А|В) — расширенная матрица системы линейных уравнений.

Уровень А.

1. Уравнение F(x,y)=0 называется неявным уравнением данной линии на плоскости (x,y), если эта линия есть множество всех точек этой плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Параметрическое уравнение линии: x = φ(t), y = φ(t) (система)

Неявное уравнение окружности: x²+y² = a²

Параметрическое уравнение окружности: x= r*cosφ, y= r*sinφ (система)

2. Свободным вектором называется направленный отрезок.

Линейные операции над векторами:

·сложение. Правило треугольника и правило параллелограмма. OA+AB=OB; OA+OB=OC

·вычитание. A-B = A+(-B)

·умножение вектора на число. λ*A; |λ*A|=|λ|*|A|; λ*A – то же направление, если λ>0, противоположное, если λ<0

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. (Лемма 1. Если вектор A≠0, то любой коллинеарный ему вектор B получается из вектора А умножением на число, т.е. B=λ*A, где λ определено однозначно).

Векторы называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях. (Лемма 2. Если векторы A и B не компланарны, то любой компланарный с ними вектор C может быть разложен по этим векторам: C = λ*A+μ*B, причем единственным образом).

Лемма 3. Если векторы A, B и C некомпланарны, то любой вектор D (в пространстве) может быть разложен по этим векторам: D=λ*A+μ*B+ν*C, причем единственным образом.

Базисом в пространстве называется любая тройка некомпланарных векторов.

Базисом на плоскости называется любая двойка неколлинеарных векторов.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор этой прямой.

Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в этом базисе. Координаты вектора в базисе определены однозначно.

Линейные операции в координатной форме:

·(x₁, y₁,z₁) + (x₂, y₂ z₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)

·λ(x, y, z) = (λx, λy, λz)

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором (или ортом).

Базис называется ортонормированным, если он состоит из попарно перпендикулярных единичных векторов.

Координаты вектора в базисе i,j,k называются прямоугольными координатами вектора.

3. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число A*B=|A|*|B|*cosφ. (Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение равно нулю).

Условие ортогональности двух векторов: два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (ортогональность=перпендикулярность), при этом A≠0, B≠0.

Скалярное произведение в координатной форме: если A=(x_1, y_1, z₁), B=(x_2, y_2, z₂), то A*B= x₁*x₂+y₁*y₂+z₁*z₂

4. Векторным произведением двух неколлинеарных вектором называется вектор AxB такой, что:

1) его длина |AxB|=|A|*|B|*sinφ=S параллелограмма, построенного на векторах A и B

2) его направление определяется двумя условиями: а) он перпендикулярен каждому из векторов A,B; б) тройка A,B,AxB — правая.

Векторное произведение двух коллинеарных векторов полагается равным 0.

Векторное произведение двух векторов в координатной форме: определитель матрицы, где первая строка — i, j, k, вторая — x_1, y₁, z₁, третья — x_2, y_2, z₂.

5. Смешанным произведением трёх векторов A,B,C называется число ABC такое, что ABC=(AxB)*C.

Условие компланарности трёх векторов: Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл модуля и знака смешанного произведения:

1) модуль смешанного произведения трёх некомпланарных векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

2) если ABC>0, то тройка A,B,C – правая. Если ABC<0, то тройка A,B,C – левая.

Смешанное произведение в координатной форме: Если A=(x_1, y_1, z₁), B=(x_2, y_2, z₂), C=(x_3, y_3, z₃), то ABC = определитель матрицы, где 1я строка — x₁ y₁ z₁, 2я строка - x₂ y₂ z₂, 3я строка - x₃ y₃ z_3.

6. Уравнения прямой на плоскости:

1) проходящей через данную точку с данным направляющим вектором:

·параметрическое: x = x₀+L*t, y = y₀+m*t (система), где (L,m) — координаты направляющего вектора.

·канонические: (x-x₀)/L = (y-y₀)/m, где (L,m) — координаты направляющего вектора.

2) проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом:

·y-y₀ = k(x-x₀)

3) проходящей через данную точку с данным нормальным вектором:

·A(x-x₀) + B(y-y₀) = 0, где (A,B) — координаты нормального вектора, (x-x_0, y-y₀) – координаты вектора на прямой.

4) общее

·Ax+By+C=0

7. Уравнения плоскости:

1) проходящей через данную точку с данным нормальным вектором:

·A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0, где (x_0, y₀, z₀) – координаты вектора в данной плоскости, (A,B,C) – координаты нормального вектора.

2) общее

·Ax+By+Cz+D=0

8. Уравнения прямой в пространстве:

1) проходящей через данную точку с данным направляющим вектором

·параметрические: x=x₀+Lt, y=y₀+mt, z=z₀+nt (система), где (L,m,n) — координаты направляющего вектора.

·канонические: (x-x₀)/L=(y-y₀)/m=(z-z₀)/n

2) общие

·A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 (система), где (A₁,B₁,C₁) и (A_2, B₂, C₂) не пропорциональны (плоскости не параллельны)

9. Эллипс — множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух точек этой плоскости (фокусов) есть величина постоянная, бóльшая, чем расстояние между фокусами

Каноническое уравнение эллипса: x²/a² + y²/b² = 1, a>b

Параметрические уравнения эллипса: x = a*cost + x₀, y = a*sint + y₀ (система)

Гипербола — множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых до двух точек этой плоскости (фокусов) есть величина постоянная, положительная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы: x²/a² – y²/b² = 1

Уравнения асимптот гиперболы: y = ± b/a *x

Парабола — множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскость (фокуса) и данной прямой, лежащей в этой плоскости и не проходящей через эту точку (она называется директрисой).

Расстояние от фокуса до директрисы обозначается через p и называется параметром параболы.

Каноническое уравнение параболы: y² = 2px (p>0).

10. Формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости:

x=x'cosα – y'sinα + a, y=x'sinα + y'cosα + b (система)

11. Уравнение F(x,y,z) = 0 называется уравнением данной поверхности в пространстве xyz, если эта поверхность есть множество всех точек это пространства, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Уравнение сферы: (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²

Уравнения линии в пространстве(?)

Цилиндрическая поверхность — это поверхность, образованная движением прямой (образующей), перемещающейся параллельно самой себе и пересекающей данную линию (направляющую).

Уравнение F(x,y)=0 определяет в пространстве Oxyz цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей является линия F(x,y)=0, z=0 (система).

Коническая поверхность — это поверхность, образованная движением прямой (образующей), проходящей через данную точку (вершину) и пересекающей данную линию (направляющую).

Метод сечений (как метод построения поверхностей): рассматриваются сечения этой поверхности плоскостями, параллельными координатным осям, т.е. x=const, y=const, z=const.

12. Поверхность второго порядка — это поверхность, имеющая в некоторой прямоугольной системе координат уравнение второй степени.

1) Эллипсоид: x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1;

 

2) Однополостный гиперболоид: x²/a² + y²/b² – z²/c² = 1;

 

3) Двуполостный гиперболоид: x²/a² + y²/b² – z²/c² = -1;

 

4) Конус второго порядка: x²/a² + y²/b² – z²/c² = 0;

 

5) Эллиптический параболоид: x²/p + y²/q = 2z (p>0, q>0);

 

6) Эллиптический цилиндр: x²/a² + y²/b² = 1;

 

7) Гиперболический цилиндр: x²/a² – y²/b² = 1;

 

 

8) Параболический цилиндр: y² = 2px (p>0).

 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

13. Матрица mxn. (m – число строк, n – число столбцов)

 

Нулевая матрица — это матрица, все элементы которой равны 0.

Квадратная матрица — матрица размера nxn.

Треугольная матрица — матрица, все элементы которой, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Определитель — произведение элементов главной диагонали.

Диагональная матрица — матрица, все элементы которой, НЕ стоящие на главной диагонали, равны нулю. Определитель — произведение элементов главной диагонали.

Единичная матрица (E) — матрица, все элементы которой, стоящие на главной диагонали, равны 1, а все остальные — равны 0. Определитель — 1.

Транспонирование матрицы. Если строки данной матрицы записать по столбцам, то получим матрицу, называемую транспонированной по отношению к данной матрице.

Линейные операции над матрицами:

1) сложение. Суммой матриц A и B одинаковых размеров называется матрица C такая, что: c _{i j} = a _{i j} + b _{i j.}

2) умножение на число. Произведением матрицы A = (a _{i j}) на число λ принадлежащее R называется матрица B = (b_{i j}) того же размера такая, что: b_{i j} = λ*a_{i j.}

Произведение матриц. Произведение матриц A = (a_{i j}) размера mxk и матрицы B = (b_{i j}) размера kxn называется матрица C = (c_{i j}) размера mxn такая, что: c_{i j} = a_{i 1}*b_{1 j} + a_{i 2}*b_{2 j} + … + a_{i k}*b_{k j}. (с_{i j} равно сумме произведений соответствующих элементов i-той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В).

Определитель произведения двух квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей:

det(AB) = det(A)*det(B)

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен 0, невырожденной, если ее определитель не равен 0.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А (того же порядка), если АВ = ВА = Е.

Теорема существования: Для того, чтобы квадратная матрица имела себе обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

А^-1 = 1/detA * (A_{i j})^t

Решение матричных уравнений:

1) AX = B, где A – квадратная невырожденная.

A^-1AX = A^-1B

X = A^-1B

2) XA = B, где А — квадратная невырожденная

XAA^-1 = BA^-1

X = BA^-1

3) AXB = C, где A,B – квадратные невырожденные

A^-1AXBB^-1 = A^-1CB^-1

X = A^-1CB^-1

14. Пространством Rⁿ называется множество упорядоченных совокупностей из n действительных чисел (x₁, x₂ … x_n) (называемых векторами) на котором определены две операции, называемые линейными.

Линейные операции:

1) сложение: (x₁, x₂, …, x_n) + (y_1, y₂, …, y_n) = (x₁+y₁, x₂+y₂, …, x₃+y₃)

2) умножение на число: λ*(x₁, x₂, …, x_n) = (λx₁, λx₂, …, λx_n), где λ принадлежит R.

Вектор λ₁a₁ + λ₂a₂ + … + λ_ka_k называется линейной комбинацией векторов a₁, a₂, …, a_k с коэффициентами λ₁, λ₂, …, λ_k. Говорят также, что этот вектор линейно выражен через векторы a₁, a₂, …, a_k с коэффициентами λ₁, λ₂, …, λ_k. Говорят также что этот вектор разложен по векторам a₁, a₂, …, a_k с коэффициентами λ₁, λ₂, …, λ_k.

Система векторов a₁, a₂, …, a_k (k>=1) называется линейно зависимой, если существуют числа λ₁, λ₂, …, λ_k, одновременно не равные 0, такие, что λ₁a₁ + λ₂a₂ + … + λ_ka_k = 0.

Система векторов a₁, a₂, …, a_k (k>=1) называется линейно независимой, если из равенства λ₁a₁ + λ₂a₂ + … + λ_ka_k = 0 следует, что λ₁ = λ₂ = … = λ_k = 0.

Геометрический смысл линейной зависимости:

1) двух векторов: два свободных вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

2) трёх векторов: три свободных вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Простейшие свойства линейно (не)зависимых систем:

1) система из одного вектора линейно независима тогда и только тогда, когда этот вектор равен нулю.

2) всякая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима (равносильно: если система векторов содержит линейно независимую подсистему, то она сама линейно независима).

В частности: а) система, содержащая нулевой вектор, линейно независима

б) система, содержащая 2 равных вектора, линейно зависима.

3) если система векторов a₁, a₂, …, a_k линейно независима, а система a₁, a₂, …, a_k, b линейно зависима, то b — линейная комбинация векторов a₁, a₂, …, a_k.

Условие линейности системы из k>=2 векторов: Система из k>=2 векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из этих векторов является линейной комбинацией остальных.

Единственность разложения по линейно независимой системе векторов: Разложение по линейно независимой системе векторов единственно.

Минор k-того порядка матрицы А. Пусть дана матрица А. Выберем в ней k строк и k столбцов. На их пересечении стоит квадратная матрица порядка k. Её определитель называется минором порядка k матрицы А.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля её миноров. (Ранг нулевой матрицы полагается равным нулю)

Отличный от нуля минор наивысшего порядка называется базисным минором матрицы.

Элементарные преобразования матрицы:

1) перестановка любых двух строк (столбцов);

2) умножение любой строки (столбца) на число, отличное от 0;

3) прибавление к любой строке (столбцу) любой другой строки (столбца), умноженной(ого) на любое число.

Теорема об элементарных преобразованиях и ранге. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Теорема о базисном миноре. Строки матрицы, в которых стоит базисный минор, линейно независимы, а любая другая её строка является их линейной комбинацией.

Следствия:

1) (условие равенства определителя нулю). Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки линейно зависимы;

2) (условие линейной независимости m векторов из Rⁿ). Данные m векторов из Rⁿ линейно независимы тогда и только тогда, когда ранг составленной из них матрицы равен m;

3) (условие линейной независимости n векторов из Rⁿ). Данные n векторов линейно независимы тогда и только тогда, когда составленный из них определитель отличен от 0;

4) Всякие m>n векторов из Rⁿ линейно зависимы;

5) Если векторы a₁, a₂, …, a_k линейно независимы и линейно выражаются через векторы b₁, b₂, …, b_L, то k<L.

Базисы в Rⁿ. Про любые n линейно независимых векторов a₁, a₂, …, a_n из Rⁿ говорят, что они образуют базис в Rⁿ.

Стандартный базис в Rⁿ (канонический):

e₁ = (1, 0, 0, …., 0)

e₂ = (0, 1, 0, …., 0)

…............................

e_n = (0, 0, 0, …., 1)

 

15. Система m линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂, …, x_n имеет вид:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁,

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … +a_2nx_n = b₂,

…........................................

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_{m nxn} = b_m.

(система)

a_{i j} – числа, коэффициенты системы

b_i – числа, свободные члены системы

Решением системы mxn называется упорядоченная совокупность n чисел, при подстановке которых в каждое уравнение системы вместо неизвестных оно обращается в верное числовое равенство.

Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет.

Линейная система называется однородной, если все её свободные члены равны 0, и неоднородной в противном случае.

Если ранг числа меньше количества переменных, то есть ненулевое решение.

Однородная система всегда совместна, т.к. она имеет нулевое решение.

 

Две линейные системы называются эквивалентными (или равносильными), если они имеют одно и то же множество решений.

А(a_{i j}) – матрица системы (матрица, составленная из коэффициентов)

 

x₁

X= x₂ - столбец неизвестных

…

x_n

 

 

b₁

В= b₂ - столбец свободных членов

…

b_n

 

AX = B – матричная форма записи линейной системы.

 

16. Система nxn имеет вид:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁,

….........................................

a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n = b_n.

(система)

A(a_{i j}) – квадратная порядка n.

Δ = detA — определитель системы.

Δ_j — определитель, полученный из Δ заменой j-того столбца столбцом свободных членов.

Правило Крамера. Если Δ≠0, то система nxn имеет единственное решение, которое можно найти по формулам: x_j = Δ_j / Δ

 

А|В) — расширенная матрица системы линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли. Линейная система совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен рангу её расширенной матрицы, т.е. r(A) = r(Ᾱ).

Неизвестные с номерами столбцов базисного минора называются базисными неизвестными, а остальные неизвестные — неизвестные, которым придают числовые значения, - свободными неизвестными.

Решение, которое было получено, - общее решение системы — совокупность всех решений.

Условие существования ненулевого решения однородной системы:

1) mxn: Однородная система mxn имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг меньше количества переменных (r<n)

2) nxn: Однородная система nxn имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда Δ = 0.

 

Уровни В, С.

 

1. Линейным пространством называется множество L векторов a, b, c..., на котором определены две операции (называемые линейными):

1) сложение. Для всяких двух векторов a, b принадлежащих L определен вектор a+b принадлежащий L и называемый их суммой;

2) умножение на число. Для любого вектора a принадлежащего L и любого числа λ принадлежащего R определён вектора λa принадлежащий L и называемый произведением вектора a на число λ.

Базис (в линейном пространстве L) — упорядоченная система векторов e₁, e₂, …, e_n, если она линейно независима и всякий вектор (из L) может быть разложен по этим векторам.

Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами этого вектора в этом базисе.

Пусть n принадлежит N. Линейное пространство L называют n-мерным, если в нём есть базис из n векторов, при этом число n называют его размерностью, и пишут dimL=n. Линейное пространство L={0} называют нульмерным и пишут dimL=0. Все эти пространства называются конечномерными. Линейное пространство, не являющееся конечномерным, называется бесконечномерным.

2. Размерность линейного пространства решений олс. Линейное пространство решений олс n-r — мерно.

Всякий базис линейного пространства решений олс называется фундаментальной системой этой олс.

Структура общего решения однородной линейной системы: x = C₁E₁+...+C_{n - r} E_{n – r}, где E₁,...,E_{n – r} – фундаментальная система решений, а С₁,...,С_{n – r} – произвольные постоянные.

3. Отображение А линейного пространства L в себя называется линейным оператором (действующем на L), если:

1) A(x+y) = Ax + Ay (x,y принадлежат L)

2) A(λx) = λAx (x принадлежит L, λ принадлежит R)

y = Ax – образ вектора x.

Матрица, по столбцам которой стоят координаты образов базисных векторов в данном базисе, называется матрицей линейного оператора в этом базисе.

4. Ненулевой вектор x принадлежащий L называется собственным вектором линейного оператора A, если существует число λ принадлежащее R такое, что Ax = λx.

При этом λ называется собственным значением линейного оператора A, соответствующим собственному вектору x (а x – собственный вектор, соответствующий значению λ).

Множество всех собственных значений линейного оператора А называется его спектром.

Для того, чтобы матрица линейного оператора в данном базисе была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов этого оператора. При этом на её главной диагонали стоят собственные значения этого оператора.

Многочлен det(A-λE) называется характеристическим многочленом линейного оператора А (а также матрицы А), а уравнение det(A-λE)=0 — характеристическим уравнением линейного оператора А (а также его матрицы).

Теорема о нахождении собственных значений и собственных векторов линейного оператора:

1)Все собственные значения линейного оператора А — это все действительные корни его характеристического многочлена.

2) Все собственные векторы линейного оператора А — это все ненулевые решения однородной линейной системы с матрицей А- λE.