Дисперсии доли альтернативного признака в совокупности,

Показатели вариации

Методические указания к решению задач

по теме «Показатели вариации»

Для измерения степени варьирования (колеблемости) признака служит вариация, показателями которой являются: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), коэффициент вариации.

 

 

Размах вариации

 

Размах вариации (R) характеризует пределы вариации (изменения) индивидуальных значений (или вариантов) признака (x) в статистической совокупности

где - наибольшее и наименьшее значение признака.

 

 

Среднее линейное отклонение

 

Среднее линейное отклонение вычисляется по формулам средней арифметической:

- простой (невзвешенной)

,

где - i -е значение признака x;

- средняя величина признака x;

- статистический вес i -го значения признака;

n - число членов совокупности;

 

- взвешенной

 

Среднее квадратическое отклонение

 

Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формулам:

- невзвешенной

- взвешенной

 

 

Дисперсия количественного признака

Дисперсия количественного признака определяется по формулам средней арифметической:

- невзвешенной

- взвешенной

 

Дисперсия может быть рассчитана следующим образом:

где - средний квадрат значений признака;

- квадрат средней величины признака.

 

 

Свойства дисперсии количественного признака

 

1. При уменьшении или увеличении весов (частот) варьируюшего признака в K раз дисперсия не изменяется

 

 

2. При уменьшении или увеличении каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсия не изменяется

 

где - среднее значение признака (x - A).

 

3. При уменьшении или увеличении каждого значения признака в одинаковое число K раз дисперсия уменьшается или увеличивается в K ² раз, а среднее квадратическое отклонение - в K раз

где - среднее значение признака xK.

 

4. Дисперсия признака относительно произвольной величины A всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величиной

Доказательство:

 

Дисперсия относительно средней величины

При А = 0

 

 

Способ моментов вычисления дисперсии

 

Метод упрощенного расчета дисперсии осуществляется по формуле

и называется способом моментов.

Показатели m ₁, m ₂ представляют собой моменты первого и второго порядка и рассчитываются следующим образом

 

Доказательство:

 

 

Дисперсии количественного признака в совокупности,

Разделенной на группы

 

Для анализа связей количественных признаков в статистической совокупности, разделенной на группы, рассчитываются следующие дисперсии: групповая, межгрупповая, внутригрупповая и общая.

Групповая дисперсия (частная) характеризует вариацию признака в группе, обусловленную действием на него всех прочих факторов, кроме признака, положенного в основание группировки (группировочного признака):

где - i -е значение признака в j -й группе;

- частная (групповая) средняя величина признака в j -й группе;

- статистический вес i -го значения признака в j -й группе;

- число различных значений признака в j -й группе.

Межгрупповая дисперсия измеряет степень колеблемости (вариацию) признака во всей статистической совокупности за счет фактора, положенного в основание группировки (группировочного признака):

где - среднее значение признака в совокупности (общая средняя);

- вес j -й группы, представляющий собой численность единиц в j -й

группе;

J - количество групп в статистической совокупности.

Внутригрупповая дисперсия (средняя групповых дисперсий) измеряет степень колеблемости признака во всей совокупности в целом за счет действия на него всех прочих факторов (признаков), кроме группировочного признака:

Общая дисперсия измеряет степень колеблемости признака, за счет влияния всех действующих на него факторов:

Общая дисперсия признака в статистической совокупности, разделенной на группы, может быть определена по основной формуле дисперсии

Межгрупповая и общая дисперсии применяются для определения показателей тесноты связи показателей в совокупности, разделенной на группы (см. п. 2.2.).

 

Дисперсия качественного альтернативного признака

 

Для определения дисперсии альтернативного признака допустим, что общее число единиц совокупности равно n. Число единиц, обладающих изучаемым признаком - f, тогда число единиц, не обладающих изучаемым признаком, равно (n - f). Ряд распределения качественного (альтернативного) признака имеет следующий вид

 

Значение переменной	Частота повторений
	f n - f
Итого	n

 

Средняя арифметическая такого ряда равна:

то есть равна относительной частоте (частости) появления изучаемого признака, которую можно обозначить через p, тогда

Доля единиц, обладающих изучаемым признаком равна p, доля единиц, не обладающих изучаемым признаком, равна q, тогда p+q = 1.

Дисперсия доли альтернативного признака определяется по формуле

 

 

Дисперсии доли альтернативного признака в совокупности,

Разделенной на группы

 

Дисперсия доли альтернативного признака в группе (групповая дисперсия) рассчитывается по формуле

 

где - доля единиц в j -й группе, обладающих изучаемым признаком;

- доля единиц в j -й группе, не обладающих изучаемым признаком.

Межгрупповая дисперсия доли признака

где - число единиц совокупности в j -й группе;

J - количество групп в статистической совокупности;

- средняя доля признака во всей совокупности, которая рассчитывается следующим образом

Внутригрупповая дисперсия (средняя из групповых дисперсий)

Общая дисперсия доли признака в статистической совокупности, разделенной на группы

Общая дисперсия может быть также рассчитана как сумма средней из групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии по правилу сложения дисперсий

 

Коэффициент вариации

 

Коэффициент вариации вычисляется по формуле

где - среднее квадратическое отклонение;

- средняя величина признака.

Коэффициент вариации выражается обычно в процентах и дает представление о степени однородности статистической совокупности. Если коэффициент меньше 25-30%, то статистическую совокупность по изучаемому признаку можно считать однородной.