Производная находит многочисленные применения к исследованию функций и построению графиков функций.
Рассмотрим возможные приложения производной к решению вопроса о монотонности функции на некотором промежутке
Теорема 1 (необходимые и достаточные условия монотонности функции). Если функция 
определена и непрерывна в промежутке 
и внутри него имеет конечную производную, то необходимым и достаточным условием неубывания (невозрастания) функции в является 
.
Определение 1. Точка 
называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции 
, если 
такая 
окрестность 
, что 
.
Точки локального максимума и локального минимума функции 
называются точками локального экстремума.
Теорема 2 (необходимое условие локального экстремума). Если функция дифференцируема в точке и в ней имеет локальный экстремум, то 
.
В точках локального экстремума касательная параллельна оси 
.
Определение 2. Точки 
, в которых 
, называются стационарными точками, или точками возможного экстремума.
ПРИМЕР 1. Пусть задана функция 
. 
, 
, 
– стационар- ная точка, но не является точкой локального экстремума.
Теорема 3 (1-е достаточное условие локального экстремума).Пусть функция дифференцируема в некоторой 
–окрестности стационарной точки . Тогда, если 
, 
при 
, а 
при 
, то в точке функция имеет локальный максимум (локальный минимум).
Если 
во всей 
-окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке локального экстремума нет.
ПРИМЕР 2. Найти точки экстремума функции 
.
Решение. , 
.
– стационарная точка, не являющаяся точкой экстремума, так как 
. Точек экстремума нет.
Замечание. В точке экстремума производная может не существовать или обращаться в бесконечность (критическая точка!), но обязательно меняет знак в 
окрестности этой точки. В этом случае экстремум называют острым (в противоположность гладкому экстремуму, который имеет функция с непрерывной производной). Примером может служить функция 
, у которой в точке 
производная не существует, но 
, а 
.
Теорема 4 (2-е достаточное условие экстремума). Пусть функция в стационарной точке дважды непрерывно дифференцируема. Тогда функция имеет в точке максимум, если 
и минимум, если 
.
Задание 1. Построить график функции 
с помощью производной первого порядка.
Решение. Для функции 
найдем:
1) производную первого порядка: 
критические точки – решения системы уравнений.
Given
Замечание. Внимание, для того чтобы переменная х была определена необходимо нажать сочетание клавиш “Ctrl” + “=”.
2) определим: есть ли экстремумы среди точек -3 и -4 с помощью графика производной функции. 
При переходе через точку 
производная 
меняет знак с «–» на «+», значит, – точка минимума функции. При переходе через точку 
производная меняет знак с «+» на «-», значит, – точка максимума функции.
Функция убывает на промежутках 
и 
, возрастает на промежутке 
.
3) строим график функции. 
Рис.1 – Выполнение задания 1
