Узагальненням головних числових характеристик випадкових величин є поняття їх моментів. У теорії ймовірностей впроваджені моменти двох видів: початкові та центральні. Початковим моментом k-го порядку випадкової величини Х називають математичне сподівання від величини Хk, тобто 
= М(Хk ), k = 1,2,3,... При к=1 
=М(X), k=2 
=M(X2), і т.д..
Якщо випадкова величинадискретна, то 
якщо неперервна - 
Центральним моментом k-го порядку називають математичне сподівання від (X - М(Х))k, тобто
=М(X-М(X))k При к=1 
= М(Х -М(Х)) = 0 при к=2 
=М(X-М(X))2=D(X)
Для зручності під час обчислювання центральні моменти можна виразити через початкові моменти відповідних порядків. Так, для центральних моментів маємо:
Третій центральний момент характеризує асиметрію закону розподілу випадкової величини. Якщо 
, то випадкова величина симетрично поділена відносно М(Х). Оскільки 
має вимірність випадкові величини в кубі,то впроваджують безрозмірну величину - коефіцієнт асиметрії: 
Центральний момент четвертого порядку використовують для характеристики гостроверишнності чи плосковерхості закону розподілу. Ці властивості розподілів описуються за допомогою ексцесу:
-3.Якщо 
Модою Mo дискретної випадкової величини називають те можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність її появи. Для неперервної випадкової величини модою називають те її можливе значення, якому відповідає максимальна величина щільності ймовірності, тобтоf(M0)=mахf(М).
Медіаною Мe, неперервної випадкової величини називають те її можливе значення, для якого виконується рівність ймовірностейподій:
Р(-∞ < Х < Мe ) = Р(Мe < Х < ∞);
F(Мe)-F(-∞)=F(∞)-F(Мe);
F(-∞)=0,F(∞)=1 2F(Мe)=1;
F(Мe)= 
=0
20. Неперервні випадкові величини. Функція розподілу ймовірностей. Властивості. Графік. Неперервною випадковою величиною називається така величина, всі можливі значення якої заповнюють суцільно деякий проміжок числової прямої. Випадкова величина називається неперервною, якщо її функцію розподілу можна подати у вигляді 
, де f(x) — невід’ємна функція, що задовольняє умову 
Нехай х – дійсне число, тоді функцією розподілу ймовірностей наз. Функція F(x), яка дорівнює ймовірності того, що випадкова величина Х приймає значення менше х (X<x). F(x)=P(X<x)=P(X<-∞,x) Геометрично ф-ція розподілу ймовірностей це точки на числовій вісі, які розташовуються лівіше значення х. Властивості: 1) F(x) є [0;1] 2)F(x) – не спадна, F(x2)≥F(x1), якщо x2 >x1: ймовірність того, що випадкова величина набуде значення в проміжку [α,β) дорівнює приросту функції розподілу на цьому проміжку: P(≤x≤β)= F(β)-F(α); 3) Якщо можливі значення випадкової величини Х належать усій осі абсцис, то: а) 
, тобто F(
)=0; б) 
, тобто F( 
)=1. Висновок: якщо можливі значення випадкової величини Х належать інтервалу (a,b), то F(x)=0, для х≤а, F(x)=1, для х≥ b
Функції розподілута її графік:
21. щільність розподілу ймовірностей. Властивості, графік. Щільністю розподілу ймовірностей Р(х) неперервної випадкової величини Х межа,якщо вона існує, відношення ймовірності влучення випадкової величини Х в інтервал (х; х + 
), до довжиницього інтервалу, якщо остання прямує до нуля,тобтоP(x)= 
Крива, яка зображує щільність розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини називається кривою розподілу;
P(x)
y=p(x)
∆x
0 x x+∆x x Якщо р(х) помножити на 
, то величина р(х) 
називається елементом ймовірності, характеризує ймовірність того, що Х приймає значення з інтервалу довжиною 
х, що прилягають до точки х. Геометрична — це площа прямокутника зі сторонами та р(х) Тоді ймовірність влучення неперервної випадкової величини Х у відрізок [ 
] буде дорівнювати сумі елементів ймовірності на всьому цьому відрізку[ 
], тобто площі криволінійної трапеції, обмеженої кривою у = р(х), віссю Ох і прямими х= 
; х= 
P(
≤X≤ 
)= 
(5.3’) внаслідок того, що плойка заштрихованої фігури буде прямувати до площі криволінійної трапеції, при 
Властивості функції р(х): 1) р(х) є функція невід'ємна р(х)≥ 0; 2) невласний інтеграл від р(х) 
(умова нормування); Якщо можливі значення неперервної випадкової величини Х належать інтервалу (а,b), то умова нормування має такий вигляд: 
3) ймовірність влучення неперервної випадкової величини Х в інтервал (
), обчислюється за формулою:Р(
<x< 
)= 
Функція розподілу неперервної випадкової величини Х - це функція F(х) дійсної змінної х, яка визначає ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, менше деякого фіксованого числа х, тобто Х 
:F(х) = Р(Х < х) =Р(-∞ < Х < х).Тоді випливає, що для будь -яких х 
. F(х) = Р(-∞ < Х < х)= 
. Геометрична функція розподілу є площа фігури, яка розташована лівіше точки х, обмеженої кривою розподілу у = р(х) і віссю абсцис. Із формули і теореми Барроу для випадку, коли р(х) неперервна, випливає, що р(х) = F'(х).Над випадковими величинами можна проводити такі ж самі операції, як і над випадковими величинами.Проілюструємо їх на прикладі дискретних випадкових величин. Нехай задані випадкові величини X і Y своїми законами розподілу: X x1 x2 Y y1 y2 p p1 p2 q q1 q2 Об'єднанням випадкових величин Х і Y будемо розуміти випадкову величину Z= Х 
Y, можливі значення якої дорівнюють сумам всіх можливих доданків Хi+Yi, а ймовірності Х Y для незалежних величин Х і Y - добутку ймовірностей рi qj, для залежних величин-добутком ймовірностей однієї з них на умовну ймовірність другої.Зауважимо, що при розрахунку деякі суми можливих значень можуть виявитися однаковими. Тоді таке можливе значення Z записують один раз, ймовірність якого дорівнює сумі ймовірностей однакових значень. Перетином незалежних випадкових величин Х і Y будемо розуміти випадкову величину Z= Х Y, можливі значення якої дорівнюють добуткам всіх можливих значень Х і У – хi 
уj ймовірності яких також перемножуються рi qj.Запишемо закони розподілувипадкових величин Х Y і Х 
таблицями:
| Х Y
| x1+y1 | x1+y2 | x2 y1 | x2+y2 |
| p | p1 q1 | p1 q2 | p2 q1 | p2 q2 |
| Х
| x1 y1 | x1 y2 | x2 y1 | x2 y2 |
| p | p1 q1 | p1 q2 | p2 q1 | p2 q2 |
22. Числові характеристики неперервних випадкових величин(М(х), Д(ч), Мо, Ме,σ(х)). Мат сподівання неперервної ВВ наз. невласний інтеграл вигляду: М(х)= 
, якщо він абсолютно збігається, якщо х є (ab), то 
Дисперсія неперервної ВВ наз. невласний інтеграл вигляду: 
, 
, х<(a,b), 
, 
, 
Модою для неперервної ВВ наз. те значення якому відповідає максимум щільності розподілу. Медіаною наз. те значення неперервної ВВ для якого однаково ймовірно, чи буде воно більше медіани, чи менше медіани. 23. Системи випадкових величин. Закон розподілу системи випадкових величин. Двовимірна випадкова величина. Закон розподілу. Закон розподілу системи випадкових величин наз. відповідність, яка встановлює зв'язок між можливими значеннями системи випадкових величин і відповідних їм ймовірностей появи системи в цих областяхВипадкова величина (ХУ) наз. двовимірною випадковою величиною, якщо її можливі значення є пари чисел (х,у).ДВВ наз. дискретною, якщо її складові дискретніДВВ наз. неперервними, якщо її складові неперервні.ДВВ може бути задана аналітично, графічно таблично 24. Числові характеристики двовимірної випадкової величини. Початковим моментом (k+s) ДВВ (ХУ) наз. математичне сподівання величини хkys Aks=M(хkys) Aks= 
, k=1 s=0 A10=M(X), k=0 s=1 A01=M(Y) Центральним випадковим моментом (k+s) ДВВ (ХУ) наз. математичне сподівання величини(Х-М(Х))k(У-М(У))s Aks=M( (Х-М(Х))k(У-М(У))s) k=2 s=0→ M20=M(X- М(Х))2=D(X) k=0 s=2 →M02= M(У-М(У))2=D(Y) Математичне сподівання та дисперсія M(X)= 
; M(Y)= 
; M(X)= 
; M(Y)= 
D(X)= M(xi-M(x))2; D(Y)= M(yi-M(y))2; D(X)= 
; D(Y)= 
25. Функція розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини F(x). Властивості. Граничні відповідності. Функція розподілу імовірності ДВВ (х,у) назив. функцію F(х,у), де х та у –дійсні числа, яка означає для кожної пари чисел х,у імовірність того, що випадкова величина прийме значення Х<х, випадкова величина прийме значення У<у. 
Геометрична функція розподілу означає, що є імовірність того, що випадкова точка (х,у) попаде в нескінчений квадрат з вершиною (х,у) розміщений лівіше і нижче точки (х;у). Вл-ті функції розподілу: 1)F(х;у) є (0;1), 2) неспадна, якщо F(х1;у1) і F(х2;у2)
х2>х1, то F(х2;у1) >F(х1;у1), 3)х=-∞, то F(-∞;у)=0, у=-∞, то F(x;-∞)=0, F(-∞;-∞)=0, 4)х=∞,F(∞;у)=F(y), y=∞,F(x,∞)=F(x). 26. Щільність розподілу системи двох випадкових величин. Функція f(х;у), яка дорівнює межі відношення ймовірності влучення двовимірної випадкової величини (Х;У) в прямокутник зі сторонами 
до площі цього прямокутника, коли обидві сторони прямокутника прямують до нуля, називається щільність розподілу ймовірностей. Щільністю розподілу називається перша похідна від функції розподілу. Властивості функції f(х; у):1) f(х; у) ≥ 0, оскільки F(х; у) > О. 2) F(х;у)= 
3)Подвійний невласний інтеграл від щільності ймовірності системи 
27. Умовні закони розподілу двовимірної випадкової величини. Умовним законом розподілу випадкової величини У при фіксованому значенні Х = хi називається перелік можливих значень дискретної величини У і відповідних їм умовних імовірностей, обчислених при фіксованому значенні дискретної випадкової величини Х. Умовний закон 
покажемо за допомогою таблиці:
| Y=yj | y1 | y2 | y3 | … |
|
|
|
|
| yn |
|
- умова нормування для умовного закону 
.Числові характеристики,обчислені для закону 
називаються умовними. Умовним мат.сподіванням двовимірної дискретної величини Х при У=уj називається сума добутків можливих значень Х на умовні ймовірності 
функції регресії (одностороні функції)
Кореляційний момент ДВВ наз.математичне сподівання добутку відхилень цих величин 
Коефіцієнтом кореляції випадкової величини х і у наз.відношення кореляційного моменту до добутку середньоквадратичних відхилень складових х і у. 
Властивості: 1) 
то х і у незалежні, 2) 
то х і у залежні. 28. Числові характеристики умовних розподілів(умовне математичне сподівання, кореляційний момент, коваріація). Умовним мат.сподіванням двовимірної дискретної величини Х при У=уj називається сума добутків можливих значень Х на умовні ймовірності функції регресії (одностороні функції) Кореляційний момент ДВВ наз.математичне сподівання добутку відхилень цих величин Коефіцієнтом кореляції випадкової величини х і у наз.відношення кореляційного моменту до добутку середньоквадратичних відхилень складових х і у. Властивості: 1) то х і у незалежні, 2) то х і у залежні.
29. Рівномірний закон розподілу неперервної випадкової величини. Функція розподілу ймовірносей. Щільність розподілу ймовірностей, числові характеристики. Рівномірний розподіл. Розподіл ймовірностей неперервної ВВ Х, що приймає всі свої значення з відрізка [a,b], називається рівномірним, якщо його щільність розподілу на цьому відрізку стала, а поза ним рівна нулю, тобто ^ 
Для рівномірно розподіленої ВВ Х: Функція розполу: 
Мат. Сподівання: M(x)= 
Дисперсія: D(x)= 
Ймовірність належності рівномірно розподіленої ВВ Х будь-якому інтервалу (c,d) є [a,b]пропорційна довжині цього інтервалу: P(c<X<d)= 
30.Показниковий закон розподілу. Функція розподілу ймовірностей. Щільність розподілу ймовірностей. Числові характеристики. Показниковий (експоненціальний) розподіл. Закон розподілу ймовірностей неперервної ВВ Х називається показниковим з параметром λ, якщо його щільність розподілу рівна:
Коротко позначають Х~Ехр(λ). Для ВВ Х~Ехр(λ): Функція розподілу: 
Мат. Сподівання: 
Дисперсія: 
Ймовірність належності ВВ Х, розподіленої за показниковим законом, будь-якому інтервалу (a,b): 
Показниковий розподіл широко застосовується в теорії надійності технічного обладнання для характеристики терміну безвідмовної роботи елементів та пристроїв і в теорії масового обслуговування для характеристики тривалості обслуговування.
Якщо ВВ Х~Ехр(λ) - тривалість безвідмовної роботи деякого елемента, то ймовірність відмови елемента за час t рівна 
, а ймовірність безвідмовної роботи за час t рівна 
. При цьому параметр λ - є інтенсивністю відмов цього елемента.
31. Цілочисельні випадкові величини Ймовірна твірна функція А(х). Властивості. Ймовірною твірною функцією наз. степеневий ряд такого виду: 
Властивості: Значення функції належить інтервалу 1: А(х) є(-1<x≤1) 
(умова нормування) 
При x=1 
звідси 
Тоді формула дисперсії матиме вигляд: 
