Расширенной (или полной) комплексной плоскостью называется комплексная плоскость переменной 
с присоединением единственного комплексного числа 
(независимо от направления), окрестностью которой называется множество точек, удовлетворяющих условию 
.
Функция 
однозначна, если каждому значению из некоторой области ставится в соответствие одно, определённое комплексное число 
.
Функция называется однолистной в некоторой области, если в различных точках этой области она принимает различные значения. Например, функция 
- однозначна, но не однолистна, так как двум точкам на комплексной плоскости и 
отвечает одно и тоже значение .
Для расширенной комплексной плоскости множество точек, состоящее из внутренних точек, любые две из которых можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству, называется связной областью.
Функция 
называется дифференцируемой в точке 
, если существует 
, независимый от способа стремления 
к нулю. Этот предел называется производной функции 
.
Если функция дифференцируема в точке , то существуют частные производные 
, 
и выполняются соотношения, называемые условиями Коши-Римана: 
, 
.
Функция , имеющая в каждой точке некоторой области непрерывную производную, называется аналитической в этой области. Например, функция 
- непрерывна на всей плоскости, но нигде не дифференцируема, т.е. не аналитическая.
Функция , где - однозначная аналитическая в некоторой области 
, осуществляет отображение этой области на область 
комплексной плоскости , называемое конформным. Например, показательная функция 
отображает полосу на плоскости шириной 
на верхнюю полуплоскость 
, а функция 
отображает полуполосу 
) на полукруг единичного радиуса в верхней полуплоскости .
Конформное отображение в точке 
во-первых, сохраняет углы между любыми гладкими линиями, проходящими через точку и угол поворота бесконечно малого элемента равен аргументу производной 
и, во-вторых растяжение бесконечно малого элемента в точке постоянно и равно модулю производной 
для любого направления.
Функция , осуществляющая конформное отображение заданной односвязной области на область в плоскости , определяется единственным образом заданием соответствия между тремя различными точками и .
Интеграл от комплексной функции 
по некоторой кусочно-гладкой линии 
конечной длины, определяется следующей формулой
,
где 
, и интегралы в правой части равенства – криволинейные интегралы второго рода. В частности, если 
- окружность радиуса 
с центром в точке , обходимая в положительном направлении (против хода часовой стрелки) (
), то 
и не зависит ни от , ни от .
В интегральном исчислении теории функций комплексного переменного основную роль играет теорема Коши: Если - аналитическая функция в некоторой односвязной области , то интеграл 
, взятый вдоль любого замкнутого контура 
, равен нулю.
Значения аналитической функции в точке, лежащей внутри замкнутого контура 
определяется интегралом Коши 
, а её 
-ая производная во внутренних точках области равна 
.
Если функции 
(
аналитические в некоторой области и ряд 
равномерно сходится в каждой точке замкнутой области 
, то 
- аналитическая в 
и 
.
Функция - аналитическая внутри круга 
может быть представлена в этом круге единственным образом 
, где 
, 
- окружность радиуса с центром в точке .
Ряд вида 
, сходящийся в кольце 
к аналитической функции , называется рядом Лорана этой функции. Здесь 
(
), 
- произвольный замкнутый контур в кольце , содержащий точку внутри.
Точка называется правильной, если существует ряд Тейлора 
сходящийся к внутри круга сходимости, принадлежащему . Точки 
не являющиеся правильными называются особыми точками .
Точка называется:
1) устранимой особой точкой функции , если 
(
);
2) полюсом порядка 
функции , если её ряд Лорана в окрестности содержит членов с отрицательными степенями 
;
3) существенно особой точкой функции , если её ряд Лорана в окрестности содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями .
Вычетом аналитической функции в изолированной особой точке называется число равное интегралу 
, где 
- замкнутый контур, содержащий изолированную особую точку, взятый в положительном направлении, и обозначается в виде 
: 
.
Для полюса -го порядка имеем
.
В частности, для полюса первого порядка 
.
Если функция аналитическая всюду в замкнутой области , за исключением конечного числа 
изолированных особых точек 
(
), лежащих внутри области , то 
, где полная граница области , проходимая в положительном направлении. Ели функция аналитическая в расширенной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек (), включая , то 
.
Теорию вычетов широко применяют для вычисления интегралов.
