Установочные лекции
Семестр (ЗАС)
Методы решения нелинейных скалярных уравнений
def Уравнение 
, 
- алгебраическое уравнение n -ой степени с n неизвестными. 
- действительные числа.
Если f(x) – трансцендентная функция (показательная, логарифмическая, тригонометрическая и т.д.), то уравнение 
называют трансцендентным.
def К орнем уравнения 
(ноль функции) 
называют значение переменной 
, которое обращает уравнение в верное равенство, т.е. 
.
В большинстве случаев, корни сложного скалярного уравнения точно найти редко удается. Поэтому большое значение имеют способы приближенного нахождения корней и оценка их точности.
Задача нахождения приближенного значения корня уравнения состоит из двух шагов:
1)
2)
Способы локализации корней
I. Графический способ локализации корня уравнения .
Пример:.
Теорема. Если непрерывная на отрезке 
функция 
на концах его имеет противоположные знаки, т.е. 
, то на интервале 
она имеет хотя бы один корень. Если же при этом строго монотонная, т.е. 
не меняет знак на 
, то на существует единственный корень.
II. Метод дихотомии. САМОСТОЯТЕЛЬНО.
III. Метод половинного деления. САМОСТОЯТЕЛЬНО.
Решение уравнений методом хорд и касательных
1. Метод хорд.
Пусть дано уравнение , 
и 
.
Точки графика 
и 
соединим хордой.
За приближенное значение искомого корня примем абсциссу 
точки пересечения хорды АВ с осью Ох.
Это приближенное значение находится по формуле
где 
.
Пусть 
, тогда за новый промежуток изоляции корня можно принять 
. Соединив точки 
и , получим в точке пересечения хорды с овью Ох второе приближение 
, которое вычислим по формуле
и т.д. Последовательность чисел 
стремится к искомому корню уравнения .
Вычисление приближенных значений корней уравнения ведутся до тех пор, пока не будет достигнута заданная степень точности.
Если 
- точный корень уравнения , изолированный на отрезке 
, а 
- приближенное значение корня, найденное методом хорд, то оценка погрешности этого приближенного значения такова:
.
2. Метод касательных (метод Ньютона).
Пусть дано уравнение , и .
Возьмем на отрезке такое число , при котором 
имеет тот же знак, что вторая производная 
, т.е. 
(в частности, за может быть принят один из концов интервала, в котором выполняется условие).
Проведем в точке 
касательную к кривой 
. За приближенное значение корня примем абсциссу точки пересечения этой с осью Ох. Это приближенное значение корня находится по формуле
Применив этот прием вторично в точке 
, найдем
И т.д. Полученная таким образом последовательность 
имеет своим пределом искомый корень.
Для оценки погрешности приближенного значения корня, найденного методом Ньютона, может быть использовано неравенство
.
3. Метод итераций. САМОСТОЯТЕЛЬНО.
Интерполяция функций
1. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Пусть дана таблица значений
| 
| 
| 
| … | 
|
| 
| 
| 
| … | 
|
Требуется составить многочлен 
степени 
, который принимал бы заданные значения 
при соответствующих значениях 
, т.е. 
. Иными словами, график этого многочлена должен проходить через заданные n точек 
.
Обозначим через
вспомогательный многочлен n-ой степени, в котором - заданные табличные значения аргумента. Тогда имеет место равенство
или
.
Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа.
Пример.
Дана таблица значений
| х | ||||
| у |
Составить многочлен Лагранжа. Построить.
Вспомогательный многочлен имеет вид
Найдем 
при каждых значениях х.
2. Интерполяционная формула Ньютона.
САМОСТОЯТЕЛЬНО.
