Контрольные задания для модуля 1.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Федеральное государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Физический факультет

 

Рассмотрено и рекомендовано УТВЕРЖДАЮ

на заседании кафедры радиофизики

физического факультета ЮФУ Декан факультета

Протокол № ________ (зам. декана по учебной работе)

«______» _____________________ 2008 г. __________________________

Зав. кафедрой ______________________ __________________________

«_____» ______________ 2008 г.

 

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

Учебной дисциплины

«Современные методы спектрального оценивания»

Для обучения студентов в бакалавриате

по направлению «Радиофизика» (013800)

Составитель: д.ф.-м.н. Вертоградов Г.Г.

Ростов-на-Дону

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ. 2

Рабочая программа по курсу «Современные методы спектрального оценивания» для обучения студентов в бакалавриате «Радиофизика». 3

1. Цели и задачи курса «Современные методы спектрального оценивания» и его место в учебном процессе. 4

1.1. Цели преподавания курса «Современные методы спектрального оценивания». 4

1.2. Задачи изучения курса «Современные методы спектрального оценивания». 5

1.3. Перечень дисциплин, необходимых для изучения курса «Современные методы спектрального оценивания». 5

2. Учебно-тематический план занятий. 6

2.1.Учебно-тематический план лекционных занятий. 6

2.2. Учебно-тематический план самостоятельной работы студентов. 9

2.3. Литература для самостоятельной работы по учебно-тематическому плану. 12

3. Учебные модули. 13

3.1. Содержание модуля 1. 13

3.2. Контрольные задания для модуля 1. 13

3.3. Содержание модуля 2. 15

3.4. Контрольные задания для модуля 2. 15

3.5. Содержание модуля 3. 16

3.6. Контрольные задания для модуля 3. 17

4. Самостоятельная работа студентов. 18

5. Мониторинг процесса обучения. 19

6. Перечень экзаменационных вопросов, выносимых на устный экзамен. 19

6.1. Перечень билетов с вопросами, выносимых на экзамен. 19

7. Глоссарий (толковый словарь терминов). 22

8. Рекомендуемая литература. 30

Рабочая программа по курсу «Современные методы спектрального оценивания» для обучения студентов в бакалавриате «Радиофизика»

Курс – 4

Семестр – 8

Экзамен – 1

Аудиторных занятий (лекции) – 36 часов

 

 

1. Цели и задачи курса «Современные методы спектрального оценивания» и его место в учебном процессе.

Во многих областях науки и техники перед исследователем или инженером возникает задача, как на основе данных, полученных на конечном интервале времени или пространства сделать максимально достоверные выводы об исходном образе, с которым связаны эти данные. Поскольку «спектр» означает «образ», то оценка спектра по данным конечного объема также принадлежит к указанным задачам. Причем качество и достоверность оценки спектра оказывает решающее влияние на формирование наших представлений об исходном образе. Бурное развитие цифровой вычислительной техники значительно расширило сферы приложения методов спектрального оценивания к обработке информации, сформировав направление цифрового спектрального анализа, который в свою очередь стимулирует дальнейший прогресс средств обработки реального времени и их реализации. Любая система обработки информации, как известно, представляет собой единство трех компонент: технических средств, программного и алгоритмического обеспечения. В настоящем курсе обсуждаются вопросы алгоритмического обеспечения современных методов спектрального анализа.

1.1. Цели преподавания курса «Современные методы спектрального оценивания».

1.1.1. Изложить основные этапы анализа случайных данных: сбор и предварительная обработка, оценивание корреляционных функций, спектральных характеристик, оценка надежности полученных результатов.

1.1.2. Дать достаточно полный обзор существующих методов спектрального оценивания и их практических реализаций.

1.1.3. Познакомить студентов с практикой спектрального оценивания, которая в большей степени базируется на эмпирическом опыте, а не на солидной теоретической основе.

1.2. Задачи изучения курса «Современные методы спектрального оценивания».

1.2.1. Сформировать у студентов теоретические понятия и представления, используемые современными цифровыми методами спектрального оценивания.

1.2.2. Изучить классические цифровые методы оценивания моментов случайных процессов и спектральных характеристик.

1.2.3. Сформировать у студентов представления об основных современных методах спектрального оценивания и способах их алгоритмической реализации.

1.2.4. Рассмотреть вопросы возможности организации процессов спектральной обработки информации в реальном масштабе времени на основании наиболее популярных алгоритмов оценок СПМ.

1.2.5. Дать студентам ясное представление о границах применимости различных методов спектрального оценивания, их преимуществах и недостатках.

1.2.6. В результате изучения курса студенты должны освоить основные понятия и принципы современной теории цифрового спектрального анализа. Научиться применять полученные знания для цифровой спектральной обработки случайных сигналов ограниченной длительности.

1.3. Перечень дисциплин, необходимых для изучения курса «Современные методы спектрального оценивания».

1.3.1. Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление.

1.3.2. Линейная алгебра.

1.3.3. Векторный и тензорный анализ.

1.3.4. Основы теории функций комплексного переменного.

1.3.5. Основы теории вероятности.

1.3.6. Статистическая радиофизика.

1.3.7. Методы формирования и обработки сигналов.

Учебно-тематический план занятий.

Учебно-тематический план лекционных занятий.

Учебно-тематический план лекций таблично (таблица 1) структурирован по модулям. План содержит три модуля, темы лекций с их кратким содержанием и числом аудиторных лекционных часов.

Таблица 1

Модуль	Номер темы	Тема	Краткое содержание	Число часов
		Введение.	Задачи курса, его содержание. Общая характеристика современных методов спектрального оценивания. Основные свойства стационарных случайных функций. Определение случайной функции.
	Медоды описания случайных функций.	Моменты случайной функции. Корреляционная теория. Стационарность. Свойства корреляционной функции.
	Спектральное разложение случайного процесса.	Спектральное разложение стационарного случайного процесса. Уравнение Крамера. Спектральное разложение корреляционной функции. Теорема Бохнера-Хинчина. Теорема Винера-Хинчина.
	Оценка математического ожидания случайного процесса.	Понятия несмещенной и состоятельной оценки. Оценка среднего значения по результатам наблюдений. Эргодическая теорема для математического ожидания. Рекурсивное оценивание математического ожидания. Оценка математического ожидания ограниченного по полосе белого шума. Радиус корреляции (первое определение).
	Оценка корреляционной функции случайного процесса.	Оценивание корреляционной функции по результатам наблюдений. Эргодическая теорема для корреляционной функции. Корреляционное окно. Рекурсивное оценивание дисперсии. Оценка корреляционной функции ограниченного по полосе белого шума. Радиус корреляции (второе определение).
	Оценка спектральной плотности мощности случайного процесса.	Оценивание спектральной плотности мощности стационарного (СПМ) случайного процесса. Смещенность оценки СПМ. Несостоятельность оценки СПМ. Корреляционная функция оценки СПМ.
	Теоретические основы классических методов оценивания спектральной плотности мощности.	Метод осреднения по ансамблю. Состоятельность и асимптотическая несмещенность оценки СПМ. Метод осреднения по частоте. Состоятельность и асимптотическая несмещенность оценки СПМ. Спектральное окно.
		Практическое оценивание СПМ классическими методами.	Классические методы спектрального анализа (периодограммный метод). Явление Утечки. Временное окно на данные. Коррелограммный метод оценки СПМ; Периодограммный метод оценки СПМ; Комбинированные периодограммные-коррелограммные оценки.
	Быстрые алгоритмы дискретного преобразования Фурье.	Алгоритмы Кули-Тьюки, Гуда-Томаса, Герцеля, Винограда. Разрешение и произведение «устойчивость*длительность*ширина полосы».
	Методы моделирования с использованием рациональной передаточной функции.	Подходы к моделированию и идентификации параметров. АР-, СС- и АРСС-модели случайных процессов. Соотношения между параметрами АР-, СС- и АРСС-моделей.
	Уравнения Юла-Уокера.	Соотношение АР-, СС- и АРСС-параметров с автокорреляционной последовательностью. Уравнения Юла-Уокера.
	Фильтры линейного предсказания.	Спектральная факторизация. Связь параметров АР-модели с фильтрами линейного предсказания. Алгоритм Левинсона. Коэффициенты отражения. Свойства спектральной плотности мощности авторегрессионного процесса. Спектральное оценивание на основе метода максимальной энтропии. Автокорреляционное обобщение АР-оценки.
	Методы оценивания параметров АР-модели.	Групповая оценка АР-параметров. Геометрический алгоритм. Гармонический алгоритм (Берга). Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов. Характеристики оценок. Последовательная оценка АР-параметров. Рекурсивные ав-торегрессионные методы наименьших квадратов. Выбор порядка модели. Аномалии и коррекция спектральных АР-оценок.
	Метод Прони.	Исходный подход Прони. Метод наименьших квадратов Прони. Спектр Прони. Оценивание спектральных линий по методу Прони.
	Метод Кейпона.	Спектральное оценивание с помощью метода максимального правдоподобия Кейпона (по методу минимума дисперсии).
		Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений.	Метод гармонического разложения Писаренко. Оценивание частот суммы нескольких синусоид: Модификация метода линейного предсказания (Тафтс). Метод MUSIC.
	Оценивание СПМ на основе многооконного МТМ-метода.	Корректный подход к непараметрическому оцениванию СПМ. МТМ-метод (Д.Дж.Томсон).
	Биспектральное оценивание.	Свойства биспектра. Обычные методы биспектрального оценивания. Параметрические методы биспектрального оценивания. Применение биспектра.
	Кепстр и его применение при обработке данных.	Кепстр мощности. Комплексный кепстр. Фазовый кепстр. Затруднения, связанные с фазой. Обработка данных. Речь, сейсмические явления, гидроакустика.
Итого	36 часов

Учебно-тематический план самостоятельной работы студентов.

Учебно-тематический план самостоятельной работы студентов таблично (таблица 2) структурирован по модулям. План содержит три модуля, темы самостоятельной работы с их кратким содержанием и числом часов, необходимых для самостоятельного изучения тем.

 

Таблица 2

Модуль	Номер темы	Тема	Краткое содержание	Число часов
		Введение.	Основные свойства стационарных случайных функций. Определение случайной функции.	0.5
	Медоды описания случайных функций.	Свойства корреляционной функции.	0.5
	Спектральное разложение случайного процесса.	Уравнение Крамера. Спектральное разложение корреляционной функции.
	Оценка математического ожидания случайного процесса.	Оценка среднего значения по результатам наблюдений. Рекурсивное оценивание математического ожидания.
	Оценка корреляционной функции случайного процесса.	Практическая оценка корреляционной функции. Корреляционное окно. Рекурсивное оценивание дисперсии.
	Оценка спектральной плотности мощности случайного процесса.	Смещенность оценки СПМ. Несостоятельность оценки СПМ. Корреляционная функция оценки СПМ.
	Теоретические основы классических методов оценивания спектральной плотности мощности.	Метод осреднения по ансамблю. Метод осреднения по частоте. Спектральное окно.
		Практическое оценивание СПМ классическими методами.	Явление Утечки. Временное окно на данные. Коррелограммный метод оценки СПМ; Периодограммный метод оценки СПМ.
	Быстрые алгоритмы дискретного преобразования Фурье.	Алгоритмы Кули-Тьюки, Гуда-Томаса.
	Методы моделирования с использованием рациональной передаточной функции.	Подходы к моделированию и идентификации параметров.
	Уравнения Юла-Уокера.	Построение уравнений Юла-Уокера для оценки параметров АР-модели.
	Фильтры линейного предсказания.	Связь параметров АР-модели с фильтрами линейного предсказания. Алгоритм Левинсона. Спектральное оценивание на основе метода максимальной энтропии.
	Методы оценивания параметров АР-модели.	Гармонический алгоритм (Берга). Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов. Выбор порядка модели.
	Метод Прони.	Метод наименьших квадратов Прони. Спектр Прони.
	Метод Кейпона.	Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии.
		Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений.	Модификация метода линейного предсказания (Тафтс). Метод MUSIC.
	Оценивание СПМ на основе многооконного МТМ-метода.	Основы МТМ-метода (Д.Дж.Томсон).
	Биспектральное оценивание.	Понятие биспектра. Применение биспектра.
	Кепстр и его применение при обработке данных.	Понятие кепстра мощности. Применение кепстрального анализа
Итого	18 часов

Литература для самостоятельной работы по учебно-тематическому плану.

Модуль 1.

Тема 1. Осн.: Л1 с. 7-35, Л6 с. 119 - 121. Доп.: Л15 с.90- 97.

Тема 2. Осн.: Л1 с. 35-54, Л6 с. 121 - 129. Доп.: Л15 с.160 – 183.

Тема 3. Осн.: Л1 с. 97-116, Л6 с. 130 – 148. Доп.: Л13.

Тема 4. Осн.: Л1 с. 54-65, Л6 с. 153 - 157.

Тема 5. Осн.: Л1 с. 65-77, Л6 с. 163 – 165. Доп.: Л15 с. 112-157, Л5 с. 255-291.

Тема 6. Осн.: Л1 с. 184-189, Л6 с. 276 – 280. Доп.: Л5 с. 293-335.

Тема 7. Осн.: Л1 с. 190-205, Л6 с. 385 – 415. Доп.: Л15 с. 236-305.

 

Модуль 2.

Тема 8. Осн.: Л2 с.164-205, Л5 с.306 - 311 Доп.: Л15 с. 242 – 271.

Тема 9. Осн.: Л2 с. 43-72, Л5 с.200-250. Доп.: Л3 с. 128 – 157.

Тема 10. Осн.: Л10, Л2 с. 214 – 229. Доп.: Л1 с.131 – 161.

Тема 11. Осн.: Л10, Л2 с. 252 – 285. Доп.:Л11

Тема 12. Осн.: Л10, Л2 с.344-360, Доп.: Л5 с.39 – 42, Л12.

Тема 13. Осн.: Л10, Л2 с. 252 – 285

Тема 14. Осн.: Л10, Л2 с. 365 – 390.

Тема 15. Осн.: Л10, Л2 с. 418 – 427.

 

Модуль 3.

Тема 16. Осн.: Л8, Л10, Л2 с. 430 – 446.

Тема 17. Осн.: Л13.

Тема 18. Осн.: Л9.

Тема 19. Осн.: Л14.

Учебные модули.

Содержание модуля 1.

Материал модуля 1 включает в себя изложение основных понятий теории случайных функций; корреляционной и спектральной тории стационарных случайных процессов; теории оценивания; теоретического обоснования классических способов получения асимптотически несмещенных состоятельных оценок математического ожидания, корреляционной функции, спектральной плотности мощности. Основное внимание уделяется корректному описанию спектральных характеристик случайных процессов. Модуль 1 является базовым для второго модуля, так как в нем излагаются основные понятия, доказываются все теоретические положения, необходимые для понимания как классических, так и новых современных методов цифрового спектрального оценивания.

Комплексная цель модуля 1 – ввести основные понятия, доказать базовые теоретические положения, которые лежат в основе современных цифровых методов корреляционного и спектрального оценивания; дать обоснование классических методов оценивания математического ожидания, корреляционной функции и спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса.

Контрольные задания для модуля 1.

3.2.1. Дайте определение случайной функции.

3.2.2. Дайте определение стационарного в узком и широком смысле процесса.

3.2.3. Приведите примеры стационарных сигналов.

3.2.4. Приведите примеры случайных сигналов допускающих полное статистическое описание.

3.2.5. Назовите основное фундаментальное свойство корреляционной функции.

3.2.6. Как и по каким причинам используется рекурсивное оценивание математического ожидания в реальном масштабе времени.

3.2.7. Как и по каким причинам используется рекурсивное оценивание дисперсии в реальном масштабе времени.

3.2.8. Поясните смысл радиуса корреляции.

3.2.9. Как связана дисперсия оценки математического ожидания стационарного процесса по конечной выборке с дисперсией стационарного случайного процесса?

3.2.10. Как связана дисперсия оценки дисперсии стационарного процесса по конечной выборке с дисперсией стационарного случайного процесса?

3.2.11. Назовите основные свойства спектра стационарного случайного процесса.

3.2.12. Какие случайные процессы связывает уравнение Крамера?

3.2.13. Назовите основное фундаментальное свойство спектральной плотности мощности, и с каким свойством корреляционной функции оно связано.

3.2.14. Как связаны между собой спектральная плотность мощности и спектр стационарного случайного процесса.

3.2.15. Что Вы можете сказать о статистических свойствах оценок математического ожидания и корреляционной функции?

3.2.16. Приведите формулы для оценок математического ожидания и корреляционной функции по дискретной выборке конечной длины.

3.2.17. Что Вы можете сказать о статистических свойствах оценок спектральной плотности мощности периодограммным методом?

3.2.18. Какие методы получения состоятельных оценок на основе периодограммного метода Вы знаете?

3.2.19. Для каких целей применяются спектральные окна?

3.2.20. Чем определяется предельное спектральное разрешение спектрального анализа на основе периодограммного метода?

3.2.21. Как влияет использование спектральных окон на спектральное разрешение?

3.2.22. Как изменяет дисперсию оценок СПМ использование спектральных окон?

3.2.23. Поясните, из каких соображений должно выбираться то или иное спектральное окно.

3.2.24. Для каких целей используются корреляционные окна?

3.2.25. Как связаны между собой корреляционные и спектральные окна?

Содержание модуля 2.

Материал модуля 2 включает изучение практических методов и алгоритмов спектрального оценивания. Здесь рассматриваются вопросы, касающиеся практического оценивания спектральной плотности мощности, как классическими методами, так и современными непараметрическими и параметрическими методами высокого спектрального разрешения. Рассматриваются возможные ограничения изученных методов и области их применения.

Комплексная цель модуля 2 – изучить различные современные непараметрические и параметрические методы цифрового спектрального оценивания, сформировать у студентов основы правильных представлений о возможностях существующих цифровых методов спектрального оценивания и областях их применения.