Тема 3. Основы теории вероятности

Теория вероятностей и математическая статистика

Практические работы.

______________________________________________________

Тема 2. Комбинаторика

1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра в запись числа входит только один раз?

Решение. Искомое число трехзначных чисел Р=3!=2-3 = 6.

2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по два?

Решение. Искомое число сигналов М =6-5 = 30.

3. 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Ответ: Искомое число способов С= 45.

4. 4. Их села N в село D ведет k дорог, а из села D в село Q ведет s дорог. Сколько существует различных способов поездки из села N в cело Q.

5. Имеется по 10 различных конвертов, открыток и марок. Сколькими способами можно составить комплект: конверт, марка, открытка?

6. Сколько необходимо издать словарей для перевода с одного языка на другой для 10 языков.

7. Из колоды в 36 карт составляется пара черная – красные масти. Сколькими способами это можно сделать.

8. Из колоды в 36 карт вытаскивается одна карта. Какова вероятность того, что вытащенная карта туз

9. Из колоды в 36 карт вытаскивается две карты подряд. Какова вероятность того, что первая ката будет дама, вторая – туз?

10.Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков четная.

Решение. Всего возможных вариантов равно 6·6=36. Благоприятствующие исходы наступят при выпадение следующих пар очков: 2-2, 2-4, 2-6, 4-2, 4-4, 4-6, 6-2, 6-4, 6-6. Всего получилось 9 таких вариантов. р=9/36=1/4=0,25

11.В группе 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобрали 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажется 3 женщины.

Ответ: Р=(С₄³ · С₆⁴ ) / С₁₀⁷ =0,5

12.В группе спортсменов находится 7 человек перворазрядников и 3 второго разряда по шахматам. Наудачу отбирают поочередно троих человек Какова вероятность того, что все отобранные лица будут спортсмены первого разряда.

Ответ: Р= 7/10 · 6/9 · 5/8 = 7/24

13. Сколькими способами можно рассадить 5 человек на одной скамейке.

14.Сколькими способами можно выбрать из 20 человек 10 человек для участии в олимпиаде по информатике?

15.Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,5,:6 если: а) цифры не повторяются, б) если цифры повторяются.

16.Сколькими различными способами можно выбрать несколько буква из фразы: "Око за око, зуб за зуб". Решение. Буква "о" входить 4 раза. Ее можно выбрать 4 раза или ни разу, потному для этой буквы существует 5 способов выбора. Аналогично для буквы "л" – 3 способа и т.д. 5·3·5·3·3·3=2025.

Тема 3. Основы теории вероятности

Задания 3-4. Вычислить вероятности. Задачи [1, C 30-31]

 

I. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окра­шенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной. Отв. р = 0,1.

2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпа­дет четное число очков. Отв. р = 0,5.

1. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 др 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5. Отв. р = 0.81.

2. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположен­ных «в одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт». Отв. р= 1/120.

3. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна нз следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно переме­шаны. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «трос». Отв. р=1/Л1= 1/360.

4. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу куби­ков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик, будет иметь окрашенные грани: а) одну; б) две; в) три. Отв. а) 0,384; б) 0,096; в) 0,008.

5. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость: а) оказалась дублем; б) не есть дубль. Отв. а) 2/9; б) 4/9.

6. В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероят­ность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть. Отв. р=1/6⁵.

7. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги ока­жутся поставленными рядом. Отв. р = 7.2!-6!/8! = 1/4.

8. Библиотечка состоит нз десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги — по одному рублю н две книги — по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей. Отв. p = Cj.Cj/C?₀:=l/3.

9. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обна­ружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

10. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов. Отв. 102 попадания.

11. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу постав­лена точка В(х), Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, меньшую, чем L/3. Предполагается, что веро­ятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. Отв. р = 2/3.

12. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в к руг квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в квад­рат пропорциональна площади квадрата и не зависит от его распо­ложения относительно круга. Отв. р = 2/я.

13. Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 н 13 часами дня. Пришедший пер­вым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти веро­ятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

Указание. Ввести в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу и принять для простоты, что встреча должна состо­яться между 0 и 1 часами.

Отв. Возможные значения координат: 0<х<1, 0 <y<!; благоприятствующие встрече значения координат: \у—х\< 1/4; P = 7/16.

 

Тема 4. Алгебра событий

Задания 4-15.

1. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы.

Ответ. а) Р_в (4) = 0,246; б) Р„(6) = 0,26; в) Р„ (0) = 0,000064.

2. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти не­зависимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.

Ответ. Р=1 - [Р₅(0) + Р_В(1)] = 0,472.

3. Событие В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4.

Ответ. Р=1 - [Р_в (0) + Р_в (1)] = 0,767.

4. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза.

Ответ. Р=1-[Р₈(0) + Р₈< 1)1=0.19.

5. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб вы­падет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

Ответ. a)P = P_e(0)-r-P_e(l) = 7/64;6)Q = I-(P_e(0)+P_e(l)] = 57/64.

6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия р = 0,9.Найти вероятность того, что цель будет поражена, если сде­лано два выстрела.

Указание. Воспользоваться формулами Бернулли и полной вероятности.

7. Найти приближенно вероятность того, что при 400 испытания» событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Ответ. Р₄₀₀(104) =0,0006.

8. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень. будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

Ответ. а) Р1₀₀(70,80) = 2Ф(1,15)=0,7498;

б) Рюо(0: 70)=- Ф(1,15) + 0,5 = 0,1251.

9. Вероятность появления события в каждом из 10000 независи­мых испытаний р=0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсо­лютной величине не более чем на 0,001.

Ответ. Р = 2Ф(0,23) = 0,182.

10. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях.

Ответ. е=0,00967.

П. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появле­ний герба от вероятности р = 0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01?

Ответ. «= 1764.

Тема 5. Случайные дискретные величины (ДСВ)

Задание 5-1. Найти закон распределения

1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгры­вается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по I руб. Найти закон распределения случайной величины X - стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Xi			О
Рi	0,01	0,1	0,89

Решение. Напишем возможные значения X: х₁=50, x₂= I, x₃ = 0. Вычислим соответствующие им вероятности. Всего было 100 билетов, среди них один билет в 50 рублей, поэтому р₁ = 1/100=0,01 и 10 билетов по 1 рублю, значит р₂ = 10/100=0,1, p₃=l- (0,01 + 0,1) = 0,89.

Ответ Закон распределения: записан в виде таблицы

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

Ответ:
Xi	Нет выигрыша	Книга	Игрушка	Открытка
Pi	0,9889	0,01	0,001	0,0001

2. В новогодней школьной лотереи лотерее разыгрывается 1 книга, 10 игрушек, 100 открыток. Найти закон распределения случайной величины X для владельца одного билета.

Задание 5-2. Найти закон распределения случайной величины по формуле Бернулли.

1. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X - числа выпадений "герба".

Ответ
X
p	0,25	0,5	0,25

Решение. Вероятность появления "герба" в каждом бросании монеты р=1/2, следовательно, вероятность не появления герба 9=1-1/2 = 1/2.

При двух бросаниях монеты "герб" может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X: 0,1,2.. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли. Контроль: 0,25+0,5+0,25=1.

2. По мишени проводится 4 выстрела с вероятностью попадания 0,8. Найти закон распределения случайной величины Х – число попаданий в мишень.

Решение. Возможные значения случайной величины х=0,1,2,3,4. Всего 5 значений. соответствующие им вероятности находятся по формуле Бернулли: р₀ =С₄⁰·0,8⁰·0,2⁴=0,0016. Аналогично находятся остальные вероятности.

Ответ:
Xi
Pi	0,0016	0,0256	0,0536	0,4096	0,4096

1. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По условию, р =0,6, q = 0,4, k = 3.

Ответ. Р= q^k-1p=0,4²·0,6=0,096

Задание 5-5. Распределение случайной дискретной величины

1. Даны значения случайной величины 2, 5, 8. Известны вероятности первых двух возможных зна­чений 0,4 и 0,15. Найти вероятность третьего значения p(х_а). Ответ 0,45.

2. Игральный кубик брошен 3 раза. Написать закон распреде­ления числа появлений шестерки.

Ответ. X 3 2 1 0

р 1/216 15/216 75/216 125/216

3. Составить закон распределения вероятностей числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появ­ления события в каждом испытании равна 0,6.

Ответ. А 0 1 2 3

р 0,064 0,288 0,432 0,216

4. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,004. Найти вероят­ность того, что в течение 1 мин обрыв произойдет на пяти веретенах. Ответ. Р₁₀₀₀(5)=0,1562.

5. Найти среднее число опечаток на странице рукописи, если вероятность того, что страница рукописи содержит хотя бы одну опечатку, равна 0,95. Предполагается, что число опечаток распре­делено по закону Пуассона.

Комментарии. Задача сводится к отысканию параметра λ. Он находится из уравнения е^--λ = 0,05. Ответ. 3.

6. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероят­ность того, что в течение 1 мин абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какова вероятность того, что в одну минуту позвонят 3 абонента? 4 абонента? Ответ. Р₁₀₀(3) = 0,18; Р₁₀₀ (4) =0,09.

7. Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содер­жит 1000 опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит: а) хотя бы одну опечатку; б) ровно 2 опечатки; в) не менее двух опечаток. Предполагается, что число опечаток рас­пределено по закону Пуассона. Ответ. а) Р=1- е-^1!= 0,6321; 6) Р₁₀₀₀ (2) = 0,18395; в) Р = 0,2642.

8. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин, равно 5. Найти вероятность того, что за 2 мин поступит; а) два вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Комментарии: е^-10 = 0,000045. Ответ. а) 0,00225; б) 0,000495; в) 0,999505.

9. Производится бросание игральной кости до первого выпадения шести очков. Найти вероятность того, что первое выпадение "шес­терки" произойдет при втором бросании игральной кости. Ответ. Р(х=2) = 5/36.

10. В партии из 12 деталей имеется 8 стандартных. Найти вероят­ность того, что среди 5 взятых наудачу деталей окажется 3 стандартных. Ответ. P(х=3) = 14/33.

Задание 5-6. Выполнить задания, используя свойства математического ожидания.

1. Независимые случайные величины X и У заданы следующими законами распределения:

X 5 2 4 Y 7 9

р 0,6 0,1 0,3 р 0,8 0,2

Найти математическое ожидание случайной величины XY.и X+Y

Решение. М(Х) = 4.4; М (Y)= 7,4; M(XY)=4,4·7,4=32,56;

M(X+Y) = 4,4+7,4=11,8

2. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р₁ = 0,4; р_а = 0,3 и р_а = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение. Число попаданий при первом выстреле есть слу­чайная величина Xi, которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью Pi = 0,4 и 0 (промах) с вероятностью 0=1-0,4 = 0,6.

Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания, М(Х₁)= 0,4. Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах: М(Х₂)=0,3, М (X₃) = 0.6.

Общее число попаданий есть также случайная величина, состоя­щая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов:

Математическое ожидание находим по теореме о мате­ матическом ожидании суммы:

М (X) = М(Х_г + X_z + Х_я) = М ( Х₁) + М (Х₂) + М (Х₃) =.0,4+0,3 + 0,6 = 1,3 (попаданий).

3. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через X и на второй - через Y. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6, причем вероят­ность каждого из этих значений равна 1/6.

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на каждой кости:

M(X) = М (У) = 1·1/6 + 2·6 +3·1/6 +4·6+5·6+5·6= 7/2.

Искомое математическое ожидание М (X + Y) = М (X) + М (У) = 7/2 + 7/2 = 7.

Замечание. При проведении независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события одинаковая, математическое ожидание равно произведению числа таковых испытаний на эту вероятность.

Задание 5-7. Найти математическое ожидание независимых испытаний

1. Произведено 10 выстрелов. Вероятность попадания каждого – 0,6. Вычислить математическое ожидание события попаданий.

Решение. M=10·0,6=6

Задание 5-8.

1. Найти математическое ожидание случайной дискретной величины, зная закон ее распределения:

X 6 3 1

р 0,2 0,3 0,5 Ответ: 2,6.

2. Производится 4 выстрела. Вероятность попадания каждого в цель равна 0,6; 0,2; 0.4; 0.5; 0,7. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Ответ: 2,2 попадания.

4. Независимые случайные дискретные величины заданы законами распределения:

Х 1 2 Y 0,5 1

р 0,2 0,8 р 0,3 0,7

Найти математическое ожидание произведения XY двумя способами: а) составив закон распределения XY; б) пользуясь свойством 3. Ответ: 1,53.

4. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 10 деталей. Ответ: 2 детали.

5. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей. Ответ: 12,25 очка.

6. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3. Ответ: 6 билетов.

Задание 5-14..

1. Случайная величина X задана законом распределения

Найти среднее квадратическое отклонение

Решение. М(Х) = 2· 0, 1+3·0,4 + 10·0,5 = 6,4.

М(Х²) = 2²· 0,1 + 3²·0,4 + 10²·0,5 = 54.

D(Х) = M(X²) - [M(Х)]² = 54 - 6,4²= 13,04.

Среднее квадратическое отклонение =3,61.

2. Известны дисперсии двух независимых случайных вели­чин: D(X) = 4, D(K)=3. Найти дисперсию суммы этих величин. Ответ: 7.

3.. Дисперсия случайной величины X равна 5. Найти дисперсию следующих величин:

а) X- 1; б) - 2Х; в) ЗХ + б. Ответ: а) 5; б) 20; в) 45.

4. Случайная величина X принимает только два значения: С и - С, каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой величины.

Ответ: С².

5. Найти дисперсию случайной величины, зная закон ее распре­деления

X 0,1 2 10 20

р 0,4 0,2 0,15 0,25 Ответ: 67,6404.

6. Случайная величина X может принимать два возможных зна­чения: х₁ с вероятностью 0,3 и х₂ с вероятностью 0,7, причем х₂ > х₁. Найти х₁ и x₂ зная, что М(Х)=2,7 и D (X) =0,21.

Ответ: х₁₌ 2, х₂ = 3.

7. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: p₁ = 0,3; р₂ = 0,4; p₃ = 0,5; p₄ = 0,6. Найти математическое ожидание и дис­персию числа отказавших приборов. Ответ: 1,8; 0,94.

8. Найти дисперсию случайной величины X - числа появлений события в 100 независимых испытаниях, в каждом вероят­ность наступления события равна 0,7. Ответ: 21.

9. Дисперсия случайной величины D(X) = 6,25. Найти среднее квадратическое отклонение а (X). Ответ: 2,5.

10. Случайная величина задана законом распределения

Найти среднее квадратическое отклонение этой величины. Ответ: 2,2.

11. Дисперсия каждой из 9 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин. Ответ: 4.

12. Среднее квадратическое отклонение каждой из 16 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно 10. Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величин. Ответ: 2,5.