Производная функций. Информационная карта с алгоритмом решения

ПРОЕКТИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

ПЛАН-КОНСПЕКТ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Дата	20-24.12.2016
Тема	Практическое занятие №15 «Правила дифференцирования»
Преподаватель	Лузан Л.О.
Профессия / Специальность
Группа	1503, 1504, 1503к, 1504к
Место проведения	корпус №5
Тип занятия	Практическое

Задачи учебного занятия

Методические:	- активизация учебно-познавательной деятельности обучающихся через опрос по правилам дифференцирования и выполнение самостоятельной работы - закрепление полученных знаний; - актуализация (ОК1, ОК2, ОК3);
Образовательные:	- формирование системы знаний опроизводной - формирование и закрепление навыка вычисления первой производной, составления уравнения касательной - изучить правила дифференцирования второй производной, физический смысл второй производной; - проверить навыки учащихся по нахождению производной;
Воспитательные:	- формирование познавательных мотивов - формирование сознательного отношения к обучению, учебной деятельности;
Развивающие:	- развитие личностных качеств: внимательность, инициативность; - развитие памяти, развитие логического мышления;

Методическое обеспечение учебного занятия: рабочая программа (КТП), конспект учебного занятия, раздаточный материал, литература

Периферийное оборудование: компьютер, панель

Структура и содержание учебного занятия

 

Этапы учебного занятия	Хронометраж учебного занятия	Деятельность преподавателя	Деятельность обучающихся
Организационный	5 минут	Подготовка к занятию, определение готовности к совместной деятельности, проверка наличия тетрадей и ручек. Цель занятия: актуализировать теоретические знания по нахождению первой производной, полученные на предыдущем уроке. Изучить правила дифференцирования второй производной, а также осуществить проверку знаний обучающихся (самостоятельная работа). Критерии оценивания по формулам:за каждый правильный ответ начисляется 1 балл, за неверный ответ или отсутствие ответа выставляется 0баллов. Шкала перевода баллов в отметку: Баллы 0-1       Отметка
Проверка присутствующих, контроль
Повторение и закрепление материала	20 минут	1. Повторение пройденного материала через письменный опрос по формулам дифференцирования. (Приложение №1) (5 мин) 2. Нахождение производных работа у доски Приложение №1 (10 мин) 3. Составление уравнений касательной Приложение №1 (5 мин)	Восприятие и осмысление пройденного материала, актуализация знаний, конспектирование в тетрадях
Изучение нового материала	15 минут	Правила дифференцирования второй производной, физический смысл второй производной. Производные второго и высшего порядка. Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y ¢= f ¢(x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается: . Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка - , и вообще производная n-го порядка - . Теоретическая часть (устный опрос). 1. В чём заключается механический смысл первой производной? Ответ. Производная функции у = f(х), в точке х0, выражает скорость изменения функции в этой точке. 2. Если функция задана законом прямолинейного движения S = S(t), то S' (t) –? Ответ.Скорость движения в момент времени t - это производная по перемещению S' (t) = v(t)   Разберем что есть вторая производная от закона движения? Ответ. Скорость изменения скорости этого движения, т.е. ускорение а(t) = v' (t) = S' ' (t). С физической точки зрения дифференцирование – определение скорости изменения переменной величины. Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной х.
Самостоятельная практическая деятельность	30 минут	Самостоятельная работа (8 вариантов) (цель: текущий контроль над усвоением знаний, еще раз закрепить знания по правилам дифференцирования, выявить пробелы). (Приложение №1, Самостоятельная работа)	1. Используя основные формулы дифференцирования, решают самостоятельную работу (30 мин.) (1-6 задание) 2. Составляют уравнение касательной (7 задание) 3. Сдают преподавателю на проверку
Проверка правильности выполнения самостоятельной работы остается за преподавателем.
Подведение итогов	5 минут	Теоретические выводы: в результате выполненной работы обучающиеся используют теоретические знания по основным операциям над векторами.
Заключительный	5 минут	Подведение итогов учебного занятия. Итоги по выполнению самостоятельной работы озвучиваются на следующем занятии.
¡ Домашнее задание. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t2+t+1. Найти действующую на тело силу F, кинетическую энергию тела через 2с после начала движения. ¡ Найти вторую производную функции:

1. Таблица производных:

f(x)

c, где с=const

x

xn

sinx

cosx

tgx

ctgx

a x

ex

lnx

f / (x)

nxn-1

cosx

-sinx

a xln a

ex

 

2. Правила дифференцирования:

(ku)^/ = ku^/

(u+v)^/ = u^/ + v^/

(uv)^/ = u^/v + uv^/

 

Практическая часть

1. Используя таблицу производных, правила дифференцирования суммы, произведения и частного элементарных функций, найти производные следующих функций:

2.

1.1	1.4	1.7
1.2	1.5	1.8
1.3 у =	1.6	1.9 у =

Теоретическая часть.

1. В чём заключается механический смысл первой производной?

Ответ. Производная функции у = f(х), в точке х₀, выражает скорость изменения функции в этой точке.

2. Если функция задана законом прямолинейного движения S = S(t), то S' (t) –?

Ответ. Скорость движения в момент времени t - это производная по перемещению S' (t) = v(t)

3. Что есть вторая производная от закона движения?

Ответ. Скорость изменения скорости этого движения, т.е. ускорение а(t) = v' (t) = S' ' (t).

С физической точки зрения дифференцирование – определение скорости изменения переменной величины. Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной х.

Выясняем формулы из физики, где используется производная.

ü υ(t) = х'(t) – скорость.

ü a(t) = υ'(t) – ускорение.

ü I(t) = q'(t) – сила тока.

ü с(t) = Q'(t) – теплоемкость.

ü d(l) = m'(l) – линейная плотность.

ü K(t) = l'(t) – коэффициент линейного расширения.

ü ω(t) = φ'(t) – угловая скорость.

ü e(t) = ω'(t) – угловое ускорение.

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности.

ü N(t) = A'(t) – мощность.

ü F(x)= A'(x) – Сила есть производная работы по перемещению.

ü Е = Ф'(t) – ЭДС индукции F = р'(t) – 2 закон Ньютона.

 

Примеры применения производной в физике
Задача	Решение
Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t2+t+1. 1. Какова кинетическая энергия тела в - момент времени 3 сек. после начала движения тела? - конце движения тела? 2. Какова сила, действующая на тело?	1. Wк = (mv2)/2 x ' (t) = v (t) = 2t+1, v (3) = 7, a(t)= v' (t) = 2, Wк = (4·72)/2=98 2. F = ma, a(t) = v' (t) = x' ' (t), x ' (t) = v (t) = 2t+1, a(t)= v' (t) = 2, F = ma = 4·2 = 8 H.
Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону φ(t)=0,1t2-0,5t+0,2. Найти угловую скорость вращения тела в момент времени t=20с.	ω(t) = φ'(t) φ'(t) = 0,2t-0,5 ω(t) = 0,2t-0,5 ω(20) = 3,5
Для любой точки С стержня АВ длиной 10 см, масса куска стержня АС определяется по формуле m(l)=3l2+5l. Найти линейную плотность стержня в середине отрезка АВ, в конце отрезка.	d(l) = m'(l) m'(l) = 6l+5 d(l) = 6l+5 d(5) = 6·5+5=35 – в середине отрезка d(10) = 6·10+5=65 – в конце отрезка
Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента времени t=0, задаётся формулой q=3t2-3t+4. Найти силу тока в конце 6-й секунды.	I(t) = q'(t) q'(t) = 6t-3 I(t) = 6t-3 I(6) = 6·6-3=33

Практическая часть.

 

1.Найти необходимые величины.

1.1 S(t)=2t4+3t2-t+√t3 v(t), a(t)-?	1.6 S(t)=12t 2-(2/3)t3 v(t), a(t)-?	1.11 S(t)=21t+2t2-(1/3)t3 v(t), a(t)-?
1.2 S(t)=5sin(3t+1), v(t)-?	1.7 S(t)=6cos(0,5t-4), v(t)-?	1.12 S(t)=0,5sin(4t+2), v(t)-?
1. 3 x(t)= - 4t2+2t+2, v(1)-?	1.8 x(t)= √t+2t2 - 3t+2, v(25)-?	1.13 x(t)=(-1/3)t3+2t2+5t, v(2)-?
1.4 x(t)=t3-4t2, a(5) -?	1.9 x(t)=0,25t4-2t2, a(1) -?	1.14 x(t)=t5+3t2-1, a(2) -?
1.5 x(t)=(-1/6)t3 +3t2 – 5, найти t, когда a(t)=0	1.10 x(t)=2t3+t-1, найти t, когда a(t)=2	1.15 x(t)= (-1/3)t3+2t2+5t, найти t, когда v(t)=0

2. Решить задачу.

2.1 Найти силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону s(t) = 2t³-t², при t=2.

 

2.2 Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t²+t+1. Найти действующую на тело силу F, кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.

 

2.3 Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол φ(t)=4t-0,3t². Найти угловую скорость ω(t) вращения маховика в момент времени 2 с.

 

2.4 Точка движется по закону x(t)=√t. Найти её скорость в момент времени 4с.

 

2.5 Найти скорость тела, движущегося по закону s(t)=3t+5.

 

2.6 Тело движется прямолинейно по закону s(t)=2t²-t+4. Найти скорость тела в моменты времени t₁=0, t₂=2, t₃=5 с.

 

2.7 Найти скорость движения точки в момент времени t=5с, если закон движения задан формулой s(t)=3t²-2t+5.

 

2.8 Тело движется прямолинейно по закону s (t)=1-2t+t³. Найти скорость и ускорение в момент времени t=3с.

 

2.9 Найти скорость и ускорение движения тела в момент времени t=2с, если закон движения задан формулой s=4t²-3.

 

2.10 Когда скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s(t)=t²-4t+5, равна 0?

 

2.11 Сила тока изменяется по закону I=0,4t². Найти скорость изменения силы тока в конце 8-й секунды.

 

2.12 Изменение силы тока в зависимости от времени задано уравнением I = 2t²-5t. Найти скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.

 

2.13 Количество теплоты Q, получаемое некоторым веществом при нагревании определяется по формуле Q=10t+0,5t². Найти теплоёмкость этого вещества при 20 К.

 

Производная функций. Информационная карта с алгоритмом решения

Вариант №1

№ п/п	Формула производной	Задания для самостоятельного решения
	Если у=С, где С-const (постоянная), то y'=(C)'=0 Пример:1) у=6 (т.е. С=6), тогда y'=(6)'=0 2) у=-0,81 (т.е. С=0,81), тогда y'=(0,81)'=0	1) у=31 2) у=-1/3
	Если у=сх, где С-const (постоянная), то y'=(сх)'=с Пример:1) у=5х (т.е. С=5), тогда y'=(5х)'=5 2) у=-3х (т.е. С=-3), тогда y'=(-3х)'=-3 3) у=2х/5 (т.е. С=2/5), тогда y'=(2х/5)'=2/5	1) у=17х 2) у=-0,2х 3)у=х/3
	Если у=х (где n, где n N, n≥2), то y'= nх . Пример: 1) (т.е. n=10), тогдаy' 2) (т.е. n=2), тогдаy'	1) у= 2) у= 3) у=-
	Если у=cх (где n, где n N, n≥2, С-const), то y'= с·nх Пример: 1) (т.е. n=10, с=3), тогдаy' 2) (т.е. n=2, с=- ), тогдаy'	1) у= 2) у= 3) у=-0,5
	Если y'=(u+v)', где u, v –функции, то y'=u'+v' Пример: 1) (т.е. u= , v=3), тогдаy' 2) (т.е. u=6x, v=3), тогдаy'=	1) y=1-2x 2) y=13x 3) y=5x
	Если y=u·v, где u, v –функции, то y'=u'v+uv' Пример: 1) (т.е. u= , v= ), тогда у'=(6х-3)'(2-х)+(6х-3)(2-х)'=6(2-х)+(6х-3)(-1)=12-6х-6х+3=-12х+15 2) у=3х (х+5) (т.е. u=3x , v=x+5), тогда у'=(3x )'(х+5)+ 3x (х+5)'=3·3х (х+5) +3x ·1=9x (х+5)+ 3x =9x +45x +3x =12x +45x	1) у=(5-2х)(3х+1) 2) у= 7 3) y=(x
	Если y= , где u, v –функции, v , то Пример: 1) (т.е. u=х+2, v=х-1), тогда	1)
	Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке имеет вид: Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)1. Обозначить буквой абсциссу точки касания. 2. Найти f(). 3. Найти f '(x) и f '(). 4. Подставить найденные числа a, f(x), f '() в общее уравнение касательной y - f() = f '(x)(x – ). Примеры составления уравнения касательной. Пример 1. Составьте уравнение касательной в точке =3 к графику функции Решение1. a = 3 – абсцисса точки касания. 2. f(3) = – 2. 3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 5. y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.

Задание для практической работы по теме «Вычисление производных функций»: Вычислить производные функций:

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
1. y= =x3-15 2. y=-3x3+5х-8+4x2   3. y=(x3-1)(x+1)   4. y=(x3-2)(3x+1) 5. 6. 7. Y=3x3-x,	1. y= =2x2-1 2. y= x3+6х-18+6x2   3. y=(x2+1)(x-5)   4. y=(x3+2)(7x-3) 5. 6. 7. Y=-x3+x,	1. y= =8x2+х 2. y= x4+5х-1+2x2   3. y=(x2+2)(x+5)   4. y=(x3+2х)(x+15) 5. 6. 7. Y=-3x2+12x,
Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6
1. y= =3x3-5 2. y= 5x3+5-8х+x2   3. y=(x3-7)(2x+1)   4. y=(x3-6)(x+1) 5. 6. 7. Y=x2+5x+4,	1. y= =4x2+5х 2. y=x4+х-10+5x2   3. y=(x2-5)(x+2)   4. y=(3x3+х)(x-5) 5. 6. 7. Y=-x2+2x+15,	1. y= =2x3-х   2. y= 4x3+5х-8+2x2   3. y=(x3-1)(x+2)   4. y=(x3-2)(2x+1) 5. 6. 7. Y=1/3x3-9,
Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9
1.   2. у=15x3+6-2х+x2   3. y=-8x2(х+1)   4. y=4x(1-2x-2x2)   5. y=sin x/ln x 6. 7. Y=3x3-x,	1. Y=3x -5   2. у=2x4+5х-10+5x2   3. y=-2x(5x+3)   4. y=(3x-5)(5-x2) 5. 6. y=cos x·2x   7. Y=-x3+x,	1. y= =-3x3 2. y= 3x3+15х-8+x2   3. y=(x3-1)(x+1)   4. y=5x ·tg x 5. 6. 7. Y=-3x2+12x,