Дифференциальная формулировка закона сохранения заряда

2012.

Интегральные характеристики систем заряженных частиц

Полный заряд системы

Замечание. Механическая аналогия: заряд – аналог массы, плотность заряда – аналог плотности массы. Аналогия особенно понятна, если речь идет о зарядах одного знака.

Закон сохранения заряда

Обоснования закона сохранения заряда.

1.Электрон и протон являются материальными частицами с бесконечным временем жизни; их элементарные электрические заряды инвариантны и не зависят от скорости. В этом аспекте закон сохранения заряда является просто следствием неуничтожимости носителей заряда как физических объектов и инвариантности заряда.

2. Кроме протонов и электронов существует большое число других заряженных элементарных частиц. Все они порождаются, порождают другие частицы и уничтожаются в различных процессах взаимопревращений. Каков бы ни был процесс взаимопревращения частиц, суммарный заряд частиц до взаимопревращения равен суммарному заряду частиц после взаимопревращения. Заряд сохраняется при всех процессах и движениях, связанных с носителями зарядов.

Закон сохранения заряда установлен опытным путем.

Полный заряд замкнутой24 системы, т.е. алгебраическая сумма зарядов всех входящих в систему тел, во времени не изменяется:

Этот закон выполняется даже тогда, когда (внутри системы) происходит рождение или уничтожение элементарных частиц25 [2, с.197].

В неизолированной системе изменение заряда определяется только токами, текущими из системы или в систему. Поэтому изменение величины заряда Q в любом объеме V пространства в единицу времени равно по величине и противоположно по знаку силе тока через поверхность S, ограничивающую объем V. Математическая формула закона сохранения имеет вид26 [9, с.30]:

или

(1)

Знак минус учитывает, что если положительный заряд внутри замкнутого объема уменьшается, то плотность тока направлена из объема наружу27.

 

Дифференциальная формулировка закона сохранения заряда

Будем полагать, что к интегралу в правой части (1) может быть применена теорема Остроградского-Гаусса (ее условия строго сформулируем позднее; они выполняются в большинстве физически реальных ситуаций). Тогда

.

Положение и форма объема не меняются во времени. Поэтому производную по времени в левой части равенства можно внести под знак интеграла. При этом полную производную следует заменить частной. Действительно, , при этом положение точки наблюдения не зависит от . Имеем:

(2)

Так как - произвольный объем, интегральное равенство (2) эквивалентно дифференциальному равенству:

или (3)

Соотношение (3) называется уравнением непрерывности тока зарядов, оно выражает закон сохранения заряда в каждой точке пространства.

Закон сохранения заряда в форме (3) имеет следующий смысл: суммарная плотность положительных и отрицательных зарядов

изменяется только за счет их прихода или ухода из объема . По отдельности положительные и отрицательные заряды не производятся в каких-либо точках пространства и соответственно не уничтожаются.

При стационарном распределении зарядов и , т.е. имеет место движение зарядов лишь с замкнутыми линиями плотности тока. В случае точечных зарядов траектории движения являются замкнутыми кривыми. Более подробно поговорим об этом в теме «Элементы векторного анализа».

 

 

Электрический (дипольный) момент системы зарядов определяется интегралом

, (4)

где и - заряд и радиус-вектор элементарных частиц, находящихся в объеме в момент времени .

 

Замечание 1. Формула (4) определяет электрический момент относительно начала координат. Электрический момент относительно точки :

.

 

Замечание 2. Обычно мы считаем, что объемная плотность заряда определена во всем пространстве. Если в некоторой области нет зарядов, то в этой области . Поэтому определение электрического момента системы зарядов (относительно начала координат) в общем случае имеет вид

. (4+)

Позднее мы увидим, что формула (4+) годится и для случая точечных зарядов.

 

Для простейшей электрически нейтральной системы, состоящей из двух точечных зарядов и эта величина равна

,

где - вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному .

 

Рис. 1

 

Диполь. Система двух одинаковых по величине, но противоположных по знаку зарядов называется диполем или биполем (двухполюсной системой), а - плечом диполя. При этом заряды не обязательно являются точечными, и если они не точечные, и - радиус-векторы электрических центров зарядов, образующих диполь (см формулу (4++)).

 

Важно: суммарный заряд системы , основной характеристикой системы является электрический момент .

 

Электрический момент системы зарядов часто называют дипольным моментом.

 

Отметим, что для электрически нейтральной системы зарядов, находящихся в объеме ,

(функция знакопеременная).

 

Упражнение. Показать, что при выполнении условия величина не зависит от выбора начала координат.

 

Точечный диполь. Пусть размеры заряженных тел, образующих диполь, и расстояние между ними (плечо диполя) малы по сравнению с расстоянием от точки наблюдения до центра диполя. (Другими словами, последнее расстояние так велико, что в условиях рассматриваемой задачи два противоположных заряда можно считать слившимися в одну точку.) В этом случае диполь называется точечным.

Точечному диполю приближенно соответствует следующее распределение зарядов: два точечных заряда, одинаковых по величине и противоположных по знаку, расстояние между которыми стремится к нулю при сохранении дипольного момента постоянным. Пример такой системы зарядов изображен на рисунке 2. Здесь .

 

Рис. 2.

 

Переходя здесь к пределу при , получим точечный диполь с электрическим моментом , расположенный в точке с радиус-вектором .

 

Замечание 3. Если система зарядов содержит заряды одного знака, то электрический момент позволяет найти радиус-вектор центра распределения заряда (электрического центра системы зарядов):

. (4++)

(Аналогия с центром масс в механике).

Если система содержит заряды разных знаков, то находят (для положительных зарядов), (для отрицательных зарядов).

 

 

Магнитный момент системы зарядов, движущихся в объеме (объемно-распределенных токов), определяется интегралом:

, (5)

где , , - заряд, скорость и радиус-вектор элементарных частиц, находящихся в объеме в момент времени .

 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------