Истечение газов через суживающиеся сопла

Адиабатное течение газов в каналах

 

Рассмотрим случай, когда поток движется в канале переменного сечения без совершения технической работы. Если геометрическая высота центров сечений канала не изменяется, то выражение первого закона термодинамики потока принимает вид

 

 

или в дифференциальной форме

 

Полученное соотношение показывает, что изменение скорости потока в канале всегда обратно по знаку изменению давления, т.е. если давление рабочего тела в канале уменьшается, то скорость его увеличивается, и наоборот.

Каналы переменного сечения, в которых происходит расширение рабочего тела (давление уменьшается) и скорость рабочего тела увеличивается, называются соплами.

 

Каналы, в которых происходит обратный процесс и за счет уменьшения кинетической энергии потока (уменьшения скорости) давление его повышается, называются диффузорами.

Основой для вывода общих закономерностей движения рабочего тела в соплах и диффузорах является уравнение неразрывности потока

 

где G – массовый расход рабочего тела;

f – площадь произвольного сечения канала.

 

Изменение давления и скорости потока создается противоположным воздействием геометрической формы канала на поток (очевидно, что при G =const и увеличении ω нужно уменьшить f). Это положение носит название закона геометрического обращения воздействия.

 

 

Истечение газов через суживающиеся сопла

 

Начало отсчёта скорости в соплах (во входном сечении) принято ω =0. Уравнение первого закона термодинамики при адиабатном истечении рабочего тела через сопло:

 

 

где ω ₀ – теоретическая скорость, потока в выходном сечении сопла;

p₁ – начальное давление рабочего тела;

р₂ – давление среды, в которую, происходит истечение.

Исходя из равенства , теоретическую скорость истечения рабочего тела через сопло в рассматриваемом случае можно определить:

 

 

Для идеальных газов формула теоретической скорости истечения получается след. образом:

 

,

 

а поскольку в адиабатном процессе ,

получаем .

 

Тогда .

 

Основной характеристикой процесса истечения является отношение конечного давления к начальному .

Выразим теоретическую скорость истечения ω ₀ как функцию величины ν:

и .

 

Тогда

Обозначив площадь выходного сечения канала через f ₂, в соответствии с формулой неразрывности потока G ₂= ρ ₂ ω ₀ f ₂:

 

 

Преобразуя ,

 

имеем

Анализ данного выражения показывает, что при , т.е. когда р ₂ = р ₁, расход газа G₂ = 0, т.е. истечение газа не происходит. При уменьшении ν расход газа возрастает, но при ν = 0 он опять становится нулевым.

Из сказанного вытекает, что при некотором значении расход газа G₂ достигает максимума.

Чтобы найти значение ν, соответствующее максимуму G₂, следует приравнять нулю первую производную функции ,

 

Т.е.

 

После преобразований получим .

Значение ν, при котором расход газа достигает максимума, называется критическим ν _кр:

 

Как и показатель адиабаты, величина ν _кр является физической константой газа.

В действительности после достижения максимума расход газа с уменьшением ν не уменьшается, а остается постоянным.

При уменьшении давления газа за соплом р₂ (при неизменном давлении p₁) расход газа увеличивается, а затем, когда за соплом устанавливается критическое давление , увеличение расхода газа прекращается и, как бы ни уменьшалось давление р₂, в выходном сечении будет иметь место постоянное давление р_кр.

 

Расширение газа будет происходить уже вне сопла и потому не даcт дополнительного возрастания скорости.

Значение критической скорости:

 

Подставляя сюда и выполнив преобразования, получим:

 

Найдем зависимость между величиной ω_кр и параметрами газа

в выходном сечении р_кр и υ_кр.

При адиабатном истечении

Тогда

 

В итоге

 

Из физики известно, что скорость распространения звука в газовой среде выражается формулой .

Т.о. критическая скорость истечения газа из сопла равна скорости распространения звуковой волны в этом газе при его параметрах р_кр и υ_кр.

В этом содержится физическое объяснение тому, что при снижении внешнего давления р₂ ниже р_кр, скорость истечения не изменяется, а остается равной ω_кр.

Действительно, если р₂ > р_кр, то ω < ω _кр или ω < а и всякое понижение давления р₂ передается вдоль сопла в направлении, обратном движению потока, со скоростью а-ω.

 

Если же р₂ снизится до p_кр, то дальнейшее понижение его уже не сможет распространяться вдоль сопла, поскольку скорость его распространения навстречу потоку снизится до нуля (а-ω _кр= 0). Поэтому расход газа не изменится в выходном сечении, т.е. скорость истечения останется постоянной и равной ω _кр.