Глава 2. Элементы векторной алгебры
Векторы
Определение 1. Вектор – это отрезок, имеющий определенную длину и направление. Если А – начало вектора, В – его конец, то вектор обозначается символом 
или 
.
Вектор 
называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается - .
Определение 2. Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ и обозначается 
или 
. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 
. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через 
.
Определение 3. Векторы и 
называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Определение 4. Два вектора и называются равными ( = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
Определение 5. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Линейные операции над векторами.
Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
Пусть и - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор 
. От точки А отложим вектор 
. Вектор 
, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : 
(рис. 1).
В
О А
Рис. 1.
Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.
Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (рис. 2).
А С
О В
Рис. 2.
Под разностью векторов и понимается вектор 
, такой, что 
(рис.3).
А
О В
Рис.3.
Произведением вектора на число к называется вектор 
, который имеет длину 
, коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если к > 0 и противоположное направление, если к < 0.
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
1. = 
, 4. 
,
1. () + 
= 
+ ), 5. 
.
2. 
,
Разложение вектора по координатным осям
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Оxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy, Oz единичные векторы 
соответственно (рис. 4).
Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: 
.
Найдем проекции вектора на координатные оси.
Проведем через конец вектора 
плоскости, параллельные координатным плоскостям.
Рис. 4 Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М1, М2, М3. Получим прямоугольный параллелепипед. Ясно, что 
. Проекцией вектора на ось Ox является отрезок 
, на Oy - 
, на Oz - 
.
Тогда вектор может быть представлен в виде 
. Такое представление называется разложением вектора по осям координат, или разложением по ортам.
Числа 
называются координатами вектора . Пишут = ().
Зная координаты вектора , легко найти его модуль: 
.
Если вектор составляет с осями координат углы 
, то можно найти, что 
.
Отсюда
.
Числа 
называются направляющими косинусами вектора . Они связаны соотношением
.
Пусть даны два вектора = (), = (
), тогда:
1. 
;
2. 
= (
);
3. = 
4. Вектор коллинеарен вектору тогда и только тогда, когда выполняется условие 
, т.е. координаты коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.
5. Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Оxyz. Вектор , начало которого находится в начале координат, а конец в точке М (x,y,z) называется радиусом-вектором точки М и обозначается 
, причем 
.
Рис. 5. Тогда если известны координаты точек 
, то 
(рис. 5).
Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.
Пример 1. Даны координаты вершин Δ АВС: А (1;2;3), В (3;2;1), С (1;4;1). Показать, что Δ АВС – равносторонний.
Решение: Найдем координаты векторов , 
, 
. Получим
= (3-1, 2-2, 1-3) = (2, 0, -2), = (-2, 2, 0), = (0, 2, -2). Вычислим длины данных векторов. Имеем = 
, 
= 
, 
= . Так как = = , то Δ АВС – равносторонний.
