Теоретико-множественный смысл целых неотрицательных чисел

Понятие целого неотрицательного числа

Теоретико-множественный смысл целых неотрицательных чисел

Натуральное число как мера величины

Теоретико-множественный смысл целых неотрицательных чисел

 

Терминологический минимум:отрезок натурального ряда Nа; конечное множество; счет элементов множества; теоретико-множественный смысл натурального числа; теоретико – множественный смысл отношений “равно” и “меньше”.

 

 

Количественные натуральные числа. Счет.   Отрезком натурального ряда Nа натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих числа а. Nа = { х\ х ÎN, х £ а }. Свойства отрезков натурального ряда: Любой отрезок Nа содержит единицу. Если число х содержится в отрезке Nа и х ¹а, то и непосредственно следующее за ним число х+1 также содержится в Nа.   Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку Nа натурального ряда.   Если непустое конечное множество А равномощно отрезку Nа, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут n(А) = а. Счетом элементов множества А называется установление взаимно – однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда Nа.

 

 

Теоретико -множественный смысл натурального числа и нуля. Любому непустому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, значит вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом все двухэлементные, и т.д. Множества одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств.   Т.о. натуральное число – это общее свойство класса конечных равномощных множеств.   Нуль– общее свойство класса пустых множеств. 0 = n (Æ). Натуральное число а, как характеристику множества можно рассматривать с двух позиций: 1.Как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т. е. n(А) = а и А~ Nа. 2.Как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Теоретико – множественный смысл отношений “равно” и “меньше”.   Определение Знаково-символическая запись определения Примеры рассуждения учащихся 1. Числа а и b равны, если они определяются равномощными множествами.   а= b Û А~В, гдеn(А) = а и n(B)= b. 3=3 2. а á b, если множество А равномощно собственному подмножеству множества В и а = n(А), b = n(B).   а á b Û А~В1, где В1Ì В, и В1 ¹ В, В1 ¹ Æ. 3<4 Возьмем три кружка и 4 квадрата. Круги накладываем на квадраты. Один квадрат остался незакрытым, значит, кругов меньше, чем квадратов. Поэтому можно записать так: 3<4   3.Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.   а á b Û $ с Î N, а + с = b.   3<4   4. Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда отрезок натурального ряда Nа является собственным подмножеством отрезка этого ряда Nb.   а á b ÛNа Ì Nb, Nа ¹ Nb. 3<4 Число 3 при счете называется раньше, чем 4. Значит 3<4.

 

 

Контрольные вопросы и задания. 1.Дайте определение отрезка натурального ряда и запишите множества , . 2. Что значит «пересчитать» элементы конечного множества? 3.Сформулируйте условия, которые должны соблюдать учащиеся, ведя счет предметов. 4. Прочитайте предложения n(А) =3, n(B)=5. В какой роли здесь выступает натуральное число? 5. Из школьных учебников математики для начальных классов приведите примеры двух заданий, в которых число выступает как: а) порядковое число; б) количественное число. 6. Каков теоретико-множественный смысл свойств транзитивности и антисимметричности отношения «меньше» для целых неотрицательных чисел. 7. Объясните разными способами, что: а) 3<5, б) 0<4, в) 1<6. 8. Из учебника математики для 1 класса приведите примеры трех заданий, в которых отношение «меньше» для целых неотрицательных чисел рассматривается с теоретико-множественных позиций.