МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт – Энергетический институт
Направление – Электроэнергетика и электротехника
Кафедра – Электромеханических комплексов и материалов
Интерполяция функций и динамика нелинейных систем
Наименование лабораторной работы
Отчет по лабораторной работе № 4
по курсу «Дополнительные главы математики»
Наименование учебной дисциплины
Вариант №1
Выполнил студент гр 5АМ25 ________ _________ А.И. Стасевская
Подпись Дата И.О.Фамилия
Проверил доцент ______ _______ _________ А.С. Глазырин
должность Подпись Дата И.О.Фамилия
Томск – 2012
Цель работы:
Освоить математический аппарат, алгоритмы интерполяции функций, заданных экспериментально полученными узлами, методы и алгоритмы гармонического анализа токов в нелинейных системах.
Индивидуальное задание:
Таблица 1.
| Основная кривая намагничивания магнитопровода катушки | |||||||||
| B, Тл | 0.5 | 0.8 | 0.9 | 1.0 | 1.1 | 1.2 | 1.3 | 1.4 | 1.5 |
| H, А/м |
Таблица 2.
| Метод | Интерполяции | Численного решения дифференциального уравнения | Определения времени переходного процесса |
| Вариант 1 | Лагранжу | Эйлера | дихотомии |
Часть 1. Интерполяция кривой намагничивания, заданной таблично
Пусть имеется катушка с тороидальным магнитопроводом (рис. 1).
Рисунок 1 - Катушка с тороидальным магнитопроводом
Катушка имеет магнитный сердечник с нелинейной основной кривой намагничивания H(B), где B – магнитная индукция, Тл, H – напряжённость магнитного поля, А·м. Кривая намагничивания задана экспериментально снятыми узлами и представлена в табл. 1. Кривую намагничивания, заданную таблично следует подвергнуть интерполяции по методу Лагранжа.
Для получения дополнительных точек на кривой намагничивания необходимо использовать линейную регрессию общего вида.
Матрицы имеют вид:
|
|
|
|
|
Зададим аппроксимирующие функции:
Вычислим коэффициенты аппроксимирующих функций:
|
Построим итоговую регрессионную функцию (рис. 2):
|
Рисунок 2 - Регрессионная функция для кривой намагничивания
Добавим точки, найденные с помощью регрессии общего вида. В результате получим матрицы:
|
Интерполируем точки методом Лагранжа:
Зададим кривую намагничивания для всего интервала:
Итоговая интерполированная функция имеем вид (рис. 3):
|
Рисунок 3 - Кривая Н(B), полученная методом Лагранжа
Часть 2. Расчёт переходного и установившегося процессов в цепи
В ч. 1 после интерполирования получена зависимость H(B), позволяющая по текущему значению магнитной индукции B найти величину напряжённости магнитного поля H.
Зададимся геометрией катушки: l = 15·10-2 м – средняя длина силовых линий напряжённости магнитного поля H в тороидальном магнитопроводе, S = 2·10-4 м2 – площадь поперечного сечения магнитопровода,w = 2000 – число витков катушки, R = 1 Ом.
Запишем дифференциальное уравнение (ДУ) равновесия электрической цепи
где ψ - потокосцепление катушки.
Приведём ДУ (1) к нормальной форме Коши:
В процессе интегрирования ДУ на каждом шаге по известному значению потокосцепления катушки вычислим ток в катушке. Для этого необходимо воспользоваться результатами интерполяции кривой H(B), выполненной в п.1, и известными соотношениями из теории магнитных цепей.
Магнитную индукцию B в магнитопроводе катушки можно выразить через S, w и ψ как:
Ток в катушке можно рассчитать как:
Решим ДУ методом Эйлера (табл. 2).
Построим зависимость напряжения, подаваемого на катушку, от времени (рис. 4):
Рисунок 4 - Питающее напряжение катушки
Зададим параметры катушки:
Функция потокосцепления имеет вид:
Определим нулевые точки:
Решим уравнение методом Эйлера:
Построим зависимости потокосцепления и тока от времени (рис. 5,6):
|
Рисунок 5 - Зависимости потокосцепления и тока катушки от времени
|
Рисунок 6 - Зависимость тока катушки времени
Определим время переходного процесса. Для этого зададим матрицы точек, соответствующих максимальным значениям зависимости I(t):
Для получения непрерывной функции применим сплайн-интерполяция:
Переходный процесс имеет вид (рис. 5,6):
Рисунок 7 - Изменение максимумов тока от времени
Рисунок 8 - Переходный процесс максимумов тока относительно верхней границы 10% зоны
Определим время переходного процесса методом дихотомии:
|
|
|
|
