Предел функции на бесконечности

Определение 1. Функция a(х), определенная на луче [ а;+ ), называется бесконечно малой при х, стремящемся к плюс бесконечности (пишут: х ®+ ), если для любого положительного числа e существует такое число М, зависящее от e, что при всех х, больших М, ïa(х)ï<e.

Другими словами, какой бы интервал (–e;e) мы ни взяли, все значения функции, начиная с некоторого значения аргумента, попадают в этот интервал.

Определение 1*. Функция a(х), определенная на луче (– ; a ], называется бесконечно малой при х, стремящемся к минус бесконечности (х ®– ), если для любого положительного числа e существует такое число М, зависящее от e, что при всех х, меньших М, ïa(х)ï<e.

Определение 1**. Функция a(х), определенная на промежутке (– ; a ]È[ b;+ ), называется бесконечно малой при х, стремящемся к бесконечности (х ® ), если для любого положительного числа e существует такое число М, зависящее от e, что при всех х таких, что ï х ï>М, ïa(х)ï<e.

Замечание. Если функция a(х) является бесконечно малой при х ®+ (или при х ®– , или при х ® ), то график у =a(х) имеет горизонтальную асимптоту у =0 при х ®+ (соответственно при х ®– или при х ® ).

Свойства функций, бесконечно малых на бесконечности, аналогичны свойствам бесконечно малых последовательностей и аналогично доказываются. Сформулируем эти свойства для функций, бесконечно малых на плюс бесконечности.

1 ^о. Если бесконечно малая на плюс бесконечности функция a(х) – постоянная, то a(х)=0 при всех х.

 

 

2 ^о. Если функции a(х) и b(х) – бесконечно малые на плюс бесконечности, то функция g(х)=a(х)+b(х) – тоже бесконечно малая.

3 ^о. Если функция a(х) – бесконечно малая на плюс бесконечности и ïb(х)ï£ïa(х)ï при всех х ³М, то функция b(х) – тоже бесконечно малая.

4 ^о. Если функция a(х) – бесконечно малая на плюс бесконечности, то эта функция ограничена на некотором луче х ³М.

5 ^о. Если функция a(х) – бесконечно малая на плюс бесконечности, а функция b(х) ограничена на некотором луче х ³М, то функция g(х)=a(х)b(х) – тоже бесконечно малая.

Следствие 1. Если функция a(х) – бесконечно малая на плюс бесконечности, то для любого числа С функция Сa(х) – бесконечно малая.

Следствие 2. Если функции a(х) и b(х) – бесконечно малые на плюс бесконечности, то функция g(х)=a(х)b(х) – тоже бесконечно малая.

Определение 2. Пусть функция f (х) определена на луче [ х ₀;+ ). Число а называется пределом функции f (х) при х ®+ , если функция a(х)= f (х)– а, является бесконечно малойпри х ®+ .

Обозначение предела функции на бесконечности:

а = .

Из определения следует, что для функции, бесконечно малой на плюс бесконечности, = 0, а предел постоянной функции f (х) =а равен а.

Свойства предела функции на плюс бесконечности сформулируем в виде теорем, аналогичных теоремам 1-5 предыдущего пункта.

 

Теорема 1 (о единственности предела). Если = a и = b, то a = b.

Теорема 2 (об ограниченности функции, имеющей предел). Если = a, то существует такой луч х ³М, на котором функция ограничена.

Теорема 3 (о переходе к пределу в неравенстве). Если = a и = b, причем f (x)£ g (x) на некотором луче х ³М, то a £ b.

Следствие. Если = a, причем f (x)£0 на некотором луче х ³М, то a £0. Если = a, причем f (x)³0 на некотором луче х ³М, то a ³0.

Теорема 4 (о промежуточной функции). Если = a и = a, причем f (x)£ h (x)£ g (x) на некотором луче х ³М, то = a.

Теорема 5 (об арифметических операциях с пределами).

1) Если = a и = b, то = a + b.

2) Если = a и = b, то = bc.

Следствие. Если = a, то = Ca.

3) Если = a, причем a ¹0, то = .

Следствие. Если = a и = с, причем c ¹0, то = .

Замечание. Если = a, то график у = f (х) имеет горизонтальную асимптоту у = a при х ®+ .

Аналогично формулируются и теоремы о пределе функции на минус бесконечности и на бесконечности.

Определение 3. Функция a(х) называется бесконечно большой при х ®+ , если функция является при х ®+ бесконечно малой. Это записывают так: = ¥. Аналогично определяется функция, бесконечно большая при х ®– или при х ® .

Важный пример. Если функция f (х) является отношением многочленов Р(х) степени n и Q(x) степени k, то при k > n функция f (x) является бесконечно малой при х ® , а при k < n функция f (x) является бесконечно большой при х ® . Если же k = n, то функция f (x) при х ® имеет предел, равный отношению старших коэффициентов многочленов Р(х) и Q(x).