Доверительные оценки параметров.

Оценка значимости (достоверности) результата исследования.

 

Пусть в результате статистического наблюдения получен ряд из n независимых измерений дискретных случайных величин Х₁, Х₂, …, Х_n (т.е. выборка). Требуется оценить истинное значение а (т.е. для генеральной совокупности, из которой взяты выборки объемом n) измеряемой величины. Это значит:

а) указать такую функцию g (Х₁, Х₂, …, Х_n) от результатов измерений, которая дает достаточно хорошее приближение к значению а. Такая функция называется точечной оценкой или просто оценкой значения а; g (Х_i)® a при п ® ¥.

б) указать границы интервала (g - , g + ), который с заданной вероятностью Р покрывает истинное значение а. Такая оценка называется доверительной оценкой, вероятность Р – доверительной вероятностью (надежностью, достоверностью), интервал (g - , g + ) – доверительным интервалом (точностью), а его границы – доверительными границами.

Обычно доверительная вероятность задается в виде одного из трех уровней:

0.95, 0.99 или 0.999.

Если все n измерений величины а произведены с одинаковой точностью (равноточные измерения), то в качестве оценки истинного значения а измеряемой СВ применяют среднее арифметическое значение результатов измерений. Если измерения не являются равноточными, но известны веса измерений, то в качестве оценки истинного значения СВ применяют среднее взвешенное значение.

Таким образом, g (Х₁, Х₂, …, Х_n) = .

При бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой случайной величины равно среднему значению всех случайных величин, т.е. при .

Чем больше величина доверительного интервала ( - , + ), т.е. чем больше задаваемая погрешность результата измерений , тем с большей надежностью искомая величина а попадет в этот интервал:

.

Естественно, что величина надежности будет зависеть от числа измерений n, а также от величины задаваемой погрешности :

.

Доверительный интервал , который покрывал бы истинное значение а случайной величины Х_i с доверительной вероятностью Р, определяется по формуле

.

А для самого истинного значения а случайной величины можно записать выражения

,

или

,

где – среднее значение СВ, s – среднеквадратичное отклонение, n – число измерений СВ, Р – доверительная вероятность, t – коэффициент Стьюдента.

() – нижняя граница доверительного интервала, () – верхняя граница доверительного интервала.

Коэффициент Стьюдента определяется из таблиц и зависит от доверительной вероятности Р и числа степеней свободы f = n -1. Называется он так в честь ученого, предложившего этот параметр в 1908 г., – английского статистика и химика В.С. Госсета, работавшего в пивоваренной промышленности и публиковавшего свои работы под псевдонимом "Стьюдент" (студент).

Если, например, задана доверительная вероятность 95%, то уровень значимости в этом случае будет равняться 5%. Для этих параметров в таблице приведены для примера значения коэффициентов Стьюдента

 

f (или n -1)						¥
t	12.71	4.3	2.57	2.23	2.09	1.96

 

Величину a = 1 – Р, называют уровнем значимости. a – это положительное малое число, которое говорит об ошибке результата исследования.