Основні поняття і визначення. Тема № 3-4. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

ЛЕКЦІЯ № 3

 

Тема № 3-4. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

з навчальної дисципліни Лінійна алгебра та аналітична геометрія

напряму підготовки УПРАВЛІННЯ ІНФОРМАЦІЙНОЮ БЕЗПЕКОЮ

освітньо-кваліфікаційного рівня БАКАЛАВР

Лекція розроблена

Кандидатом фізико-математичних наук Жихарєвою Ю.І.

Навчальна та виховна мета:

 

1. Студенти повинні знати теоретичні питання з теми «Системи лінійних алгебраїчних рівнянь»: означення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, поняття розв’язку СЛАР; алгоритми розв’язання СЛАР різними методами.

2. Студенти повинні вміти розв’язувати СЛАР різними методами.

3.Розвиток мислення студентів, залучення до вивчення математики, як необхідної складової фахівця технічного університету

 

 

План.

1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Основні поняття і означення.

2. Розв’язання СЛАР методом Крамера.

3. Розв’язання СЛАР матричним методом.

4. Розв’язання СЛАР методом Гаусса.

 

 

ЛІТЕРАТУРА:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів. – К.: ЦУЛ, 2002 – 401 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – Москва: Наука, – 1988 – 240 с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч 1-2. Москва.: Высшая школа, 1986.

4. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика. Практикум. - К.:ЦУЛ, 2003 – 536 с.

5. Овчинніков П.Ф., Яремчик Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика. – К.: Техніка, ч.І 596 с., ч.ІІ 792 с., 2000.

 

 

Конспект лекції

 

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).

Основні поняття і визначення

В шкільному курсі алгебри розглядувались тільки системи лінійних рівнянь, в яких кількість рівнянь дорівнювала кількості невідомих і ця кількість, як правило, не перевищувала 3. До систем лінійних алгебраїчних рівнянь з більшою кількістю невідомих зводяться багато прикладних задач (техніки та економіки). Зокрема, за допомогою систем лінійних алгебраїчних рівнянь проводять розрахунок складних електричних ланцюгів.

Наша мета - навчитися оперувати з системами лінійних алгебраїчних рівнянь самого загального вигляду з довільною кількістю рівнянь і довільною кількістю невідомих.

Означення. Системою лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), що містить m рівнянь і n невідомих, називається система вигляду:

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + ^... + а_1n х_n = b_1,

а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ + ^... + а_2n х_n = b_2, (1)

^{.....................................}

а_m1 х₁ + а_m2 х₂ + ^... + а_mn х_n = b_m.

 

 

де m і n – довільні цілі додатні числа, а_іj , і = 2,1,..., m, j = 1,2,...,n – дійсні числа, що називаються коефіцієнтами системи, b _j, j = 1,2,... m – дійсні числа, що називаються вільними членами рівнянь системи. Перший індекс у коефіцієнта вказує номер рівняння, другий – номер невідомого, при якому знаходиться даний коефіцієнт.

Кількість рівнянь m ніяк не зв’язана з кількістю невідомих nожливі випадки m = n, m > n, m < n.

Означення. Розв’язком СЛАР (1) називається набір з n чисел λ₁,λ₂,...,λ_n такий, що після заміни невідомих Х₁,Х₂,..., Хn числами λ₁,λ₂,...,λ_n кожне з рівнянь системи (1) перетворюється на тотожність.

Якщо набір λ₁,λ₂,...,λ_n є розв’язком СЛАР (1),то кажуть,що він задовольняє системі (1).

Існують системи з єдиним розв’язком і з кількістю розв’язків більше одного, що не мають розв’язків.

Означення. Система лінійних алгебраїчних рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок. Система називається несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.

Означення. Сумісна система, що має єдиний розв’язок, називається визначеною. Сумісна система, що має більш одного розв’язку, називається невизначеною.

Вираз “ розв’язати СЛАР “ означає визначити чи сумісна вона чи не сумісна, у випадку сумісності знайти всі розв’язки.

В теорії СЛАР розробляються методи, що дозволяють розв’язати будь- яку систему ЛАР.

Визначення. Дві СЛАР з однаковими невідомими х₁,х₂ ,..., х_n називаються еквівалентними, якщо вони обидві або сумісні або несумісні, або сумісні і множини їх розв’язків співпадають.

Зауваження. Еквівалентні СЛАР необов’язково мають одинакову кількість рівнянь. Зокрема, система рівнянь може бути рівносильна одному рівнянню.

Еквівалентні системи дістають, зокрема, за допомогою елементарних перетворень даної системи. Елементарні перетворення системи ЛАР відповідають елементарним перетворенням матриці за умови, що вони виконуються лише над рядками матриці.

 

2. Розв’язування СЛАР методом Крамера.

 

Нехай задано систему ЛАР, в якій кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих m = n.

Складемо з коефіцієнтів цієї системи визначник ∆. Він називається визначником системи.

Теорема. Якщо в системі лінійних симетричних рівнянь кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих і визначник матриці системи ∆ відмінний від 0, то ця система має єдиний розв’язок, який може бути знайдений за формулами:

 

х₁ = , х₂= , …, х_n ; (1)

де визначники ∆₁, ∆₂, ^…. ∆_n отримані з визначника ∆ заміною відповідного стовпця стовпцем вільних членів.

 

З теореми Крамера випливає:

1) Якщо визначник матриці системи ∆ = 0, то система може або взагалі не мати розв’язків, або мати їх нескінченну множину.

2)Якщо визначник матриці системи ∆ = 0 і хоча б один з визначників ∆₁, ∆₂ , ^… , ∆n відрізняється від 0, то система несумісна, тобто не має розв’язків.

3) Якщо визначник матриці системи ∆ = 0 і визначники ∆₁= ∆₂ = ^… = ∆n = 0, то система або несумісна, або невизначена, тобто має нескінченну множину розв’язків.

Метод розв’язування системи ЛАР за теоремою Крамера називається методом Крамера. Формули (1) називаються формулами Крамера.

Приклад. Розв’язати систему методом Крамера.

Розв’язання. а) Обчислимо визначник системи

;

Оскільки , то система має єдиний розв’язок, який можна знайти за правилом Крамера. Запишемо і обчислимо визначники:

;

;

,

звідси

; ;

 

Відповідь: