

Например, изображением тока

является

 

Рис 2.2 Рис. 2.3

3. Законы Кирхгофа. Символическая форма записи предусматривает представление комплексов напряжений на приемниках энергии как произведение комплексной величины тока на сопротивления резистивных, индуктивных и емкостных элементов, записанных в комплексной форме.

Например, для схемы рис. 2.3 система уравнений, составленная по законам Кирхгофа имеет вид:

 

4. Расчет токов в ветвях схемы электрической цепи. При последовательном соединении приемников сопротивления резистивных, индуктивных и емкостных элементов складываются в комплексной форме: активное сопротивление записываются в виде действительного числа, а реактивные сопротивления – в виде мнимого числа, причем, индуктивное сопротивление положительно, а емкостное - отрицательно. Таким образом, приемники, стоящие в одной ветви, заменяются одним эквивалентным элементом.

Например, для схемы рис. 2.2 по заданным параметрам приемников электрической цепи: R₁=125 Ом; R₂=30 Ом; R₃=80 Ом; L₁=0,5 Гн; L₃=0,5 Гн; C₂=20 мкФ=20·10^-6 Ф; C₃=10 мкФ=10·10^-6 Ф, записываем комплексные сопротивления первой, второй и третьей ветвей схемы рис. 2.3:

 

 

Таким образом, для дальнейших расчетов схема рис. 2.3 может быть представлена эквивалентной схемой рис. 2.4.

 

Задача 1 (известен ток в ветви с источником).

Например, задан ток I₃ схемы рис. 2.3. Приняв начальную фазу тока равной нулю, записываем комплексное действующее значение тока:

Две ветви, не содержащие источников и подключенные к одной и той же паре узлов, представляют собой параллельное соединение и могут быть заменены одной эквивалентной ветвью. При этом ток в ветви, которая не преобразуется, остается неизменным.

Заменяем сопротивления Z₁ и Z₂ (рис. 2.4) эквивалентным сопротивлением Z₁₂:

Тогда схема рис. 2.4 может быть представлена эквивалентной схемой (рис.2.5), в которой через все элементы схемы протекает один и тот же ток İ₃.

Рис. 2.4 Рис. 2.5

Напряжение U_ab в этих схемаходно и то же и определяется согласно закону Ома для участка ab схемы рис.2.5.

Комплексные действующие значения токов параллельно соединенных ветвей (рис.2.4) записываем, используя закон Ома для каждой ветви в отдельности:

Задача 2 (известен ток в одной из ветвей, не содержащей источник электрической энергии).

Задачу решаем с помощью законов Ома.

Рассмотрим случай, когда известен ток во второй ветви схемы рис. 2.2. Действующее комплексное значение тока

По закону Ома находим комплексное действующее значение напряжения, приложенного к этой ветви:

Первая ветвь не содержит источника ЭДС и подключена параллельно ко второй ветви, поэтому

или .

Ток в третьей ветви получаем, используя схемы рис. 2.4, 2.5 ток только одной из параллельных ветвей:

 

5. Определение ЭДС источника. ЭДС источника находим для схемы рис. 2.5, например, как сумму напряжений на приемниках, подключенных к его зажимам. Комплексное действующее значение ЭДС равно:

6. Проверка выполнения законов Кирхгофа. В уравнения, составленные по законам Кирхгофа подставляются полученные численные значения токов, сопротивлений, ЭДС и сравниваются результаты вычислений левой и правой части равенства. Погрешность расчетов не должна превышать 3 %.

 

7. Построение векторной диаграммы. Векторной диаграммой называется совокупность векторов, изображающих синусоидальные электрические величины исследуемой цепи в момент времени t=0.Векторная диаграмма цепи образуется векторными диаграммами ее ветвей, которые в свою очередь состоят из отдельных диаграмм элементов цепи.

Все построения выполняются на одной комплексной плоскости с осями координат (+1), (+j). Длины векторов пропорциональны действующим значениям электрических величин, а направления векторов определяются их начальными фазами. Положительные углы откладываются от оси (+1) против движения часовой стрелки, а отрицательные - по направлению движения.

Для построения векторной диаграммы необходимо рассчитать напряжения на каждом из элементов рассматриваемой цепи и выбрать масштабы по току и напряжению таким образом, чтобы векторная диаграмма занимала не менее половины страницы.

Для схемы рис. 2.3:

По полученным численным значениям электрических величин выбираем масштабы для тока- 0,1 А/см, напряжения –10 В/см.

Построим на комплексной плоскости векторы токов пассивных ветвей: вектор тока İ₁ повернем относительно оси (+1) на угол 78^о по ходу часовой стрелки (ψ _i1 <0), а вектор тока второй ветви сдвинем относительно той же оси на угол 52^о против движения часовой стрелки (ψ _i2> 0) (рис. 2.6, 2.8).

Далее с учетом характера нагрузки последовательно строим векторы напряжений на каждом из элементов первой и второй ветвей: напряжение на участке с резистором совпадает по фазе с током, поэтому вектор направляем параллельно вектору тока; напряжение на участке с индуктивным элементом опережает ток участка на четверть периода, поэтому вектор поворачиваем относительно вектора тока на угол 90^о против хода часовой стрелки; напряжение на участке с емкостным элементом отстает от тока на 90^о, поэтому вектор сдвигаем относительно вектора тока на угол 90^о по направлению движения часовой стрелки. В соответствии с выражением

складываем векторы напряжений элементов, для чего из конца вектора напряжения проводим вектор напряжения . Вектор, соединяющий начало первого вектора и конец второго, равен вектору напряжения между узлами ab схемы рис. 2.6.

Затем выполняем построения векторов напряжений элементов второй ветви с учетом характера нагрузки (рис. 2.6, 2.8) и на основании выражения

получаем вектор напряжения на зажимах второй ветви.

На рис. 2.7 приведена векторная диаграмма для тока и напряжений на приемниках третьей ветви, для которой

.

Результирующая векторная диаграмма приведена на рис. 2.8.

Рис.2.6 Рис. 2.7

Указываем на диаграмме угол сдвига фаз для каждой из ветвей: φ=ψ_u-ψ_i (угол φ отсчитывается в направлении от вектора тока к вектору напряжения и равен аргументу комплексного сопротивления ветви, φ положителен при отстающем токе и отрицателен при опережающем токе).

Осуществляем проверку правильности расчетов и построения векторов. Для этого на рис. 2.8 складываем векторы токов İ₁ и İ₂. Если , то первый закон Кирхгофа выполняется. Если при суммировании векторов напряжений вдоль независимых контуров, выполняется, например, условие , то второй закон Кирхгофа тоже сходится.

Рис. 2.8

8. Построение временных характеристик. С этой целью переходим от рассчитанных в символической форме электрических величин к их мгновенным значениям. Изображение их временных характеристик основано на построении периодической функции времени с периодом T=1/ f.

Временные зависимости синусоидальных функций могут быть построены с помощью существующих компьютерных программ или вручную, как это показано на примере тока первой ветви и напряжения участка ab схемы рис. 2.2.

В прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываем в масштабе время (или пропорциональная ему величина ωt), а по оси ординат значения тока, соответствующие выбранному моменту времени. Масштаб по времени и по току должен быть таким, чтобы график занимал на менее половины страницы.

Для удобства построения выбираем исчисление периода в градусах (T=360⁰).

1) От начала координат откладываем начальную фазу ψ тока (при ψ>0 начало синусоиды тока сдвинуто влево, а при ψ<0 – вправо). Полученная точка 1 является началом графика.

i ₁(ωt₁) = I_m sin(ωt₁+ψ)=0 sin(ωt₁+ψ)=0 ωt₁= -ψ.Далее вправо и влево от точки 1 строим синусоидальную функцию времени по контрольным точкам.

2) Точки 2 и 3 соответствуют середине и концу периода. В эти моменты времени синусоида также принимает нулевые значения, т.е.

i ₁(ωt₂) = i ₁(ωt₃) =0 ωt₂ = -ψ+180⁰; ωt₃ = -ψ+360⁰.

3) По истечении времени ток принимает максимальные значения:

i ₁(ωt₄) = I_msin(ωt₄+ψ)=I_m i ₁(ωt₅)=I_msin(ωt₅+ψ)=-I_m

sin(ωt₄+ψ)=1 sin(ωt₅+ψ)=-1

ωt₄+ψ=90⁰ ωt₅+ψ= -90⁰=270⁰

ωt₄= -ψ+90⁰. ωt₅= -ψ-90⁰= -ψ+270⁰.

4) В дополнительных точках 6, 7, 8, 9 величина тока равна половине амплитуды. Им соответствуют следующие моменты времени:

i ₁(ωt₆)= i ₁(ωt₇)= i ₁(ωt₈)= i ₁(ωt₉)=

=I_msin(ωt+ψ)=I_m/2; =I_msin(ωt+ψ)= -I_m/2;

sin(ωt+ψ)=1/2; sin(ωt+ψ)= -1/2;

ωt+ψ=30⁰ или 150⁰; ωt+ψ=210⁰ (-150⁰) или -30⁰ (330⁰);

ωt₆₌ -ψ+30⁰, ωt₈=-ψ+210⁰=-ψ-150⁰,

ωt₇= -ψ+150⁰. ωt₉=-ψ-30⁰=-ψ+330⁰.

Графики тока i ₁ и напряжения u _ab cтроим на одной плоскости, показываем их начальные фазы и угол сдвига фаз между ними (рис. 2.9).

Рис. 2.9

9. Расчет мощности цепи однофазного синусоидального тока. Мощность участка цепи в символическом виде определяется произведением комплекса напряжения на данном участке и сопряженного комплекса тока в соответствующей ветви, т.е.

В этом выражении величина cosφ называется коэффициентом мощности цепи переменного тока.

Баланс мощностей можно определить уравнением