Часть 2. Расчёт переходного и установившегося процессов в цепи

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

Институт – Энергетический институт

Направление – Электроэнергетика и электротехника

Кафедра – Электромеханических комплексов и материалов

 

Интерполяция функций и динамика нелинейных систем

^{Наименование лабораторной работы}

 

Отчет по лабораторной работе № 4

по курсу «Дополнительные главы математики»

^{Наименование учебной дисциплины}

Вариант №1

 

 

Выполнил студент гр 5АМ25 ________ _________ А.И. Стасевская

^{Подпись Дата И.О.Фамилия}

 

Проверил доцент ______ _______ _________ А.С. Глазырин

^{должность Подпись Дата И.О.Фамилия}

 

 

Томск – 2012

Цель работы:

Освоить математический аппарат, алгоритмы интерполяции функций, заданных экспериментально полученными узлами, методы и алгоритмы гармонического анализа токов в нелинейных системах.

Индивидуальное задание:

Таблица 1.

Основная кривая намагничивания магнитопровода катушки
B, Тл	0.5	0.8	0.9	1.0	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5
H, А/м

Таблица 2.

Метод	Интерполяции	Численного решения дифференциального уравнения	Определения времени переходного процесса
Вариант 1	Лагранжу	Эйлера	дихотомии

Часть 1. Интерполяция кривой намагничивания, заданной таблично

Пусть имеется катушка с тороидальным магнитопроводом (рис. 1).

Рисунок 1 - Катушка с тороидальным магнитопроводом

 

 

Катушка имеет магнитный сердечник с нелинейной основной кривой намагничивания H(B), где B – магнитная индукция, Тл, H – напряжённость магнитного поля, А·м. Кривая намагничивания задана экспериментально снятыми узлами и представлена в табл. 1. Кривую намагничивания, заданную таблично следует подвергнуть интерполяции по методу Лагранжа.

Для получения дополнительных точек на кривой намагничивания необходимо использовать линейную регрессию общего вида.

Матрицы имеют вид:

 

 

 

 

 

 

Зададим аппроксимирующие функции:

Вычислим коэффициенты аппроксимирующих функций:

 

Построим итоговую регрессионную функцию (рис. 2):

 

 

Рисунок 2 - Регрессионная функция для кривой намагничивания

 

 

Добавим точки, найденные с помощью регрессии общего вида. В результате получим матрицы:

 

Интерполируем точки методом Лагранжа:

 

 

Зададим кривую намагничивания для всего интервала:

Итоговая интерполированная функция имеем вид (рис. 3):

 

Рисунок 3 - Кривая Н(B), полученная методом Лагранжа

 

Часть 2. Расчёт переходного и установившегося процессов в цепи

В ч. 1 после интерполирования получена зависимость H(B), позволяющая по текущему значению магнитной индукции B найти величину напряжённости магнитного поля H.

Зададимся геометрией катушки: l = 15·10-2 м – средняя длина силовых линий напряжённости магнитного поля H в тороидальном магнитопроводе, S = 2·10^-4 м² – площадь поперечного сечения магнитопровода,w = 2000 – число витков катушки, R = 1 Ом.

Запишем дифференциальное уравнение (ДУ) равновесия электрической цепи

где ψ - потокосцепление катушки.

Приведём ДУ (1) к нормальной форме Коши:

В процессе интегрирования ДУ на каждом шаге по известному значению потокосцепления катушки вычислим ток в катушке. Для этого необходимо воспользоваться результатами интерполяции кривой H(B), выполненной в п.1, и известными соотношениями из теории магнитных цепей.

Магнитную индукцию B в магнитопроводе катушки можно выразить через S, w и ψ как:

Ток в катушке можно рассчитать как:

Решим ДУ методом Эйлера (табл. 2).

Построим зависимость напряжения, подаваемого на катушку, от времени (рис. 4):

 

Рисунок 4 - Питающее напряжение катушки

 

Зададим параметры катушки:

Функция потокосцепления имеет вид:

 

 

Определим нулевые точки:

Решим уравнение методом Эйлера:

Построим зависимости потокосцепления и тока от времени (рис. 5,6):

 

Рисунок 5 - Зависимости потокосцепления и тока катушки от времени

 

Рисунок 6 - Зависимость тока катушки времени

 

Определим время переходного процесса. Для этого зададим матрицы точек, соответствующих максимальным значениям зависимости I(t):

Для получения непрерывной функции применим сплайн-интерполяция:

Переходный процесс имеет вид (рис. 5,6):

Рисунок 7 - Изменение максимумов тока от времени

 

Рисунок 8 - Переходный процесс максимумов тока относительно верхней границы 10% зоны

 

Определим время переходного процесса методом дихотомии: