Дополнительный код целого числа

A. Целые числа без знака

Целые числа без знака обычно занимают в памяти компьютера:

- один байт, в этом формате можно представить двоичные числа в диапазоне от 00000000 до 111111111 или в десятичном представлении от 0 до 255 (0 … 2⁸ – 1);

- два байта, соответственно диапазон представляемых чисел в десятичной системе счисления будет от 0 до 65535 (0 … 2¹⁶ – 1).

Пример 1. Представить число 72₁₀ = 1001000₂ в однобайтовом формате:

Номера разрядов	7	6	5	4	3	2	1	0
Биты числа

B. Целые числа со знаком

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера:

- один байт, в этом формате можно представить двоичные числа в диапазоне от –0000000 до +11111111 или в десятичном представлении от -128 до 127 (–2⁷ … 2⁷ – 1);

- два байта, соответственно диапазон представляемых чисел в десятичной системе счисления –32768 до 32767 (–2¹⁵ … 2¹⁵ – 1);

- четыре байта, диапазон представляемых чисел в десятичной системе счисления от

–2147483648 до 2147483647 (–2³¹... 2³¹–1).

При этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак «плюс» кодируется нулем, а «минус» – единицей. Число располагаем в разрядной сетке так, чтобы цифра младшего разряда числа занимала крайнюю правую ячейку.

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Для представления отрицательных чисел применяется обратный, или дополнительный коды. Они применяются для выполнения операции вычитания, которую заменяют операцией сложения чисел с разными знаками: a – b = a + (–b).

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково — двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.

Прямой код целого числа

Под прямым кодом двоичного числа понимают запись самого числа. Знаковый разряд для положительных чисел определяют нулем (0), для отрицательных – единицей (1).

Пример 2. Представить положительное число 69₁₀= 1000101₂ в однобайтовом формате:

Номера разрядов	7	6	5	4	3	2	1	0
Биты числа

Пример 3. Представить отрицательное число – 59₁₀ = – 111011₂ в однобайтовом формате:

Номера разрядов	7	6	5	4	3	2	1	0
Биты числа

 

 

П рямой код применяется только для представления положительных двоичных чисел. Отрицательные числа в прямом, обратном или дополнительном кодах имеют разное изображение.

Обратный код целого числа

Обратный код целого положительного числа совпадает с его прямым кодом.

Обратный код целого отрицательного числа получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы – нулями.

Дополнительный код целого числа

Дополнительныйкод целого положительного числа совпадает с его прямым кодом.

Дополнительный код для отрицательного числа образуется путем получения обратного кода с последующим прибавлением к младшему разряду единицы.

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в компьютер автоматически преобразуются в обратный или дополнительный коды и в таком виде хранятся и участвуют в операциях. При выводе таких чисел происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

Пример 4. Переведите + 27₁₀ и – 27₁₀ в прямой, обратный и дополнительный коды.

Число	Прямой код	Модуль числа	Обратный код	Дополнительный код
+ 2710	+110112	0 0011011	0 0011011	0 0011011	0 0011011
– 2710	–110112	1 0011011	0 0011011	11100100	11100101

Практическое задание

1. Запишите следующие числа в прямом, обратном и дополнительном кодах.

А) 1101011₂; Б) –101011₂; В) –101101₂; Г) –1100111₂;

2. Арифметические действия над целыми числами

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого. Это позволяет упростить конструкцию компьютера.

При сложении чисел в знаковом разряде могут появиться две цифры, вторую единицу от запятой называют единицей переноса

При сложении чисел в обратном коде возникающая единица переноса в знаковом разряде прибавляется к младшему разряду суммы кодов.

При сложении чисел в дополнительном коде возникающая единица переноса в знаковом разряде отбрасывается.

Пример 5. Выполните сложение Х + Y = 15 – 5 =? в обратном и дополнительном кодах.

Сложить числа	По правилам двоичной арифметики	В обратном коде	В дополнительном коде
Х = 1510 Y = – 510 Х + Y = 1010	Х = 1111 Y = – 101 Х + Y = 1010	Х обр = 0 0001111 Y обр = 1 1111010 1 0 0001001 Ä + 1 (Х + Y)обр = 0 0001010	Х доп = 0 0001111 Y доп = + 1 1111011 1 0 0001001 отбрасывается Ã (Х + Y) доп = 0 0001010

 

Если результат арифметических действий является кодом отрицательного числа, необходимо преобразовать его в прямой код. При этом обратный код преобразуется в прямой заменой цифр во всех разрядах, кроме знакового, на противоположные. Дополнительный код преобразуется в прямой так же, как и обратный, с последующим прибавлением единицы к младшему разряду.

Пример 6. Выполните сложение Х + Y = – 5 – 7 =? в обратном и дополнительном кодах.

Сложить числа	По правилам двоичной арифметики	В обратном коде	В дополнительном коде
Х = – 5 Y = – 7 Х + Y = –12	Х = – 101 Y = – 111 Х + Y = –1100	Х обр = 1 1111010 Y обр = + 1 1111000 1 1 1110010 Ä ð + 1 (Х + Y)обр= 1 1110011	Х доп = 1 1111011 Y доп = + 1 1111001 1 1 1110100 Ã отбрасывается (Х + Y) доп= 1 1110100

Так как сумма является кодом отрицательного числа (знак 1), то необходимо перевести результаты в прямой код:

- из обратного кода: (Х + Y)_обр = 1 1110011 ð (Х + Y)_пр = 1 0001100

- из дополнительного кода: (Х + Y) _доп = 1 1110100 ð (Х + Y)_пр = 1 0001011 + 0 00000001,

(Х + Y)_пр = 1 0001100.

3. Модифицированный обратный и дополнительный коды

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата не помещаются в отведенной области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа.

Переполнение разрядной сетки может привести к переносу единицы в знаковый результат, что приведет к неправильному результату. Положительное число, получившееся в результате арифметической операции, может восприниматься как отрицательное, так как в знаковом разряде появится «1», и наоборот.

Например, Х = 0 1011110

Y = 0 1101100

Х + Y = 1 1001010

Х и Y – коды положительных чисел, но в процессе сложения в знаковом разряде появилась «1», что означает код отрицательного числа. Чтобы распознать переполнение разрядной сетки, вводятся модифицированные коды.

В модифицированных обратном и дополнительном кодах под знак числа отводится не один, а два разряда: «00» соответствует знаку «+», «11» – знаку «–». Любая другая комбинация («01» или «10»), получившаяся в знаковых разрядах, является признаком переполнения разрядной сетки. Сложение чисел в модифицированных кодах ничем не отличается от сложения в обычных обратном и дополнительном кодах.

Пример 7. Даны два числа: Х = 101011 и Y = – 11110. сложить их в дополнительном и модифицированном дополнительных кодах.

Обычная запись	Х = +0101011	Y = – 0011110
Обратный код	Х обр = 01010100	Y обр = 1 1100001
Модифицированный обратный код	= 00 1010100	= 11 1100001
Дополнительный код	Х доп = 01010101	Y доп = 1 1100010
Модифицированный дополнительный код	= 00 1010101	= 11 1100010

 

Дополнительный код	Модифицированный дополнительный код
Х доп = 0 0101011 Y доп = + 1 1100010 1 0 0001101 отбрасывается Ã (Х + Y) доп = 0 0001101	= 00 0101011 = + 11 1100010 1 00 0001101 отбрасывается Ã = 00 0001101

4. Индивидуальные задания
по теме «Компьютерная арифметика»

1. Запишите числа Х и Y в прямом, обратном и дополнительном кодах. Выполните сложение в обратном и дополнительном кодах. Результат переведите в прямой код.

2. Измените число Х и Y, добавив в конце числа две единицы. Сложите полученные числа в модифицированном обратном и модифицированном дополнительных кодах. Результат переведите в прямой код. Выполните проверку сложения, используя правила двоичной арифметики.

 

Вариант	Числа Х и Y	Вариант	Числа Х и Y
	Х = –100101 Y = 11101		Х = –101101 Y = 1101
	Х = –110101 Y = 11101		Х = –1101111 Y = 10101
	Х = –1000111 Y = 11101		Х = –1110001 Y = 10011
	Х = –1010001 Y = 10011		Х = –1000011 Y = 10011
	Х = –1101001 Y = 10111		Х = –1010001 Y = 1111
	Х = –101001 Y = 10111		Х = –1010111 Y = 11100
	Х = –110101 Y = 1111		Х = –101111 Y = 1101
	Х = –110101 Y = 10011		Х = –1001011 Y = 10101
	Х = –100011 Y = 10011		Х = –1010001 Y = 1011
	Х = –110001 Y = 10111		Х = –1000111 Y = 11111
	Х = –111001 Y = 1110		Х = –100001 Y = 1111
	Х = –1011101 Y = 10111		Х = –1111000 Y = 101111
	Х = –1100000 Y = 1111		Х = –10101 Y = 1101