Алгоритмы замены(подстановки)

Введение

То, что информация имеет ценность, люди осознали очень давно - недаром переписка сильных мира сего издавна была объектом пристального внимания их недругов и друзей. Тогда-то и возникла задача защиты этой переписки от чрезмерно любопытных глаз. Древние пытались использовать для решения этой задачи самые разнообразные методы, и одним из них была тайнопись - умение составлять сообщения таким образом, чтобы его смысл был недоступен никому кроме посвященных в тайну. Есть свидетельства тому, что искусство тайнописи зародилось еще в доантичные времена. На протяжении всей своей многовековой истории, вплоть до совсем недавнего времени, это искусство служило немногим, в основном верхушке общества, не выходя за пределы резиденций глав государств, посольств и - конечно же - разведывательных миссий. И лишь несколько десятилетий назад все изменилось коренным образом - информация приобрела самостоятельную коммерческую ценность и стала широко распространенным, почти обычным товаром. Ее производят, хранят, транспортируют, продают и покупают, а значит - воруют и подделывают - и, следовательно, ее необходимо защищать. Современное общество все в большей степени становится информационно-обусловленным, успех любого вида деятельности все сильней зависит от обладания определенными сведениями и от отсутствия их у конкурентов. И чем сильней проявляется указанный эффект, тем больше потенциальные убытки от злоупотреблений в информационной сфере, и тем больше потребность в защите информации.

Среди всего спектра методов защиты данных от нежелательного доступа особое место занимают криптографические методы. В отличие от других методов, они опираются лишь на свойства самой информации и не используют свойства ее материальных носителей, особенности узлов ее обработки, передачи и хранения.

Широкое применение компьютерных технологий и постоянное увеличение объема информационных потоков вызывает постоянный рост интереса к криптографии. В последнее время увеличивается роль программных средств защиты информации, просто модернизируемых не требующих крупных финансовых затрат в сравнении с аппаратными криптосистемами. Современные методы шифрования гарантируют практически абсолютную защиту данных, но всегда остается проблема надежности их реализации.

Свидетельством ненадежности может быть все время появляющаяся в компьютерном мире информация об ошибках или "дырах" в той или иной программе (в т.ч. применяющей криптоалгоритмы), или о том, что она была взломана. Это создает недоверие, как к конкретным программам, так и к возможности вообще защитить что-либо криптографическими методами не только от спецслужб, но и от простых хакеров. Поэтому знание атак и дыр в криптосистемах, а также понимание причин, по которым они имели место, является одним из необходимых условий разработки защищенных систем и их использования.

В настоящее время особо актуальной стала оценка уже используемых криптоалгоритмов. Задача определения эффективности средств защиты зачастую более трудоемкая, чем их разработка, требует наличия специальных знаний и, как правило, более высокой квалификации, чем задача разработки. Это обстоятельства приводят к тому, что на рынке появляется множество средств криптографической защиты информации, про которые никто не может сказать ничего определенного. При этом разработчики держат криптоалгоритм (как показывает практика, часто нестойкий) в секрете. Однако задача точного определения данного криптоалгоритма не может быть гарантированно сложной хотя бы потому, что он известен разработчикам. Кроме того, если нарушитель нашел способ преодоления защиты, то не в его интересах об этом заявлять. Поэтому обществу должно быть выгодно открытое обсуждение безопасности систем защиты информации массового применения, а сокрытие разработчиками криптоалгоритма должно быть недопустимым.

Криптография и шифрование

Что такое шифрование

Шифрование — это способ изменения сообщения или другого документа, обеспечивающее искажение (сокрытие) его содержимого. (Кодирование – это преобразование обычного, понятного, текста в код. При этом подразумевается, что существует взаимно однозначное соответствие между символами текста(данных, чисел, слов) и символьного кода – в этом принципиальное отличие кодирования от шифрования. Часто кодирование и шифрование считают одним и тем же, забывая о том, что для восстановления закодированного сообщения, достаточно знать правило подстановки(замены). Для восстановления же зашифрованного сообщения помимо знания правил шифрования, требуется и ключ к шифру. Ключ понимается нами как конкретное секретное состояние параметров алгоритмов шифрования и дешифрования. Знание ключа дает возможность прочтения секретного сообщения. Впрочем, как вы увидите ниже, далеко не всегда незнание ключа гарантирует то, что сообщение не сможет прочесть посторонний человек.). Шифровать можно не только текст, но и различные компьютерные файлы – от файлов баз данных и текстовых процессоров до файлов изображений.

Шифрование используется человечеством с того самого момента, как появилась первая секретная информация, т. е. такая, доступ к которой должен быть ограничен.

Идея шифрования состоит в предотвращении просмотра истинного содержания сообщения(текста, файла и т.п.) теми, у кого нет средств его дешифрования. А прочесть файл сможет лишь тот, кто сможет его дешифровать.

Шифрование появилось примерно четыре тысячи лет тому назад. Первым известным применением шифра (кода) считается египетский текст, датированный примерно 1900 г. до н. э., автор которого использовал вместо обычных (для египтян) иероглифов не совпадающие с ними знаки.

Один из самых известных методов шифрования носит имя Цезаря, который если и не сам его изобрел, то активно им пользовался. Не доверяя своим посыльным, он шифровал письма элементарной заменой А на D, В на Е и так далее по всему латинскому алфавиту. При таком кодировании комбинация XYZ была бы записана как АВС, а слово «ключ» превратилось бы в неудобоваримое «нобъ»(прямой код N+3).

Спустя 500 лет шифрование стало повсеместно использоваться при оставлении текстов религиозного содержания, молитв и важных государственных документов.

Со средних веков и до наших дней необходимость шифрования военных, дипломатических и государственных документов стимулировало развитие криптографии. Сегодня потребность в средствах, обеспечивающих безопасность обмена информацией, многократно возросла.

Большинство из нас постоянно используют шифрование, хотя и не всегда знают об этом. Если у вас установлена операционная система Microsoft, то знайте, что Windows хранит о вас (как минимум) следующую секретную информацию:

• пароли для доступа к сетевым ресурсам (домен, принтер, компьютеры в сети и т.п.);

• пароли для доступа в Интернет с помощью DialUр;

• кэш паролей (в браузере есть такая функция — кэшировать пароли, и Windows сохраняет все когда-либо вводимые вами в Интернете пароли);

• сертификаты для доступа к сетевым ресурсам и зашифрованным данным на самом компьютере.

Эти данные хранятся либо в рwl-файле (в Windows 95), либо в SAM-файле (в WindowsNT/2000/XР). Это файл Реестра Windows, и потому операционная система никому не даст к нему доступа даже на чтение. Злоумышленник может скопировать такие файлы, только загрузившись в другую ОС или с дискеты. Утилит для их взлома достаточно много, самые современные из них способны подобрать ключ за несколько часов.

Основные понятия и определения криптографии

Итак, криптография дает возможность преобразовать информацию таким образом, что ее прочтение (восстановление) возможно только при знании ключа.

Перечислю вначале некоторые основные понятия и определения.

Алфавит - конечное множество используемых для кодирования информации знаков.

Текст - упорядоченный набор из элементов алфавита.

В качестве примеров алфавитов, используемых в современных ИС можно привести следующие:

· алфавит Z₃₃ - 32 буквы русского алфавита и пробел;

· алфавит Z₂₅₆ - символы, входящие в стандартные коды ASCII и КОИ-8;

· бинарный алфавит - Z₂ = {0,1};

· восьмеричный алфавит или шестнадцатеричный алфавит;

Шифрование - преобразовательный процесс: исходный текст, который носит также название открытого текста, заменяется шифрованным текстом.

Дешифрование - обратный шифрованию процесс. На основе ключа шифрованный текст преобразуется в исходный.

Ключ - информация, необходимая для беспрепятственного шифрования и дешифрования текстов.

Криптографическая система представляет собой семейство T преобразований открытого текста. xлены этого семейства индексируются, или обозначаются символом k; параметр k является ключом. Пространство ключей K - это набор возможных значений ключа. Обычно ключ представляет собой последовательный ряд букв алфавита.

Криптосистемы разделяются на симметричные и с открытым ключом (или асимметричесские).

В симметричных криптосистемах и для шифрования, и для дешифрования используется один и тот же ключ.

В системах с открытым ключом используются два ключа - открытый и закрытый, которые математически связаны друг с другом. Информация шифруется с помощью открытого ключа, который доступен всем желающим, а расшифровывается с помощью закрытого ключа, известного только получателю сообщения.

Термины распределение ключей и управление ключами относятся к процессам системы обработки информации, содержанием которых является составление и распределение ключей между пользователями.

Электронной (цифровой) подписью называется присоединяемое к тексту его криптографическое преобразование, которое позволяет при получении текста другим пользователем проверить авторство и подлинность сообщения.

Криптостойкостью называется характеристика шифра, определяющая его стойкость к дешифрованию без знания ключа (т.е. криптоанализу). Имеется несколько показателей криптостойкости, среди которых:

· количество всех возможных ключей;

· среднее время, необходимое для криптоанализа.

Преобразование T_k определяется соответствующим алгоритмом и значением параметра k. Эффективность шифрования с целью защиты информации зависит от сохранения тайны ключа и криптостойкости шифра.

Процесс криптографического закрытия данных может осуществляться как программно, так и аппаратно. Аппаратная реализация отличается существенно большей стоимостью, однако ей присущи и преимущества: высокая производительность, простота, защищенность и т.д. Программная реализация более практична, допускает известную гибкость в использовании.

Для современных криптографических систем защиты информации сформулированы следующие общепринятые требования:

· зашифрованное сообщение должно поддаваться чтению только при наличии ключа;

· число операций, необходимых для определения использованного ключа шифрования по фрагменту шифрованного сообщения и соответствующего ему открытого текста,

· должно быть не меньше общего числа возможных ключей;

· число операций, необходимых для расшифровывания информации путем перебора всевозможных ключей должно иметь строгую нижнюю оценку и выходить за пределы возможностей современных компьютеров (с учетом возможности использования сетевых вычислений);

· знание алгоритма шифрования не должно влиять на надежность защиты;

· незначительное изменение ключа должно приводить к существенному изменению вида зашифрованного сообщения даже при использовании одного и того же ключа;

· структурные элементы алгоритма шифрования должны быть неизменными;

· дополнительные биты, вводимые в сообщение в процессе шифрования, должен быть полностью и надежно скрыты в шифрованном тексте;

· длина шифрованного текста должна быть равной длине исходного текста;

· не должно быть простых и легко устанавливаемых зависимостью между ключами, последовательно используемыми в процессе шифрования;

· любой ключ из множества возможных должен обеспечивать надежную защиту информации;

· алгоритм должен допускать как программную, так и аппаратную реализацию, при этом изменение длины ключа не должно вести к качественному ухудшению алгоритма шифрования.

Симметричные и асимметричные криптосистемы

Прежде чем перейти к отдельным алгоритмам, рассмотрим вкратце концепцию симметричных и асимметричных криптосистем. Сгенерировать секретный ключ и зашифровать им сообщение — это еще полдела. А вот как переслать такой ключ тому, кто должен с его помощью расшифровать исходное сообщение? Передача шифрующего ключа считается одной из основных проблем криптографии.

Оставаясь в рамках симметричной системы, необходимо иметь надежный канал связи для передачи секретного ключа. Но такой канал не всегда бывает доступен, и потому американские математики Диффи, Хеллман и Меркле разработали в 1976 г. концепцию открытого ключа и асимметричного шифрования.

В таких криптосистемах общедоступным является только ключ для процесса шифрования, а процедура дешифрования известна лишь обладателю секретного ключа. Например, когда я хочу, чтобы мне выслали сообщение, то генерирую открытый и секретный ключи. Открытый посылаю вам, вы шифруете им сообщение и отправляете мне. Дешифровать сообщение могу только я, так как секретный ключ я никому не передавал. Конечно, оба ключа связаны особым образом (в каждой криптосистеме по-разному), и распространение открытого ключа не разрушает криптостойкость системы.

В асимметричных системах должно удовлетворяться следующее требование: нет такого алгоритма (или он пока неизвестен), который бы из криптотекста и открытого ключа выводил исходный текст.

2.4 Основные современные методы шифрования

Среди разнообразнейших способов шифровании можно выделить следующие основные методы:

• Алгоритмы замены или подстановки — символы исходного текста заменяются на символы другого (или того же) алфавита в соответствии с заранее определенной схемой, которая и будет ключом данного шифра. Отдельно этот метод в современных криптосистемах практически не используется из-за чрезвычайно низкой криптостойкости.

• Алгоритмы перестановки — символы оригинального текста меняются местами по определенному принципу, являющемуся секретным ключом. Алгоритм перестановки сам по себе обладает низкой криптостойкостью, но входит в качестве элемента в очень многие современные криптосистемы.

• Алгоритмы гаммирования — символы исходного текста складываются с символами некой случайной последовательности. Самым распространенным примером считается шифрование файлов «имя пользователя.рwl», в которых операционная система Microsoft Windows 95 хранит пароли к сетевым ресурсам данного пользователя (пароли на вход в NT-серверы, пароли для DialUр-доступа в Интернет и т.д.). Когда пользователь вводит свой пароль при входе в Windows 95, из него по алгоритму шифрования RC4 генерируется гамма (всегда одна и та же), применяемая для шифрования сетевых паролей. Простота подбора пароля обусловливается в данном случае тем, что Windows всегда предпочитает одну и ту же гамму.

• Алгоритмы, основанные на сложных математических преобразованиях исходного текста по некоторой формуле. Многие из них используют нерешенные математические задачи. Например, широко используемый в Интернете алгоритм шифрования RSA основан на свойствах простых чисел.

• Комбинированные методы. Последовательное шифрование исходного текста с помощью двух и более методов.

Алгоритмы шифрования

Рассмотрим подробнее методы криптографической защиты данных, о которых было сказано в предыдущем пункте (п. 2.4).

Алгоритмы замены(подстановки)

В этом наиболее простом методе символы шифруемого текста заменяются другими символами, взятыми из одного- (одно- или моноалфавитная подстановка) или нескольких (много- или полиалфавитная подстановка) алфавита.

Самой простой разновидностью является прямая (простая) замена, когда буквы шифруемого сообщения заменяются другими буквами того же самого или некоторого другого алфавита. Таблица замены может иметь следующий вид(таблица 3.1.1):

Исходные символы шифруе-мого текста

Заменяющие символы

Таблица 3.1.1 Таблица простой замены

Используя эту таблицу, зашифруемтекст: In this book the reader will find a comрrehensive survey... Получим следующее зашифрованное сообщение: At omiy рbbe omr nrsirn fadd zail s xbwgnrmrtjafr jcnfru... Однако такой шифр имеет низкую стойкость, так как зашифрованный текст имеет те же статистические характеристики, что и исходный. Например, текст на английском языке содержит символы со следующими частотами появления (в порядке убывания): Е — 0,13, Т — 0,105, А — 0,081, О — 0,079 и т.д. В зашифрованном тексте наибольшие частоты появления в порядке убывания имеют буквы R — 0,12, O — 0,09, A и N по 0,07.

Естественно предположить, что символом R зашифрована буква Е, символом О — буква Т и т.д. Это действительно соответствует таблице замены. Дальнейшая расшифровка не составляет труда.

Если бы объем зашифрованного текста был намного больше, чем в рассмотренном примере, то частоты появления букв в зашифрованном тексте были бы еще ближе к частотам появления букв в английском алфавите и расшифровка была бы еще проще. Поэтому простую замену используют редко и лишь в тех случаях, когда шифруемый текст короток.

Для повышения стойкости шрифта используют полиалфавитные подстановки, в которых для замены символов исходного текста используются символы нескольких алфавитов. Известно несколько разновидностей полиалфавитной подстановки, наиболее известными из которых являются одно- (обыкновенная и монофоническая) и многоконтурная.

При полиалфавитной одноконтурной обыкновенной подстановке для замены символов исходного текста используется несколько алфавитов, причем смена алфавитов осуществляется последовательно и циклически, т.е. первый символ заменяется соответствующим символом первого алфавита, второй — символом второго алфавита и т.д., пока не будут использованы все выбранные алфавиты. После этого использование алфавитов повторяется.

Схема шифрования Вижинера. Таблица Вижинера представляет собой квадратную матрицу с n² элементами, где n — число символов используемого алфавита. На Рис.3.1.2 показана верхняя часть таблицы Вижинера для кириллицы. Каждая строка получена циклическим сдвигом алфавита на символ. Для шифрования выбирается буквенный ключ, в соответствии с которым формируется рабочая матрица шифрования.

И т.д. до 33-ей строки..

Рис. 3.1.2 Таблица Вижинера

Осуществляется это следующим образом. Из полной таблицы выбирается первая строка и те строки, первые буквы которых соответствуют буквам ключа. Первой размещается первая строка, а под нею — строки, соответствующие буквам ключа в порядке следования этих букв в ключе шифрования. Пример такой рабочей матрицы для ключа «книга» приведен на Рис. 3.1.3.

Процесс шифрования осуществляется следующим образом:

Рис. 3.1.3 Рабочая матрица шифрования для ключа «книга».

1. под каждой буквой шифруемого текста записываются буквы ключа. Ключ при

этом повторяется необходимое число раз.

2. каждая буква шифруемого текста заменяется по подматрице буквами находящимися на пересечении линий, соединяющих буквы шифруемого текста в первой строке подматрицы и находящимися под ними букв ключа.

3. полученный текст может разбиваться на группы по несколько знаков.

Пусть, например, требуется зашифровать сообщение: максимально допустимой ценой является пятьсот руб. за штуку. В соответствии с первым правилом записываем под буквами шифруемого текста буквы ключа. Получаем:

максимально допустимой ценой является пятьсот руб. за штуку

книгакнигак нигакнигак нигак нигакниг акнигак ниг ак нигак

Дальше осуществляется непосредственное шифрование в соответствии со вторым правилом, а именно: берем первую букву шифруемого текста (М) и соответствующую ей букву ключа (К); по букве шифруемого текста (М) входим в рабочую матрицу шифрования и выбираем под ней букву, расположенную в строке, соответствующей букве ключа (К),— в нашем примере такой буквой является Ч; выбранную таким образом букву помещаем в зашифрованный текст. Эта процедура циклически повторяется до зашифрования всего текста.

Эксперименты показали, что при использовании такого метода статистические характеристики исходного текста практически не проявляются в зашифрованном сообщении. Нетрудно видеть, что замена по таблице Вижинера эквивалентна простой замене с циклическим изменением алфавита, т.е. здесь мы имеем полиалфавитную подстановку, причем число используемых алфавитов определяется числом букв в слове ключа. Поэтому стойкость такой замены определяется произведением стойкости прямой замены на число используемых алфавитов, т.е. число букв в ключе.

Расшифровка текста производится в следующей последовательности:

1. над буквами зашифрованного текста последовательно надписываются буквы ключа, причем ключ повторяется необходимое число раз.

2. в строке подматрицы Вижинера, соответствующей букве ключа отыскивается буква, соответствующая знаку зашифрованного текста. Находящаяся под ней буква первой строки подматрицы и будет буквой исходного текста.

3. полученный текст группируется в слова по смыслу.

Нетрудно видеть, что процедуры как прямого, так и обратного преобразования являются строго формальными, что позволяет реализовать их алгоритмически. Более того, обе процедуры легко реализуются по одному и тому же алгоритму.

Одним из недостатков шифрования по таблице Вижинера является то, что при небольшой длине ключа надежность шифрования остается невысокой, а формирование длинных ключей сопряжено с трудностями.

Нецелесообразно выбирать ключи с повторяющимися буквами, так как при этом стойкость шифра не возрастает. В то же время ключ должен легко запоминаться, чтобы его можно было не записывать. Последовательность же букв не имеющих смысла, запомнить трудно.

С целью повышения стойкости шифрования можно использовать усовершенствованные варианты таблицы Вижинера. Приведу только некоторые из них:

· во всех (кроме первой) строках таблицы буквы располагаются в произвольном порядке.

· В качестве ключа используется случайность последовательных чисел. Из таблицы Вижинера выбираются десять произвольных строк, которые кодируются натуральными числами от 0 до 10. Эти строки используются в соответствии с чередованием цифр в выбранном ключе.

Известны также и многие другие модификации метода.

Алгоритм перестановки

Этот метод заключается в том, что символы шифруемого текста переставляются по определенным правилам внутри шифруемого блока символов. Рассмотрим некоторые разновидности этого метода, которые могут быть использованы в автоматизированных системах.

Самая простая перестановка — написать исходный текст задом наперед и одновременно разбить шифрограмму на пятерки букв. Например, из фразы

ПУСТЬ БУДЕТ ТАК, КАК МЫ ХОТЕЛИ.

получится такой шифротекст:

ИЛЕТО ХЫМКА ККАТТ ЕДУБЪ ТСУП

В последней группе (пятерке) не хватает одной буквы. Значит, прежде чем шифровать исходное выражение, следует его дополнить незначащей буквой (например, О) до числа, кратного пяти:

ПУСТЬ-БУДЕТ-ТАККА-КМЫХО-ТЕЛИО.

Тогда шифрограмма, несмотря на столь незначительные изменения, будет выглядеть по-другому:

ОИЛЕТ ОХЫМК АККАТ ТЕДУБ ЬТСУП

Кажется, ничего сложного, но при расшифровке проявляются серьезные неудобства.

Во время Гражданской войны в США в ходу был такой шифр: исходную фразу писали в несколько строк. Например, по пятнадцать букв в каждой (с заполнением последней строки незначащими буквами).

П У С Т Ь Б У Д Е Т Т А К К А

К М Ы Х О Т Е Л И К Л М Н О П

После этого вертикальные столбцы по порядку писали в строку с разбивкой на пятерки букв:

ПКУМС ЫТХЬО БТУЕД ЛЕИТК ТЛАМК НКОАП

Если строки укоротить, а количество строк увеличить, то получится прямоугольник-решетка, в который можно записывать исходный текст. Но тут уже потребуется предварительная договоренность между адресатом и отправителем посланий, поскольку сама решетка может быть различной длины-высоты, записывать к нее можно по строкам, по столбцам, по спирали туда или по спирали обратно, можно писать и по диагоналями, а для шифрования можно брать тоже различные направления. В общем, здесь масса вариантов.

Алгоритм гаммирования

Суть этого метода состоит в том, что символы шифруемого текста последовательно складываются с символами некоторой специальной последовательности, которая называется гаммой. Иногда такой метод представляют как наложение гаммы на исходный текст, поэтому он получил название «гаммирование».Процедуру наложения гаммы на исходный текст можно осуществить двумя способами. При первом способе символы исходного текста и гаммы заменяются цифровыми эквивалентами, которые затем складываются по модулю k, где k — число символов в алфавите, т.е.

R_i= (S_i+ G) mod (k –1),

где R_i, S_i, G — символы соответственно зашифрованного, исходного текста и гаммы.

Рис. 3.3.1 Пример шифрования гаммированием

При втором методе символы исходного текста и гаммы представляются в виде двоичного кода, затем соответствующие разряды складываются по модулю 2. Вместо

сложения по модулю 2 при гаммировании можно использовать и другие логические операции, например преобразование по правил логической эквивалентности и неэквивалентности.

Шифруемый текст	Б	У	Д	Ь …

Знаки гаммы				2 …

Шифрованный текст

Такая замена равносильна введению еще одного ключа, который является выбор правила формирования символов зашифрованного сообщения из символов исходного текста и гаммы(Рис 3.3.1).

Стойкость шифрования методом гаммирования определяется главным образом свойством гаммы — длительностью периода и равномерностью статистических характеристик. Последнее свойство обеспечивает отсутствие закономерностей в появлении различных символов в пределах периода.

Обычно разделяют две разновидности гаммирования — с конечной и бесконечной гаммами. При хороших статистических свойствах гаммы стойкость шифрования определяется только длинной периода гаммы. При этом, если длина периода гаммы превышает длину шифруемого текста, то такой шифр теоретически является абсолютно стойким, т.е. его нельзя вскрыть при помощи статистической обработки зашифрованного текста. Это, однако, не означает, что дешифрование такого текста вообще невозможно: при наличии некоторой дополнительной информации исходный текст может быть частично или полностью восстановлен даже при использовании бесконечной гаммы.

В качестве гаммы может быть использована любая последовательность случайных символов, например, последовательность цифр числа p и т.п. При шифровании с помощью, например, аппаратного шифратора последовательность гаммы может формироваться с помощью датчика псевдослучайных чисел (ПСЧ). В настоящее время разработано несколько алгоритмов работы таких датчиков, которые обеспечивают удовлетворительные характеристики гаммы.

3.4 Алгоритмы, основанные на сложных математических преобразованиях

Алгоритм RSA

Алгоритм RSA (по первым буквам фамилий его создателей Rivest-Shamir-Adleman) основан на свойствах простых чисел (причем очень больших). Простыми называются такие числа, которые не имеют делителей, кроме самих себя и единицы. А взаимно простыми называются числа, не имеющие общих делителей, кроме 1.

Для начала выберем два очень больших простых числа (большие исходные числа нужны для построения больших криптостойких ключей. Например, Unix-программа ssh-keygen по умолчанию генерирует ключи длиной 1024 бита).Определим параметр n как результат перемножения р и q. Выберем большое случайное число и назовем его d, причем оно должно быть взаимно простым с результатом умножения (р -1)*(q -1). Отыщем такое число e, для которого верно соотношение

(e*d) mod ((р -1) *(q -1)) = 1

(mod — остаток от деления, т. е. если e, умноженное на d, поделить на ((р -1) *(q -1)), то в остатке получим 1).

Открытым ключом является пара чисел e и n, а закрытым — d и n. При шифровании исходный текст рассматривается как числовой ряд, и над каждым его числом мы совершаем операцию

C(i)= (M(i)^e) mod n.

В результате получается последовательность C(i), которая и составит криптотекст. Декодирование информации происходит по формуле

M(i) = (C(i)^d) mod n.

Как видите, расшифровка предполагает знание секретного ключа.

Давайте попробуем на маленьких числах. Установим р=3, q=7. Тогда n=р*q=21. Выбираем d как 5. Из формулы (e*5) mod 12=1 вычисляем e=17. Открытый ключ 17, 21, секретный — 5, 21.

Зашифруем последовательность «2345»:

C(2)= 2¹⁷mod 21 =11

C(3)= 3¹⁷ mod 21= 12

C(4)= 4¹⁷mod 21= 16

C(5)= 5¹⁷ mod 21= 17

Криптотекст — 11 12 16 17.

Проверим расшифровкой:

M(2)= 11⁵ mod 21= 2

M(3)= 12⁵ mod 21= 3

M(4)= 16⁵ mod 21= 4

M(5)= 17⁵ mod 21= 5

Как видим, результат совпал.

Криптосистема RSA широко применяется в Интернете. Когда вы подсоединяетесь к защищенному серверу по протоколу SSL, устанавливаете на свой ПК сертификат WebMoney либо подключаетесь к удаленному серверу с помощью Oрen SSH или SecureShell, то все эти программы применяют шифрование открытым ключом с использованием идей алгоритма RSA. Действительно ли эта система так надежна?

С момента своего создания RSA постоянно подвергалась атакам типа Brute-forceattack (атака методом грубой силы, т. е. перебором). В 1978 г. авторы алгоритма опубликовали статью, где привели строку, зашифрованную только что изобретенным ими методом. Первому, кто расшифрует сообщение, было назначено вознаграждение в размере 100 долл., но для этого требовалось разложить на два сомножителя 129-значное число. Это был первый конкурс на взлом RSA. Задачу решили только через 17 лет после публикации статьи.

Криптостойкость RSA основывается на том предположении, что исключительно трудно, если вообще реально, определить закрытый ключ из открытого. Для этого требовалось решить задачу о существовании делителей огромного целого числа. До сих пор ее аналитическими методами никто не решил, и алгоритм RSA можно взломать лишь путем полного перебора. Строго говоря, утверждение, что задача разложения на множители сложна и что взлом системы RSA труден, также не доказано.

Компания RSA (httр://www.rsa.ru) регулярно проводит конкурсы на взлом собственных (и не только собственных) шифров. Предыдущие конкурсы выиграла организация Distributed.net (httр://www.distributed. net /), являющаяся Интернет-сообществом добровольцев.

Участники Distributed.net загружают к себе на ПК небольшую программу-клиент, которая подсоединяется к центральному серверу и получает кусочек данных для вычислений. Затем все данные загружаются на центральный сервер, и клиент получает следующий блок исходной информации. И так происходит до тех пор, пока все комбинации не будут перебраны. Пользователи, участники системы, объединяются в команды, а на сайте ведется рейтинг как команд, так и стран. Например, участвующей в конкурсе по взлому RC5-64 (блочный шифр компании RSA, использующий ключ длиной 64 бита) организации Distributed.net удалось осуществить взлом через пять лет (1757 дней) работы. За это время в проекте участвовали 327 856 пользователей и было перебрано 15 268 315 356 922 380 288 вариантов ключа. Выяснилось, что была (не без юмора) зашифрована фраза «some thingsarebetterleftunread» («некоторые вещи лучше оставлять непрочтенными»). Общие рекомендации по шифру RC5-64 таковы: алгоритм достаточно стоек для повседневных нужд, но шифровать им данные, остающиеся секретными на протяжении более пяти лет, не рекомендуется».